Просто знаючи кількість зубів на ланцюжку, чи можемо ми визначити точний діаметр?

Ланцюжок - це n-однобічний регулярний багатокутник, де n - кількість зубів. Бічна довжина s багатокутника - це відстань від кінця до кінця кожного зубчастого зуба.

Формула радіуса правильного многокутника така:

_{(джерело: mathopenref.com )}

Використовуючи 12,75 мм вище дзенбіке для s , ми отримуємо 107,61 для радіусу, або 215,22 мм для діаметра, що дуже близьке до його наближення.

Порівнюючи дві формули, видно, що термін тривалості, як очікувалося, можна усунути. Це залишає нам:

1 / sin ( pi / n ) проти n / pi

Для великих n ці терміни сходяться, вводячи помилку всього .12 мм, коли n = 53. Він трохи більший, оскільки n стає менше, і відрізняється на .64 мм для n = 11.

Для всіх практичних цілей я б просто використовував s * n / pi , навіть для найменшого гвинтика, який ви зіткнетеся, він буде в межах міліметра.

Якщо ви знаєте лише крок ланцюга (стандартний для більшості велосипедів) та кількість зубів, то ви можете повністю описати коло (і n-гон) лише через шпилькові центри . Я зроблю все можливе, щоб зробити математичні формули читабельним способом з текстом, але я повністю опишу кожне з чотирьох кіл / n-gons:

Дозволяє:

n = кількість зубів

L = крок ланцюга (довжина ланки) (12,7 мм для більшості велосипедів)

Нижче див. Вимірювання долини, ролика та зубів. Зверніть увагу, що верхівки зубів можуть відрізнятись від виробників і будуть змінюватися протягом усього життя кільця. Альтернативний метод внизу, мабуть, найпростіший метод, який можна використовувати для зазору кадру.

Оскільки вам відомий крок ланцюга (1/2 "або 12,7 мм - це ланцюг 40 серії, який зазвичай використовується на велосипеді), шпильки будуть утворювати звичайний n-gon (багатокутник з n-сторонами однакової довжини) , причому кожна сторона повинна дорівнювати 12,7 мм. Формула периметра цього n-гона досить проста (внизу), і це було б добре для більшості наближень. Зауважте, що це також дорівнює довжині ланцюга, яка буде обмотана навколо кільце (ланцюг би йшов за n-гоном, а не по колу).

Периметр n-гона, виконаний контактними центрами

Периметр n-гона = L * n = 12,7 * n мм

Однак це не зовсім точно для опису кола по центру штифтів. Більш точні формули наведені нижче:

Обведіть контактні центри

окружність = pi * L / (sin (180 / n)) = 39.8982 / (sin (180 / n)) мм

радіус = L / (2 sin (180 / n)) = 6.35 / sin (180 / n) mm = 'pcRad' (центральний радіус штифта)

діаметр = L / sin (180 / n) = 12,7 / sin (180 / n) мм = 'pcD' (діаметр центрального штифта)

Тепер нам знадобиться додаткова інформація для опису двох пов’язаних кіл / n-gons:

Для долин долів та вершин роликів нам потрібно знати радіус чи діаметр ланцюгового валика навколо шпильки. За даними http://en.wikipedia.org/wiki/Roller_chain , ланцюг 40 серії має діаметр ролика 0,312 дюйма (7,92 мм). Оскільки відстань від шпилькового центру до дна долини є радіусом валик:

Коло / н-гон про долини долин

rRad = радіус ролика (3,96 мм для більшості велосипедів)

Периметр n-гонів долинних поверхів = 2 * n * (pcRad - rRad) * sin (180 / n)

= 2n * (pcRad - 3,96) * sin (180 / n) мм

floorRadius = pcRad - rRad = pcRad - 3,96 мм

полДиаметр = 2 * fRad = pcD - 2 * rRad = pcD - 7,92 мм

Коло / н-гон верхівки ланцюгових роликів

Периметр n-гона верхівки роликів = 2 * n * (pcRad + rRad) * sin (180 / n)

= 2n * (pcRad + 3,96) * sin (180 / n) мм

rollerTopRadius = pcRad + rRad = pcRad + 3,96 мм

rollerTopDiameter = 2 * rtRad = pcD + 2 * rRad = pcD + 7,92 мм

rollerTopCircumference = pi * rtD = pi * (pcD + 2 * rRad) = pi * (pcD + 7,92) мм

Тепер, щоб описати остаточне коло / n-gon, нам потрібна висота зуба над центрами штифтів. Я б очікував, що це буде позитивним на новому ланцюжку і негативним на зношеному:

Коло / н-гон кінчиків зуба

t = висота наконечника зуба над центрами шпильок (мінус, якщо нижче)

Периметр n-гона кінчиків зубів = 2 * n * (pcRad + t) * sin (180 / n)

tipRadius = pcRad + t

tipDiameter = 2 * tRad = pcD + 2 * t

tipCircumference = pi * tD = pi * (pcD + 2 * t)

Крім того, щоб зробити це обчислення трохи простіше (але трохи менш точно на зношеному ланцюзі), ви можете виміряти свій власний інтервал між зубами. В ідеалі вони будуть трохи довші, ніж крок ланцюга, але це зміниться, коли ланцюг зношується:

Коло / н-гон кінчиків зуба - Чергуйте

tSpacing = середня відстань між кінчиками зуба

Периметр n-гона кінчиків зубів = n * tРозміщення

tipRadius = tSpacing / (2 sin (180 / n))

tipDiameter = 2 * tRad = tSpacing / sin (180 / n)

tipCircumference = pi * tD = pi * tРозміщення / (sin (180 / n))

Редагувати:

Я розмістив це запитання на math.se і отримав цікаву відповідь , яка в основному підтверджує відповідь Лантіуса як більш точної математичної моделі, а моя як практичне наближення до велосипедного світу.

Маючи лише кількість зубів, немає.

Але, враховуючи кількість зубів і необхідний проміжок від кінчика до кінчика кожного зуба, щоб відповідати ланцюжку для марки використовуваного ланцюга, ви можете легко визначити окружність.

З окружністю визначити діаметр потрібно простою математикою.

Ділимо діаметр на Pi (3.14159 на 5-й десятковий)

C = D / 3,14159

Отже, якщо кількість зубів - 53, а відстань - 12,75 мм, у нас окружність становить 675,75 міліметра.

675,75 міліметрів, поділених на 3,14159, дає діаметр 215,1 міліметра. Перетворений і округлений на 2 місця, це 8,46 дюйма.

Я виміряв діаметр кільця ланцюга Shimano 53 зуба, і він становить 8,51 дюйма. Тому я вважаю, що моя математика повинна бути такою ж точною, як і допуски в моїх вимірах.