Чому орбіти еліптичні замість круглих?

16

Чому планети обертаються навколо зірки на певній еліптичній орбіті зі зіркою на одному з її вогнищ? Чому орбіта не коло?

star orbit planet

— Devgeet Patel
джерело

2

Відповідь Едуардо резюмує найбільше. Хоча ви можете побачити мою відповідь на подібне запитання на Physics SE. physics.stackexchange.com/questions/56657/…

— Чеку

2

Кругові орбіти - особливий випадок еліптичних орбіт.

— asawyer

13

Припустимо, планета має мізерну масу порівняно зіркою, що обидві сферично симетричні (тому закон гравітації Ньютона справедливий, але це як правило буває в дуже хорошому наближенні), і що між силою тяжіння між ними немає ніяких сил . Якщо перша умова не виконується, то прискорення кожного буде проходити до барицентру системи, як би барицентр притягує до них гравітаційну силу з певною зменшеною масою, тому задача математично рівнозначна.

Візьміть зірку, щоб вона була біля походження. За законом гравітації Ньютона сила дорівнює , де- вектор до планети,- його маса, а- стандартний гравітаційний параметр зірки. $\mathbf{F} = -\frac{m\mu}{r^3}\mathbf{r}$ $\mathbf{r}$ $m$ $\mu = GM$

Закони збереження

Оскільки сила чисто радіальна , збережений імпульс кута : $(\mathbf{F}\parallel\mathbf{r})$ $\mathbf{L} = \mathbf{r}\times\mathbf{p}$ Якщо початкова швидкість не є нульовою, а зірка знаходиться у початку, то з точки зору початкового положення та швидкості орбіта повинна бути обмежена площиною всіх точок з векторамивід початку, що задовольняють. Якщо початкова швидкість дорівнює нулю, то рух є чисто радіальним, і ми можемо прийняти будь-яку з нескінченно багатьох площин, що містять барицентр і початкове положення.

\dot{L} = \frac{г}{г т} (r \times p) = м (\dot{r} \times \dot{r}) + r \times Ж = 0 .

$\dot{\mathbf{L}} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\mathbf{r}\times\mathbf{p}\right) = m(\dot{\mathbf{r}}\times \dot{\mathbf{r}}) + \mathbf{r}\times\mathbf{F} = \mathbf{0}\text{.}$

x

$\mathbf{x}$

L \cdot x = 0

$\mathbf{L}\cdot\mathbf{x} = 0$

Загальна орбітальна енергія задається де перша термінальна частина - кінетична енергія, а друга частина - гравітаційна потенційна енергія планети. Його збереження, а також той факт, що він викликає правильну потенційну енергію, можна довести фундаментальною теоремою обчислення для лінійних інтегралів.

E = \frac{p^{2}}{2 m} - \frac{m μ}{r},

$\mathcal{E} = \frac{p^2}{2m} - \frac{m\mu}{r}\text{,}$

Визначте вектор Лапласа-Рунге-Ленца Також зберігається:

A = p \times L - \frac{m^{2} μ}{r} r .

$\mathbf{A} = \mathbf{p}\times\mathbf{L} - \frac{m^2\mu}{r}\mathbf{r}\text{.}$

\begin{array}{rcl} \dot{A} & = & F \times L + p \times \dot{L} - \frac{m μ}{r} p + \frac{m μ}{r^{3}} (p \cdot r) r \\ = & - \frac{m μ}{r^{3}} \underset{(r \cdot p) r - r^{2} p}{\underset{⏟}{(r \times (r \times p))}} - \frac{m μ}{r} p + \frac{m μ}{r^{3}} (p \cdot r) r \\ = & 0 . \end{array}

$\begin{eqnarray*} \dot{\mathbf{A}} &=& \mathbf{F}\times\mathbf{L} + \mathbf{p}\times\dot{\mathbf{L}} - \frac{m\mu}{r}\mathbf{p} + \frac{m\mu}{r^3}(\mathbf{p}\cdot\mathbf{r})\mathbf{r}\\ &=& -\frac{m\mu}{r^3}\underbrace{\left(\mathbf{r}\times(\mathbf{r}\times\mathbf{p})\right)}_{(\mathbf{r}\cdot\mathbf{p})\mathbf{r} - r^2\mathbf{p}} - \frac{m\mu}{r}\mathbf{p} + \frac{m\mu}{r^3}(\mathbf{p}\cdot\mathbf{r})\mathbf{r}\\ &=& \mathbf{0}\text{.} \end{eqnarray*}$

Нарешті, візьмемо також , який має ті самі одиниці , що і , а оскільки , він лежить уздовж орбітальної площини. Оскільки це збережений вектор, масштабований за допомогою збереженого скаляра, легко показати, що зберігається також, поки . $\mathbf{f} = \mathbf{A}/(m\mathcal{E})$ $\mathbf{r}$ $\mathbf{L}\cdot\mathbf{f} = 0$ $\mathbf{f}$ $\mathcal{E}\neq 0$

Спрощення

Використовуючи векторний потрійний продукт, ми можемо записати нормовий квадрат якого легко відкрутити:

\begin{array}{rcl} \frac{1}{m} A & = & \frac{1}{m} [p^{2} r - (p \cdot r) p] - \frac{m μ}{r} r \\ = & (E + \frac{p^{2}}{2 m}) r - \frac{1}{m} (p \cdot r) p \\ E (f - r) & = & (\frac{p^{2}}{2 m}) r - \frac{1}{m} (p \cdot r) p, \end{array}

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{m}\mathbf{A} &=& \frac{1}{m}\left[p^2\mathbf{r}-(\mathbf{p}\cdot\mathbf{r})\mathbf{p}\right] -\frac{m\mu}{r}\mathbf{r}\\ &=& \left(\mathcal{E}+\frac{p^2}{2m}\right)\mathbf{r} - \frac{1}{m}\left(\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}\right)\mathbf{p}\\ \mathcal{E}(\mathbf{f}-\mathbf{r}) &=& \left(\frac{p^2}{2m}\right)\mathbf{r} - \frac{1}{m}\left(\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}\right)\mathbf{p}\text{,} \end{eqnarray*}$

де

використовувався протягом усього часу для перемикання між кінетичними та потенційними термінами.

E^{2} | f - r |^{2} = {(E + \frac{m μ}{r})}^{2} r^{2},

$\mathcal{E}^2|\mathbf{f}-\mathbf{r}|^2 = \left(\mathcal{E} + \frac{m\mu}{r}\right)^2r^2\text{,}$

E

$\mathcal{E}$

Чому еліпси?

Оскільки - енергія відносно нескінченності, для того, щоб мати зв'язану орбіту, нам потрібна . Таким чином, з попереднього розділу, і тому $\mathcal{E}$ $\mathcal{E}<0$ $|\mathbf{f}-\mathbf{r}| = -\mathcal{E}^{-1}\left(\mathcal{E}r + m\mu\right)$

| f - r | + | r | = - \frac{м мк}{Е},

$|\mathbf{f}-\mathbf{r}| + |\mathbf{r}| = -\frac{m\mu}{\mathcal{E}}\text{,}$

0, f

$\mathbf{0},\,\mathbf{f}$

2 a = - m μ / E

$2a=-m\mu/\mathcal{E}$

Чому б не кола?

$\mathbf{f} = \mathbf{0}$

Е = - \frac{1}{2} \frac{м мк}{r} = - \frac{p^{2}}{2 м} .

$\mathcal{E} = -\frac{1}{2}\frac{m\mu}{r} = -\frac{p^2}{2m}\text{.}$

E < 0

$\mathcal{E}<0$

$\mathcal{E}>0$ $\mathcal{E}=0$ $\mathbf{f}$

$\mathbf{e} = \mathbf{A}/(m^2\mu)$

— Стен Ліу
джерело

8

е = \frac{r_{а} - r_{p}}{r_{а} + r_{p}}

$e = \frac{r_{a} - r_{p}}{r_{a} + r_{p}}$

r_{a}

$r_{a}$

r_{p}

$r_{p}$

e = 0.333

$e=0.333$

З усіх планет Сонячної системи Венера з ексцентриситетом 0,007 має найбільшу кругову орбіту.

$\dot{r}$ $\dot{\phi}$

v^{2} = {\dot{r}}^{2} + r^{2} {\dot{ϕ}}^{2} .

$v^2 = \dot{r}^2 + r^2\dot{\phi}^2\text{.}$ в рамці, що котується, точно врівноважується гравітаційна сила - трохи більше чи трохи менше, дисбаланс змінить радіальну швидкість, зіпсуючи коло.

Зважаючи на той факт, що швидкості змінюються з великої кількості причин, не дивно, що лише кілька орбіт закінчуються круговими, і враховуючи, що фактичні орбіти змінюються з часом , ми знаємо, що вони не можуть довго залишатися таким.

Якщо ви шукаєте математичний доказ, це посилання ділиться деякими подробицями про нього .

Ось зображення, що демонструє ексцентриситет деяких тіл у Сонячній системі, витягнутих звідси :

Деякі тіла Сонячної системи та їх ексцентриситети

— Едуардо Серра
джерело

Це абсолютно неправильно: "Для того, щоб орбіта була круглою, швидкість планети повинна бути точно мінімальною, необхідною для перебування на орбіті; ... трохи менше, і вона вріжеться в орбіту планети". Абзац також досить заплутаний щодо того, що на орбіті що. Очевидно, вони мінімізують радіальну швидкість , але це різне і не пов'язане з обговоренням кінетичної енергії. Розбиваючи кінетичну енергію на радіальну і кутову частини, кругові орбіти також мінімізують ефективний потенціал, якщо імпульс кута утримується фіксованим.

— Стен Ліу

@Стан можна запропонувати редагувати або дати власну відповідь. Чи можете ви детально розібратися, чому це твердження неправильне? Якщо супутник описує кругову орбіту, і ви сповільнюєте її, він вріжеться в планету; якщо прискорити його, він сформує і еліптичну орбіту.

— Едуардо Серра

r_{a} = r_{p}

$r_a = r_p$

r_{p}^{'}

$r'_p$

1

@EduardoSerra - уповільнюйте об'єкт по круговій орбіті, і він опиниться на еліптичній орбіті, колишній радіус кругової орбіти тепер буде апофокальною відстані.

— Девід Хаммен

1

Я завжди віддаю перевагу відповідям, які намагаються уникати будь-якої формули і натомість відповідають на аргументацію. Щодо частини питання, чому не всі орбіти круглі, аргументація була б такою:

Розглянемо нерухому зірку та планету, що рухається. Для кожного імпульсу, який може мати планета, можна передбачити криву її подальшого руху. Якщо цей імпульс спрямований точно ортогонально до лінії від зірки до планети, і якщо швидкість має точну суму , то ця крива руху може бути точним колом.

Але для кожного відхилення цього одного точного імпульсу отримана крива не може бути колом:

Якщо швидкість буде занадто низькою, планета впаде в бік зірки (в крайньому випадку імпульсу нуля, це падіння буде по прямій лінії).
Якщо швидкість занадто висока, планета здобуде відстань від зірки (подібно до рогатки).
Якщо імпульс не прямо ортогональний лінії до зірки, перший рух переміститься в бік зірки або від неї, тому знову крива не буде колом.

Отже, можна просто заперечити: коло - це особливий випадок для кривої, яку планета може взяти навколо зірки.

— Альфе
джерело

(1) Початковий аргумент ортогональності - це хороший початок. (2) Але міркування щодо "швидкості занадто [низької / високої]" є невиправданими: звідки можна знати, що кругові орбіти на кількох швидкостях заборонені для однієї відстані? Можна стверджувати проти можливості декількох швидкостей, врівноважуючи гравітаційні та відцентрові сили, але тоді обидва (1) та (2) перетворюються на саме те, що окреслено у відповіді Едуардо Серри.

— Стен Ліу

Тож ви маєте на увазі, що можна скласти враження, що гравітаційна сила може бути схожою на тугий мотузку в тому сенсі, що вона буде застосовувати більше сили на планеті до зірки, коли буде потрібно більше сил, щоб утримати планету круговим шляхом ? Гм ... так, залежно від тла миряни, це може бути те, що очікується. Дякую за поняття; можливо, я можу вдосконалити свою відповідь і для вирішення цього питання!

— Альфе