Яка часова складність тренування нейронної мережі за допомогою зворотного розповсюдження?

Припустимо, що NN містить $n$ прихованих шарів, $m$ прикладів тренувань, $x$ функцій та $n_i$ вузлів у кожному шарі. Яка складність у часі для підготовки цього NN з використанням зворотного розповсюдження?

У мене є основне уявлення про те, як вони знаходять складність часу алгоритмів, але тут є 4 різні фактори, які слід враховувати, тобто ітерації, шари, вузли в кожному шарі, приклади навчання та, можливо, більше факторів. Я знайшов відповідь тут , але це не було достатньо ясно.

Чи існують інші фактори, крім тих, про які я згадував вище, які впливають на часову складність алгоритму навчання НН?

Я не бачив відповіді від надійного джерела, але спробую відповісти на це сам, простим прикладом (з моїми сучасними знаннями).

Загалом зауважте, що навчання MLP з використанням зворотного розповсюдження зазвичай реалізується за допомогою матриць.

Часова складність множення матриці

Часова складність множення матриць для $M_{ij} * M_{jk}$ є просто $\mathcal{O}(i*j*k)$ .

Зауважте, що тут ми припускаємо найпростіший алгоритм множення: існують деякі інші алгоритми з дещо кращою складністю у часі.

Алгоритм проходження подачі

Алгоритм поширення подачі наступний.

По-перше, ви переходите від шару $i$ до $j$ , ви робите

$$S_j = W_{ji}*Z_i$$

Потім ви застосуєте функцію активації

$$Z_j = f(S_j)$$

Якщо у нас є $N$ шарів (включаючи вхідний і вихідний шар), це буде працювати $N-1$ раз.

Приклад

Як приклад, давайте обчислимо складність у часі для алгоритму прямого проходу для MLP з $4$ ма шарами, де $i$ позначає кількість вузлів вхідного шару, $j$ кількість вузлів у другому шарі, $k$ кількість вузлів у третій шар і $l$ кількість вузлів у вихідному шарі.

Оскільки є $4$ шари, вам потрібно $3$ матриці для представлення ваг між цими шарами. Давайте позначимо їх через $W_{ji}$ , $W_{kj}$ і $W_{lk}$ , де $W_{ji}$ матриця з $j$ рядків і $i$ стовпців ( $W_{ji}$ , таким чином , містить ваги , що йдуть від шару $i$ до шару $j$ ).

Припустимо, у вас є $t$ приклади навчання. Для поширення від шару $i$ до $j$ ми маємо спочатку

$$S_{jt} = W_{ji} * Z_{it}$$

і ця операція (тобто матричне множення матриць) має $\mathcal{O}(j*i*t)$ часову складність. Потім застосовуємо функцію активації

$$Z_{jt} = f(S_{jt})$$

і це має складну часову складність $\mathcal{O}(j*t)$ , оскільки це елементна операція.

Отже, загалом у нас є

$$\mathcal{O}(j*i*t + j*t) = \mathcal{O}(j*t*(t + 1)) = \mathcal{O}(j*i*t)$$

Використовуючи ту ж логіку, для переходу $j \to k$ маємо $\mathcal{O}(k*j*t)$ , а для $k \to l$ - $\mathcal{O}(l*k*t)$ .

Загалом, складність у часі для подальшого розповсюдження буде складена

$$\mathcal{O}(j*i*t + k*j*t + l*k*t) = \mathcal{O}(t*(ij + jk + kl))$$

Я не впевнений, чи можна це далі спростити чи ні. Можливо, це просто $\mathcal{O}(t*i*j*k*l)$ , але я не впевнений.

Алгоритм зворотного розповсюдження

The back-propagation algorithm proceeds as follows. Starting from the output layer $l \to k$, we compute the error signal, $E_{lt}$, a matrix containing the error signals for nodes at layer $l$

$$E_{lt} = f'(S_{lt}) \odot {(Z_{lt} - O_{lt})}$$

where $\odot$ means element-wise multiplication. Note that $E_{lt}$ has $l$ rows and $t$ columns: it simply means each column is the error signal for training example $t$.

We then compute the "delta weights", $D_{lk} \in \mathbb{R}^{l \times k}$ (between layer $l$ and layer $k$)

$$D_{lk} = E_{lt} * Z_{tk}$$

where $Z_{tk}$ is the transpose of $Z_{kt}$.

We then adjust the weights

$$W_{lk} = W_{lk} - D_{lk}$$

$l \to k$$\mathcal{O}(lt + lt + ltk + lk) = \mathcal{O}(l*t*k)$.

Now, going back from $k \to j$. We first have

$$E_{kt} = f'(S_{kt}) \odot (W_{kl} * E_{lt})$$

Then

$$D_{kj} = E_{kt} * Z_{tj}$$

And then

$$W_{kj} = W_{kj} - D_{kj}$$

where $W_{kl}$ is the transpose of $W_{lk}$. For $k \to j$, we have the time complexity $\mathcal{O}(kt + klt + ktj + kj) = \mathcal{O}(k*t(l+j))$.

And finally, for $j \to i$, we have $\mathcal{O}(j*t(k+i))$. In total, we have

$$\mathcal{O}(ltk + tk(l + j) + tj (k + i)) = \mathcal{O}(t*(lk + kj + ji))$$

which is same as feedforward pass algorithm. Since they are same, the total time complexity for one epoch will be

$$O(t*(ij + jk + kl)).$$

This time complexity is then multiplied by number of iterations (epochs). So, we have

$$O(n*t*(ij + jk + kl)),$$ where $n$ is number of iterations.

Notes

Note that these matrix operations can greatly be paralelized by GPUs.

Conclusion

We tried to find the time complexity for training a neural network that has 4 layers with respectively $i$, $j$, $k$ and $l$ nodes, with $t$ training examples and $n$ epochs. The result was $\mathcal{O}(nt*(ij + jk + kl))$.

We assumed the simplest form of matrix multiplication that has cubic time complexity. We used batch gradient descent algorithm. The results for stochastic and mini-batch gradient descent should be same. (Let me know if you think the otherwise: note that batch gradient descent is the general form, with little modification, it becomes stochastic or mini-batch)

Also, if you use momentum optimization, you will have same time complexity, because the extra matrix operations required are all element-wise operations, hence they will not affect the time complexity of the algorithm.

I'm not sure what the results would be using other optimizers such as RMSprop.

Sources

The following article http://briandolhansky.com/blog/2014/10/30/artificial-neural-networks-matrix-form-part-5 describes an implementation using matrices. Although this implementation is using "row major", the time complexity is not affected by this.

If you're not familiar with back-propagation, check this article:

http://briandolhansky.com/blog/2013/9/27/artificial-neural-networks-backpropagation-part-4

For the evaluation of a single pattern, you need to process all weights and all neurons. Given that every neuron has at least one weight, we can ignore them, and have $\mathcal{O}(w)$ where $w$ is the number of weights, i.e., $n * n_i$, assuming full connectivity between your layers.

The back-propagation has the same complexity as the forward evaluation (just look at the formula).

So, the complexity for learning $m$ examples, where each gets repeated $e$ times, is $\mathcal{O}(w*m*e)$.

The bad news is that there's no formula telling you what number of epochs $e$ you need.

A potential disadvantage of gradient-based methods is that they head for the nearest minimum, which is usually not the global minimum.

This means that the only difference between these search methods is the speed with which solutions are obtained, and not the nature of those solutions.

An important consideration is time complexity, which is the rate at which the time required to find a solution increases with the number of parameters (weights). In short, the time complexities of a range of different gradient-based methods (including second-order methods) seem to be similar.

Six different error functions exhibit a median run-time order of approximately O(N to the power 4) on the N-2-N encoder in this paper:

Lister, R and Stone J "An Empirical Study of the Time Complexity of Various Error Functions with Conjugate Gradient Back Propagation" , IEEE International Conference on Artificial Neural Networks (ICNN95), Perth, Australia, Nov 27-Dec 1, 1995.

Summarised from my book: Artificial Intelligence Engines: A Tutorial Introduction to the Mathematics of Deep Learning.