Як Кеплер "здогадався" свій третій закон із даних?

Дивовижно, що Кеплер визначав свої три закони, дивлячись на дані, без калькулятора і використовуючи лише ручку та папір. Цілком можливо, як він довів, що його закони описували дані після того, як він їх вже вигадав, але я не розумію, як він їх здогадався в першу чергу.

Зосередимось, зокрема, на третьому законі Кеплера, в якому йдеться про те, що площа орбітального періоду планети пропорційна кубу півмагістральної осі орбіти.

Я припускаю, що Кеплер працював з даними лише про планети, плюс наш власний Місяць і Сонце. Я роблю це припущення, тому що я не думаю, що Кеплер мав дані про інші місяці, комети або астероїди, яких телескоп ще не спостерігав. Якщо це правда, знаючи, що Нептун, Уран та Плутон ще не були виявлені, коли Кеплер був живий, це означає, що у Кеплера було менше 9 точок даних, з якими потрібно працювати.

Мій друг стверджує, що цілком зрозуміло, як Кеплер здогадався про ці відносини (хоча він не пропонує методу, як Кеплер міг би це зробити), а також, що спостереження Кеплера "не такі важкі". Як виклик, я подав своєму другові таблицю даних з одним стовпчиком з позначкою , іншим та 9 координатами які відповідають співвідношенню . Я сказав: "Будь ласка, знайдіть стосунки між і ", і, як ви могли очікувати, він цього не зробив.$x$$y$$(x,y)$$x^4=y^3$$x$$y$

Будь ласка, поясніть мені, як у світі Кеплер здогадувався про ці відносини, працюючи з таким невеликим числом точок даних. І якщо моє припущення про те, що кількість точок даних, які Кеплер мав у своєму розпорядженні, є невеликим, є помилковим, то я все ще думаю, що досить складно здогадатися про ці відносини без калькулятора.

Третій закон Кеплера є тривіальним (на мою думку) порівняно з його першим законом. Мені дуже вражено, що він зміг зробити висновок, що орбіти - це еліпси. Щоб досягти цього, йому довелося повертатися назад і вперед, намічаючи напрямок Марса від Землі і Землю в напрямку Марса. Він знав тривалість років обох планет, тому спостереження, взяті один Марсовий рік, відрізнялися б лише тим, що Земля рухалася.

Але, можливо, не так банально. Перші два закони він опублікував у 1609 р. Третій закон з'явився лише через десять років пізніше, у 1619 р. З десяти роками роботи над ним з часом знайдуться навіть самі незрозумілі стосунки.

Щоб виявити співвідношення співвідношення потужностей, побудуйте логарифми чисел. У вашому прикладі з , журнали будуть побудовані на прямій лінії з нахилом . 3 /$x^4 = y^3$$3/4$

Час правильний. Неп'єр опублікував свою книгу про логарифми в 1614 році. Кеплер, можливо, примхливо застосував цей блискучий новий математичний інструмент до своїх крихітних старих даних.

Основна перешкода полягала в тому, що на той час було лише шість відомих планет, тож у нього не було великої кількості точок даних, і ті, що у нього були, аж ніяк не були точними.

Інша проблема Кеплера полягає в тому, що жоден його закон не мав сенсу для нього. Вони відповідають даним, але він поняття не мав, чому. У нього не було законів руху Ньютона, з яких він міг би працювати, він не розумів сили, імпульсу, кутового імпульсу і, звичайно, не тяжіння. Наскільки він знав, планети рухалися так, як вони зробили, бо Бог це наказав, і ангели мали завдання штовхати планети по своїх орбітах. Зовнішні планети рухалися повільніше, тому що їх підштовхували менші ангели.

(Фейнман робить коментар, який ми зараз набагато більше розуміємо. Зараз ми знаємо, що ангели зовні натискають на Сонце.)

Розповідь Кеплера про те, як стався третій закон, виглядає наступним чином (Caspar, с.286; міна акценту):

8 березня цього року 1618 року, якщо потрібна точна інформація про час, вона з’явилася в моїй голові. Але мені не пощастило, коли я вставив його в розрахунок і відкинув його як помилкове. Нарешті, 15 травня він прийшов знову і з новим настанням підкорив темряву мого розуму, і тоді дотримувалася така відмінна згода між моєю сімнадцятирічною роботою в спостереженнях Tychonic і моїм теперішнім роздумом, що я спершу повірив, що маю мріяв і припускав шукане в підтверджуючих доказах. Але цілком певно і точно, що частка між періодичними часами будь-яких двох планет точно в півтора рази перевищує частку середніх відстаней .

Хоча Кеплер насправді не описує натхнення, яке змусило його повірити в це, допитливі фрази дають дуже сильну підказку в поєднанні з деякою базовою біографічною інформацією:

1. Джон Нап'є в 1614 р. Опублікував Mirifici Logarithmorum Canonis Descripto, в якому містився новий винахід логарифмів. Кеплер знав про роботу Неп'єра до 1617 року (Каспар, стор. 308), можливо, і раніше.
2. Джоост Бюргі опублікував роботу над логарифмами майже в той же час, що і Неп'єр, і Кеплер аналогічно знав Бюргі, навіть вихваляючи його математичні здібності як перевагу більшості професорів математики.

Таким чином, твердження Кеплера еквівалентно тому, що дані роблять на графіку лог-журналу нахил 1,5, а це дуже проста лінійна залежність у цій шкалі.

Список літератури:

1. Каспар, Макс, Кеплер , (Дувр, Нью-Йорк, 1993).