Ось що я зробив:
- Виходячи з їх маси, найбезпечніше спочатку вважати Юпітера та Сатурна, а також Урана. Можливо, також буде корисно включити Землю до аналізу, отримати відносні положення, кути спостереження тощо. Отже, я буду розглядати:
- Сонце
- Земля
- Юпітер
- Сатурн
- Уран
- Нептун
- Отримайте стандартні параметри гравітації (мк) для всіх них
- Отримайте початкові положення та швидкості за допомогою JPL / HORIZONS для всіх цих планет. У мене були деякі дані, що лежать в районі J2000.5, тому я просто використовував державні вектори з 1 січня 2000 року опівдні.
- Напишіть інтегратор N-body із вбудованими інструментами MATLAB. Інтегруйте цю неповну Сонячну систему один раз без Нептуна та один раз з включеним Нептуном.
- Проаналізуйте та порівняйте!
Отже, ось мої дані та інтегратор N-body:
function [t, yout_noNeptune, yout_withNeptune] = discover_Neptune()
% Time of integration (in years)
tspan = [0 97] * 365.25 * 86400;
% std. gravitational parameters [km/s²/kg]
mus_noNeptune = [1.32712439940e11; % Sun
398600.4415 % Earth
1.26686534e8 % Jupiter
3.7931187e7 % Saturn
5.793939e6]; % Uranus
mus_withNeptune = [mus_noNeptune
6.836529e6]; % Neptune
% Initial positions [km] and velocities [km/s] on 2000/Jan/1, 00:00
% These positions describe the barycenter of the associated system,
% e.g., sJupiter equals the statevector of the Jovian system barycenter.
% Coordinates are expressed in ICRF, Solar system barycenter
sSun = [0 0 0 0 0 0].';
sEarth = [-2.519628815461580E+07 1.449304809540383E+08 -6.175201582312584E+02,...
-2.984033716426881E+01 -5.204660244783900E+00 6.043671763866776E-05].';
sJupiter = [ 5.989286428194381E+08 4.390950273441353E+08 -1.523283183395675E+07,...
-7.900977458946710E+00 1.116263478937066E+01 1.306377465321731E-01].';
sSaturn = [ 9.587405702749230E+08 9.825345942920649E+08 -5.522129405702555E+07,...
-7.429660072417541E+00 6.738335806405299E+00 1.781138895399632E-01].';
sUranus = [ 2.158728913593440E+09 -2.054869688179662E+09 -3.562250313222718E+07,...
4.637622471852293E+00 4.627114800383241E+00 -4.290473194118749E-02].';
sNeptune = [ 2.514787652167830E+09 -3.738894534538290E+09 1.904284739289832E+07,...
4.466005624145428E+00 3.075618250100339E+00 -1.666451179600835E-01].';
y0_noNeptune = [sSun; sEarth; sJupiter; sSaturn; sUranus];
y0_withNeptune = [y0_noNeptune; sNeptune];
% Integrate the partial Solar system
% once with Neptune, and once without
options = odeset('AbsTol', 1e-8,...
'RelTol', 1e-10);
[t, yout_noNeptune] = ode113(@(t,y) odefcn(t,y,mus_noNeptune) , tspan, y0_noNeptune , options);
[~, yout_withNeptune] = ode113(@(t,y) odefcn(t,y,mus_withNeptune), t, y0_withNeptune, options);
end
% The differential equation
%
% dy/dt = d/dt [r₀ v₀ r₁ v₁ r₂ v₂ ... rₙ vₙ]
% = [v₀ a₀ v₁ a₁ v₂ a₂ ... vₙ aₙ]
%
% with
%
% aₓ = Σₘ -G·mₘ/|rₘ-rₓ|² · (rₘ-rₓ) / |rₘ-rₓ|
% = Σₘ -μₘ·(rₘ-rₓ)/|rₘ-rₓ|³
%
function dydt = odefcn(~, y, mus)
% Split up position and velocity
rs = y([1:6:end; 2:6:end; 3:6:end]);
vs = y([4:6:end; 5:6:end; 6:6:end]);
% Number of celestial bodies
N = size(rs,2);
% Compute interplanetary distances to the power -3/2
df = bsxfun(@minus, permute(rs, [1 3 2]), rs);
D32 = permute(sum(df.^2), [3 2 1]).^(-3/2);
D32(1:N+1:end) = 0; % (remove infs)
% Compute all accelerations
as = -bsxfun(@times, mus.', D32); % (magnitudes)
as = bsxfun(@times, df, permute(as, [3 2 1])); % (directions)
as = reshape(sum(as,2), [],1); % (total)
% Output derivatives of the state vectors
dydt = y;
dydt([1:6:end; 2:6:end; 3:6:end]) = vs;
dydt([4:6:end; 5:6:end; 6:6:end]) = as;
end
Ось сценарій драйвера, за допомогою якого я отримував кілька приємних сюжетів:
clc
close all
% Get coordinates from N-body simulation
[t, yout_noNeptune, yout_withNeptune] = discover_Neptune();
% For plot titles etc.
bodies = {'Sun'
'Earth'
'Jupiter'
'Saturn'
'Uranus'
'Neptune'};
% Extract positions
rs_noNeptune = yout_noNeptune (:, [1:6:end; 2:6:end; 3:6:end]);
rs_withNeptune = yout_withNeptune(:, [1:6:end; 2:6:end; 3:6:end]);
% Figure of the whole Solar sysetm, just to check
% whether everything went OK
figure, clf, hold on
for ii = 1:numel(bodies)
plot3(rs_withNeptune(:,3*(ii-1)+1),...
rs_withNeptune(:,3*(ii-1)+2),...
rs_withNeptune(:,3*(ii-1)+3),...
'color', rand(1,3));
end
axis equal
legend(bodies);
xlabel('X [km]');
ylabel('Y [km]');
title('Just the Solar system, nothing to see here');
% Compare positions of Uranus with and without Neptune
rs_Uranus_noNeptune = rs_noNeptune (:, 13:15);
rs_Uranus_withNeptune = rs_withNeptune(:, 13:15);
figure, clf, hold on
plot3(rs_Uranus_noNeptune(:,1),...
rs_Uranus_noNeptune(:,2),...
rs_Uranus_noNeptune(:,3),...
'b.');
plot3(rs_Uranus_withNeptune(:,1),...
rs_Uranus_withNeptune(:,2),...
rs_Uranus_withNeptune(:,3),...
'r.');
axis equal
xlabel('X [km]');
ylabel('Y [km]');
legend('Uranus, no Neptune',...
'Uranus, with Neptune');
% Norm of the difference over time
figure, clf, hold on
rescaled_t = t/365.25/86400;
dx = sqrt(sum((rs_Uranus_noNeptune - rs_Uranus_withNeptune).^2,2));
plot(rescaled_t,dx);
xlabel('Time [years]');
ylabel('Absolute offset [km]');
title({'Euclidian distance between'
'the two Uranuses'});
% Angles from Earth
figure, clf, hold on
rs_Earth_noNeptune = rs_noNeptune (:, 4:6);
rs_Earth_withNeptune = rs_withNeptune(:, 4:6);
v0 = rs_Uranus_noNeptune - rs_Earth_noNeptune;
v1 = rs_Uranus_withNeptune - rs_Earth_withNeptune;
nv0 = sqrt(sum(v0.^2,2));
nv1 = sqrt(sum(v1.^2,2));
dPhi = 180/pi * 3600 * acos(min(1,max(0, sum(v0.*v1,2) ./ (nv0.*nv1) )));
plot(rescaled_t, dPhi);
xlabel('Time [years]');
ylabel('Separation [arcsec]')
title({'Angular separation between the two'
'Uranuses when observed from Earth'});
яку я опишу тут крок за кроком.
По-перше, графік Сонячної системи, щоб перевірити, чи працює інтегратор N-тіла як слід:
Приємно! Далі я хотів побачити різницю між позиціями Урана з впливом Нептуна і без нього. Отже, я витягнув лише позиції цих двох Урану і побудував їх:
... це навряд чи корисно. Навіть коли сильно збільшуєте масштаб і обертаєте хек з нього, це просто не корисний сюжет. Тому я подивився на еволюцію абсолютної евклідової відстані між двома Уранами:
Це починає виглядати більше так! Приблизно через 80 років після початку нашого аналізу дві Урани розташовані майже на 6 мільйонів км!
Як це може здатися, в масштабніших масштабах речей це може заглушити шум, коли ми проводимо вимірювання тут, на Землі. Плюс це все ще не розповідає всієї історії, як ми побачимо за мить. Отже далі, давайте розглянемо кутову різницю між векторами спостереження від Землі до двох Уранів, щоб побачити, наскільки великий цей кут, і чи може він виділятися вище порогових похибок спостереження:
... ось! Більше 300 арсекундних різниць, плюс всілякі хиткі боббі-тайм-віме, що крутяться. Це здається в межах спостережних можливостей того часу (хоча я не можу так швидко знайти надійне джерело про це; хтось?)
Просто для гарного виміру я також продемонстрував останній сюжет, залишивши Юпітера та Сатурна поза картиною. Хоча деякі теорії збурень була розроблена в 17 - й і 18 - й століття, це було не дуже добре розвинена , і я сумніваюся , що навіть Леверье прийняв Юпітер до уваги (але знову ж , я міг би бути неправильно, будь ласка , поправте мене , якщо ви знаєте більше).
Отже, ось останній сюжет без Юпітера та Сатурна:
Хоча існують відмінності, вони незначні, і головне не мають значення для відкриття Нептуна.
