Вторинне число - це додатне ціле число, прості коефіцієнти якого (без кратності) всі менші або рівні його квадратного кореня. 4є вторинним числом, оскільки єдиним його простим фактором є 2рівний його квадратний корінь. Однак 15це не другорядне число, оскільки воно є 5основним фактором, який більший за його квадратний корінь ( ~ 3.9). Оскільки всі прості числа є основними факторами, жодне просте число не є вторинним числом. Перші кілька вторинних чисел такі:

1, 4, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 25, 27, 30, 32, 36, 40, 45, 48, 49, 50, 54, 56

Третинне число визначається аналогічно, за винятком того, що всі прості коефіцієнти повинні бути меншими або рівними його кореням куба. Перші кілька третинних чисел такі:

1, 8, 16, 27, 32, 36, 48, 54, 64, 72, 81, 96, 108, 125, 128, 135, 144, 150, 160, 162

Загалом, n-арне число - це число , основні коефіцієнти якого менше або дорівнюють його n-му кореню. Таким чином, додатне ціле число $x$ є цілим nчислом, якщо кожен з його простих факторів $p$ задовольняє $p^n ≤ x$ . Таким чином, первинні числа - це всі додатні цілі числа (всі прості множники, менші або рівні собі), чвертьфінальні числа мають усі їхні прості множники, менші або рівні їх четвертому кореню тощо.

Змагання

З урахуванням числа kі в nякості вхідних даних, виведіть kй n-ічний номер. kможе бути нульовим або одноіндексованим (на ваш вибір), і nзавжди буде позитивним.

Приклади

Це перші 20 елементів у кожній послідовності до 10-арійних чисел:

Primary: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20
Secondary: 1, 4, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 25, 27, 30, 32, 36, 40, 45, 48, 49, 50, 54, 56
Tertiary: 1, 8, 16, 27, 32, 36, 48, 54, 64, 72, 81, 96, 108, 125, 128, 135, 144, 150, 160, 162
Quarternary: 1, 16, 32, 64, 81, 96, 108, 128, 144, 162, 192, 216, 243, 256, 288, 324, 384, 432, 486, 512
5-ary: 1, 32, 64, 128, 243, 256, 288, 324, 384, 432, 486, 512, 576, 648, 729, 768, 864, 972, 1024, 1152
6-ary: 1, 64, 128, 256, 512, 729, 768, 864, 972, 1024, 1152, 1296, 1458, 1536, 1728, 1944, 2048, 2187, 2304, 2592
7-ary: 1, 128, 256, 512, 1024, 2048, 2187, 2304, 2592, 2916, 3072, 3456, 3888, 4096, 4374, 4608, 5184, 5832, 6144, 6561
8-ary: 1, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 6561, 6912, 7776, 8192, 8748, 9216, 10368, 11664, 12288, 13122, 13824, 15552, 16384, 17496
9-ary: 1, 512, 1024, 2048, 4096, 8192, 16384, 19683, 20736, 23328, 24576, 26244, 27648, 31104, 32768, 34992, 36864, 39366, 41472, 46656
10-ary: 1, 1024, 2048, 4096, 8192, 16384, 32768, 59049, 62208, 65536, 69984, 73728, 78732, 82944, 93312, 98304, 104976, 110592, 118098, 124416

Желе , 12 байт

Æf*³<‘Ạ
1Ç#Ṫ

Бере n та k (одноіндексований) як аргументи командного рядка.

Спробуйте в Інтернеті!

Як це працює

1Ç#Ṫ     Main link. Left argument: n. Right argument: k

1        Set the return value to 1.
 Ç#      Execute the helper link above for r = 1, 2, 3, ... until k of them return
         a truthy value. Yield the list of all k matches.
   Ṫ     Tail; extract the last match.


Æf*³<‘Ạ  Helper link. Argument: r

Æf       Compute all prime factors of r.
  *³     Elevate them to the n-th power.
    <‘   Compare all powers with r + 1.
      Ạ  All; return 1 if all comparisons were true, 0 if one or more were not.

Брахілог , 21 байт

:[1]cyt
,1|,.$ph:?^<=

Спробуйте в Інтернеті!

Ця відповідь є одноіндексованою.

Пояснення

Input: [N:K]

:[1]cy              Retrieve the first K valid outputs of the predicate below with N as input
      t             Output is the last one

,1                  Output = 1
  |                 Or
   ,.$ph            Take the biggest prime factor of the Output
        :?^<=       Its Nth power is less than the Output

JavaScript (ES7), 95 90 байт

Розумно швидко, але на жаль обмежена максимальною кількістю рекурсій.

f=(k,n,i=1)=>(F=(i,d)=>i-1?d>1?i%d?F(i,d-1):F(i/d,x):1:--k)(i,x=++i**(1/n)|0)?f(k,n,i):i-1

Як це працює

Замість того, щоб розподілити коефіцієнт на ціле i і перевірити, що всі його прості коефіцієнти менші або рівні x = floor (i ^{1 / n} ) , ми спробуємо безпосередньо перевірити останнє припущення. Ось мета внутрішньої функції F () :

F = (i, d) =>         // given an integer i and a divisor d:
  i - 1 ?             //   if the initial integer is not yet fully factored
    d > 1 ?           //     if d is still a valid candidate
      i % d ?         //       if d is not a divisor of i
        F(i, d - 1)   //         try again with d-1 
      :               //       else
        F(i / d, x)   //         try to factor i/d
    :                 //     else
      1               //       failed: yield 1
  :                   //   else
    --k               //     success: decrement k

Перевіряємо, чи ділить будь-яке ціле d у [2 ... i ^{1 / n} ] i . Якщо ні, припущення недійсне, і ми повертаємо 1 . Якщо так, ми рекурсивно повторюємо процес на i = i / d, поки він не завершиться, або початкове ціле число повністю не враховується ( i == 1 ), і в цьому випадку ми декрементуємо k . У свою чергу, зовнішня функція f () викликається рекурсивно, поки k == 0 .

Примітка: Через помилки округлення з плаваючою комою, такі як 125**(1/3) == 4.9999…, фактичне обчислене значення для x дорівнює ((i + 1) ^{1 / n} ) .

Демо

(Тут із 97-байтною версією ES6 для кращої сумісності.)

f=(k,n,i=1)=>(F=(i,d)=>i-1?d>1?i%d?F(i,d-1):F(i/d,x):1:--k)(i,x=Math.pow(++i,1/n)|0)?f(k,n,i):i-1

console.log(f(17, 3)); // 144
console.log(f(13, 4)); // 243
console.log(f(4, 10)); // 4096

JavaScript (ES7), 93 79 байт

f=(k,n,g=(i,j=2)=>i<2?--k?g(++m):m:j**n>m?g(++m):i%j?g(i,j+1):g(i/j,j))=>g(m=1)

Я не міг зрозуміти відповідь Арнаульда, тому написав своє і зручно ввійшов у два байти коротше. Редагувати: збережено 14 байт за допомогою @ETHproductions. Безголівки:

function ary(k, n) {
    for (var c = 1;; c++) {
        var m = c;
        for (var i = 2; m > 1 && i ** n <= c; i++)
            while (m % i == 0) m /= i;
        if (m == 1 && --k == 0) return c;
    }
}

Haskell, 86 байт

m#n=(0:1:filter(\k->last[n|n<-[2..k],all((>0).rem n)[2..n-1],k`rem`n<1]^n<=k)[2..])!!m

Пояснення:

( %%%%позначає код із рядка вище)

    [n|n<-[2..k],all((>0).rem n)[2..n-1],k`rem`n<1]  -- generates all prime factors of k
    last%%%%^n<=k                                    -- checks whether k is n-ary
    (0:1:filter(\k->%%%%)[2..])!!m                   -- generates all n-ary nubmers and picks the m-th
     m#n=%%%%                                        -- assignment to the function #

Pyth, 13 байт

e.f.AgL@ZQPZE

Спробуйте в Інтернеті.

Працює насправді так само, як і рішення Jelly.

e.f.AgL@ZQPZE
                 Implicit: read n into Q.
            E    Read k.
 .f              Find the first k integers >= 1 for which
   .A            all
          P      prime factors of
           Z     the number
     gL          are at most
         Q       the n'th
       @         root of
        Z        the number.
e                Take the last one.

Perl 6, 88 байт

->\k,\n{sub f(\n,\d){n-1??n%%d??f n/d,d!!f n,d+1!!d};(1,|grep {$_>=f($_,2)**n},2..*)[k]}

Моє випадкове розуміння полягає в тому, що вам не потрібно дивитись на кожен фактор n, а лише на найбільший, який розраховує внутрішня функція f. На жаль, він обдуває стек більшими входами.

Надійність можна покращити, додавши тест на первинність, використовуючи вбудований is-primeметод на Інтах, вартістю ще кількох символів.

Лушпиння , 10 байт

!fS≤ȯ^⁰→pN

Спробуйте в Інтернеті!

Пояснення

Взяв мене деякий час , щоб з'ясувати , використовуючи →на порожній список повертається 1замість -Infдля ▲яких листя 1в списку ( в іншому випадку це буде коштувати 2 байта випереджати його ще раз):

!fS≤(^⁰→p)N  -- input n as ⁰ and k implicit, for example: 4 3
!f        N  -- filter the natural numbers by the following predicate (example on 16):
  S≤(    )   --   is the following less than the element (16) itself?
        p    --   ..prime factors (in increasing order): [2]
       →     --   ..last element/maximum: 2
     ^⁰      --   ..to the power of n: 16
             --   16 ≤ 16: yes
             -- [1,16,32,64,81..
!            -- get the k'th element: 32

R, 93 байти

f=function(k,n){x='if'(k,f(k-1,n)+1,1);while(!all(numbers::primeFactors(x)<=x^(1/n)))x=x+1;x}

Нульова індексація.

Це рекурсивна функція, яка просто продовжує дію, поки не знайде наступне число у рядку. Використовує для numbersупаковки для пошуку основних факторів.

MATL, 21 байт

x~`@YflG^@>~A+t2G<}x@

У цьому рішенні використовується одноосновна індексація, а вхідні дані - nі k, відповідно.

Спробуйте в Інтернеті!

Пояснення

x       % Implicitly grab the first input and delete it
~       % Implicitly grab the second input and make it FALSE (0) (this is the counter)
`       % Beginning of the do-while loop
  @Yf   % Compute the prime factors of the current loop index
  1G^   % Raise them to the power of the first input
  @>    % Determine if each value in the array is greater than the current index
  ~A    % Yield a 0 if any of them were and a 1 if they weren't
  +     % Add this to the counter (increments only for positive cases)
  t2G<  % Determine if we have reached a length specified by the second input
}       % After we exit the loop (finally), ...
x@      % Delete the counter and push the current loop index to the stack
        % Implicitly display the result

Brachylog v2 , 16 байт

{∧.ḋ,1⌉;?^≤}ᶠ⁽t

Спробуйте в Інтернеті!

Кредит рішення Jelly Денніса для отримання мене думати в правильному напрямку.

Пояснення

Ось злегка необроблений варіант, який простіше розібрати:

↰₁ᶠ⁽t
∧.ḋ,1⌉;?^≤

Довідковий предикат (рядок 2): вхід - це показник n , вихід необмежений:

∧           Break implicit unification
 .ḋ         Get the prime factors of the output
   ,1       Append 1 (necessary because 1 has no prime factors and you can't take
            the max of an empty list)
     ⌉      Max (largest prime factor, or 1 if the output is 1)
      ;?    Pair that factor with the input (n)
        ^   Take factor to the power of n
         ≤  Verify that the result is less than or equal to the output

Основний предикат (рядок 1): вхід - це список, що містить індекс k (на основі 1) та показник n ; вихід необмежений:

  ᶠ⁽   Find the first k outputs of
↰₁     calling the helper predicate with n as input
    t  Get the last (i.e. kth) one

APL (NARS), 53 символи, 106 байт

r←a f w;c
c←0⋄r←1
→3×⍳∼∧/(πr)≤a√r⋄→0×⍳w≤c+←1
r+←1⋄→2

тест:

  1 f¨1..20
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 
  2 f¨1..20
1 4 8 9 12 16 18 24 25 27 30 32 36 40 45 48 49 50 54 56 
  3 f¨1..20
1 8 16 27 32 36 48 54 64 72 81 96 108 125 128 135 144 150 160 162 
  4 f¨1..20
1 16 32 64 81 96 108 128 144 162 192 216 243 256 288 324 384 432 486 512 
  10 f¨1..20
1 1024 2048 4096 8192 16384 32768 59049 62208 65536 69984 73728 78732 82944 93312 98304 104976 110592 118098 124416 

Python 2 , 114 байт

f=lambda K,n,i=1:K and f(K-all(j**n<=i for j in range(1,i+1)if i%j==0and all(j%k for k in range(2,j))),n,i+1)or~-i

Спробуйте в Інтернеті!

1-індексована функція.

Japt , 14 байт

Приймає nяк перший вхід і k(1-індексований) як другий.

@_k e§Vq}aXÄ}g

Спробуй це