Враховуючи число n >= 2, виведіть усі натуральні числа менше, ніж nде gcd(n, k) == 1(з kбудь-яким з вихідних чисел). Числа такого роду є спільними для одне одного.

Приклад: 10дає результат [1, 3, 7, 9](у будь-якій формі, яка вам подобається, якщо числа однозначно розділені і є в якомусь списку). У списку не може бути повторюваних записів і їх не потрібно сортувати.

Більше тестових випадків:

2 -> [1]
3 -> [1, 2]
6 -> [1, 5]
10 -> [1, 3, 7, 9]
20 -> [1, 3, 7, 9, 11, 13, 17, 19]
25 -> [1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 16, 17, 18, 19, 21, 22, 23, 24]
30 -> [1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29]

Ми також не враховуємо числа, nякі є копрієм n, тільки тому, що я впевнений, що існує нескінченне рішення.

Також зверніть увагу: Числа, які є спільними для одне одного, також вважаються відносно простими або взаємно простими один для одного.

Желе , 3 байти

gÐṂ

Спробуйте в Інтернеті!

Як це працює?

gÐṂ - (Монадік) Повна програма.

g - Найбільший загальний дільник.
 ÐṂ - Зберігайте елементи з мінімальним значенням посилання (тобто, з GCD == 1)
       Зауважте, що це автоматично створює діапазон [1, вхід] (включно).

Доказ дійсності

Оскільки ми хочемо витягнути лише копії, мінімальне значення списку «Найбільших-загальних-дільників» має бути 1, щоб ÐṂтрюк працював. Доведемо, що (двома різними методами):

1. $[1, \text{input}]$$1$$\gcd(1, x) = 1\:\:\forall\:\:x \in \mathbb{Z}^{*}$$1$

2. Два послідовних натуральних числа завжди є першочерговими. Розглянемо , при . Тоді беремо ще одне додатне ціле число таке, що і .$x, y \in \mathbb{Z}^{*}$$y = x + 1$$k$$k \mid x$$k \mid y$

   Звідси випливає, що , так , таким чином . Єдине додатне ціле число для поділу - саме , тому воно гарантовано відображатиметься у списку і завжди буде мінімальним значенням.k ∣ ( x + 1 - x ) k ∣ 1 1 $k \mid (y - x)$$k \mid (x + 1 - x)$$k \mid 1$$1$$1$

Python 2 , 61 47 байт

lambda n:[k/n for k in range(n*n)if k/n*k%n==1]

Спробуйте в Інтернеті!

Фон

Розглянемо кільце . Хоча це кільце зазвичай визначається за допомогою модулів n залишків класів , його також можна розглядати як набір Z n = { 0 , … , n - 1 } , де оператори додавання та множення визначаються а + n b = ( a + б $(Z_n, +_n, \cdot_n)$$n$$Z_n = \{0, \dots, n - 1\}$ і a ⋅ n b = a ⋅ $a +_n b = (a + b)\:\%\: n$ , де + $a \cdot_n b = a \cdot b\:\%\: n$ позначають звичайні оператори додавання, множення та модуля для цілих чисел.$+,\:\cdot\text{, and } \%$

Два елементи і б з Z п називаються взаємні мультиплікативні інверсій по модулю п , якщо на ⋅ п Ь = 1$a$$b$$Z_n$$n$ . Зауважимо, що$a \cdot_n b = 1\:\%\:n$ коли n > 1 .$1\:\%\:n = 1$$n > 1$

Виправте і нехай a є копрієм n у Z n . Якщо на ⋅ п х = а ⋅ л у для двох елементів х і у з Z п , ми маємо , що ⋅ $n > 1$$a$$n$$Z_n$$a \cdot_n x = a \cdot_n y$$x$$y$$Z_n$ . Звідси випливає, що a ⋅ ( x - y $a \cdot x\:\%\:n = a \cdot y\:\%\:n$ , і випливає, що n ∣ a ⋅ ( x - y ) , тобто n ділить a ⋅ ( x - y ) рівномірно. Оскільки n не ділиться з простими дільниками на a , це означає, що n ∣ x - y . Нарешті, оскільки - n < x - y < n , робимо висновок, що x = y . Це показує, що продукти a $a \cdot (x - y)\:\%\:n = a \cdot x\:\%\:n - a \cdot y\:\%\:n = 0$$n \mid a \cdot (x - y)$$n$$a \cdot (x - y)$$n$$a$$n \mid x - y$$-n < x - y < n$$x = y$ - всі різні елементи Z n . Оскільки Z n має рівно n елементів, один (і саме один) цих виробів повинен бути рівний 1 , тобтов Z n єунікальне b таке, що a ⋅ n b = 1 .$a \cdot_n 0, \dots, a \cdot_n (n - 1)$$Z_n$$Z_n$$n$$1$ $b$$Z_n$$a \cdot_n b = 1$

І навпаки, виправте і нехай a - елемент Z n, який не є coprime до n . У цьому випадку існує просте p таке, що p ∣ a і p ∣ n . Якщо визнав мультиплікативний зворотний по модулю п (назвемо його б ), ми б , що ⋅ п Ь = 1 , що означає , що ⋅ $n > 1$$a$$Z_n$$n$$p$$p \mid a$$p \mid n$$a$$n$$b$$a \cdot_n b = 1$ і, отже, ( a ⋅ b - 1 $a \cdot b\:\%\:n = 1$ , тому n ∣ a ⋅ b - 1 . Оскільки p ∣ a , то випливає, що p ∣ a ⋅ b . З іншого боку, оскільки p ∣ n , ми також випливаємо, що p ∣ a ⋅ b - 1 . Таким чином, p ∣ ( a ⋅ b ) - ( a ⋅ b - 1 ) = $(a \cdot b - 1)\:\%\:n = a \cdot b\:\%\:n - 1 = 0$$n \mid a \cdot b - 1$$p \mid a$$p \mid a \cdot b$$p \mid n$$p \mid a \cdot b - 1$$p \mid (a \cdot b) - (a \cdot b - 1) = 1$, що суперечить припущенню, що - просте число.$p$

Це доводить, що наступні твердження еквівалентні, коли .$n > 1$

• і n - це спірне значення.$a$$n$

• допускає мультиплікативний зворотний модуль n .$a$$n$

• допускаєунікальниймультиплікативний зворотний модуль n .$a$$n$

Як це працює

Для кожної пари цілих чисел і b в Z n ціле число k : = a ⋅ n + b є унікальним; насправді, a і b є коефіцієнтом, а решта k поділена на n , тобто, задавши k , ми можемо відновити a = k / n і b = $a$$b$$Z_n$$k := a \cdot n + b$$a$$b$$k$$n$$k$$a = k/n$ , де / позначаєціледілення. Нарешті, оскільки a ≤ n - 1 і b ≤ n - 1 , k - елемент Z n 2 ; насправді k ≤ ( n - 1 ) ⋅ n + ( n - 1 ) = n 2 - 1 .$b = k\:\%\: n$$/$$a ≤ n - 1$$b ≤ n - 1$$k$$Z_{n^2}$$k ≤ (n - 1) \cdot n + (n - 1) = n^2 - 1$

Як зазначалося вище, якщо і n є спільними, буде унікальний b такий, що a ⋅ $a$$n$$b$ , тобто буде унікальна k така, що k / n = a і k / n ⋅ $a \cdot b\:\%\:n = 1$$k$$k / n = a$ , такгенерується список буде міститирівно один раз.$k / n \cdot k\:\%\:n = (k / n) \cdot (k\:\%\:n)\:\%\:n = 1$$a$

І навпаки, якщо і n не є одночасними, умова k / n ⋅ $a$$n$ буде помилковим для всіх значень k таким, що a = k / n , тому створений списокнебудемістити a .$k / n \cdot k\:\%\:n = 1$$k$$a = k / n$$a$

Це доводить, що список, який повертається лямбда, буде містити всі -ма копії в Z n рівно один раз.$n$$Z_n$

Желе , 4 байти

gRỊT

Спробуйте в Інтернеті!

Як це працює

gRỊT  Main link. Argument: n

 R    Range; yield [1, ..., n].
g     Compute the GCD of n and each k in [1, ..., n].
  Ị   Insignificant; return 1 for GCDs less or equal to 1.
   T  Truth; yield the indices of all truthy elements.

Математика, 25 байт

Range@#~GCD~#~Position~1&

Трохи дивний формат виводу, коли кожен результат обгортається в окремий список, наприклад {{1}, {3}, {7}, {9}}. Якщо це не нормально, у мене є два рішення на 30 байт:

Select[Range[x=#],#~GCD~x<2&]&
#&@@@Range@#~GCD~#~Position~1&

Mathematica насправді є, CoprimeQале це занадто довго.

2 придатних , 4 байти

Код:

ƒN¿–

Пояснення:

ƒ       # For N in the range [0, input]..
 N¿     #   Compute the GCD of N and the input
   –    #   If 1, print N with a newline

Використовує кодування CP-1252 . Спробуйте в Інтернеті!

Пітон, 93 82 74 байт

f=lambda a,b:f(b,a%b)if b else a<2
lambda c:[i for i in range(c)if f(i,c)]

fрекурсивно перевіряє наявність коприм, а друга лямбда створює їх. Виводить список.

Власне , 8 байт

;╗R`╜┤`░

Спробуйте в Інтернеті!

Пояснення:

;╗R`╜┤`░
  R`  `░  elements of range(1, n+1) where
;╗  ╜     n and the element
     ┤    are coprime

MATL , 7 байт

:GZd1=f

Спробуйте в Інтернеті!

MATLAB / Октава, 22 байти

@(n)find(gcd(1:n,n)<2)

Спробуйте в Інтернеті!

JavaScript (ES6), 64 61 байт

Збережено 3 байти завдяки @ user81655

n=>[...Array(n).keys()].filter(b=>(g=a=>b?g(b,b=a%b):a<2)(n))

Фрагмент тесту

f=n=>[...Array(n).keys()].filter(b=>(g=a=>b?g(b,b=a%b):a<2)(n))

for(var i = 2; i < 50; i++) console.log(i + ":", `[${ f(i) }]`);

Медузи , 19 18 байт

p
[#
`B
&~xr1
NnEi

Це працює, обчислюючи основну факторизацію кожного числа в діапазоні і перевіряючи, чи воно перетинається з вхідним (медузи ще не вбудували gcd). З міркувань гольфу вихідний результат відбувається у порядку зменшення. Спробуйте в Інтернеті!

Пояснення

По-перше, iоцінюється вхід; для введення 10значення i-cell є 10.

r1
i

Тут r(діапазон) застосовується до вводу та 1. Оскільки вхід більший за 1, діапазон знаходиться в порядку зменшення; для введення 10це дає [9 8 7 6 5 4 3 2 1].

[#
`B
&~x
Nn

Ця частина - одна велика функція, яка оцінюється на iта вищенаведеному діапазоні.

~x
n

Перетин ( n) простих факторів ( x).

&~x
Nn

Це порожньо? ( N)

`
&~x
Nn

Нитка до рівня 0, тестуючи для кожного елемента діапазону.

[#
`B
&~x
Nn

Фільтр ( #) діапазон відносно цього списку булевих. Функція, що виробляється, [хоче використовувати аргумент #як власний аргумент, тому ми ставимо Bблок для #отримання будь-яких аргументів. В іншому випадку значення ~-cell буде використано як аргумент великої функції. Нарешті, pдрукується результат.

Складене, неконкурентне, 24 21 байт

Збережено 3 байти, навіяні рубіном Борсунго . ( 1 eqдо 2<)

{!n:>1+:n gcd 2<keep}

Спробуйте тут!

Це n-лямбда, який приймає єдиний аргумент і дає масив.

{!n:>1+:n gcd 2<keep}
{!                  }  n-lambda
  n                    push n
   :>                  range [0, n)
     1+                range [1, n]
       :               duplicate
        n gcd          element-wise gcd with n
              2<       element-wise equality with 1
                       this yields the range [1, n] and a boolean mask of coprime numbers
                keep   then, we simply apply the mask to the range and keep coprimes.

CJam , 14 байт

{:X{Xmff%:*},}

Спробуйте в Інтернеті!

Пояснення

Нам не потрібно перевіряти всі можливі дільники aта bперевіряти, чи є вони копійними. Достатньо розібратися, чи bділиться який-небудь з основних факторів a.

:X     e# Store the input in X.
{      e# Filter the list [0 1 ... X-1] by the results of this block...
  Xmf  e#   Get the prime factors of X.
  f%   e#   Take the current value modulo each of those prime factors.
  :*   e#   Multiply the results. Iff any of them divide the current
       e#   value, there's a 0 in the list, and the result of the product
       e#   is also 0, dropping the value from the resulting list.
},

Математика, 26 байт

Pick[r=Range@#,r~GCD~#,1]&

Perl 6 , 20 байт

{grep 2>* gcd$_,^$_}

Брахілог , 16 13 байт

>.$p'(e:A*?),

Це функція, яка приймає N в якості вхідного сигналу і генерує всі цілі числа менше, ніж і одночасно.

Спробуйте в Інтернеті! Як це часто буває в Брахілозі, до цього було додано додатковий код, щоб перетворити функцію на повну програму; Інтерпретатор Брахілогів, якщо йому надана функція, а не повна програма, запустить її, але не надрукує вихід, а це означає, що ви не можете реально спостерігати за його роботою.

Пояснення:

Програма Брахілог - це ланцюжок обмежень; зазвичай LHS одного обмеження є RHS наступного.

>.$p'(e:A*?),
>              The input is greater than
 .             the output, whose
  $p           prime factorisation does
    '(     )   not obey the following constraint:
      e        it has an element which
       :A*     can be multiplied by something to
          ?    produce the input.
            ,  (This comma turns off an unwanted implicit constraint.)

Зіштовхнувшись з трьох символів, зрозумівши, що немає підстав перевіряти, чи є загальний фактор (який, як відомо, є основним фактором виходу), є основним фактором введення. Ми вже знаємо, що це прем'єр, тому ми можемо просто перевірити, чи це фактор. Я приємно здивований, що :A*?не пересилає інтерпретатора в нескінченний цикл і не дозволяє неціле значення для A , але оскільки інтерпретатор робить те, що я хочу, я візьму його.

Діалог APL, 10 байт .

0~⍨⍳×1=⊢∨⍳

Пояснення (введення n):

0~⍨⍳×1=⊢∨⍳
         ⍳ - 1 ... n (Thus, ⎕IO is 1)
       ⊢∨  - Each GCD'd by n
     1=    - Test equality with 1 on each element
   ⍳×      - multiplied by its index
0~⍨        - without 0.

Япт -f , 9 8 5 2 байти

jN

Спробуй це

• 2 байти збережено завдяки ETH вказує на мозковий пір, що призвело до збереження іншого байта.

Математика, 33 байти

xSelect[Range@x,x~CoprimeQ~#&]

Містить U + F4A1

Haskell, 27 байт

f n=[k|k<-[1..n],gcd n k<2]

Спробуйте в Інтернеті!

Джулія 0,5 , 23 байти

!n=1÷gcd.(1:n,n)|>find

Спробуйте в Інтернеті!

меми , 11 байтів, що не конкурують , застарілі

Неконкурентна, оскільки ітерація STDIN є новою. Використовує кодування UTF-8.

d`}}]i=1?ip

Пояснення:

d     Set program to not output result
`}    Loop next input-times
}]i   GCD of input and loop index
=1?   Is it equal to 1? If yes,
ip    Print out loop index

}отримує доступ до наступного елемента введення, але останній вхід проходить циклічним шляхом, коли його вводять, тому введення 6буде результатом, як 6 6 6 6 6 ...у STDIN, що робить можливим зчитування двох виходів з одного.

05AB1E , 3 байти

Lʒ¿

Спробуйте в Інтернеті!

Має нові функції.

Рубі, 36 34

->n{n.times{|i|p i if i.gcd(n)<2}}

Справді, це не дуже натхненно відповідь.

2 байти збережено завдяки Conor O'Brien

Python 3 , 60 байт

Імпортує gcd замість того, щоб написати нову лямбда для нього. Пропозиції з гольфу вітаються. Спробуйте в Інтернеті!

import math
lambda c:[i for i in range(c)if math.gcd(c,i)<2]

Джулія, 30 байт

n->filter(x->(gcd(n,x)<2),1:n)

Анонімна функція. filterвилучає елементи зі списку, які не є правдоподібними відповідно до функції.

У цьому випадку функція є x->(gcd(n,x)<2)(вірно, якщо gcd вводу та елемента списку менше 2). Список - це діапазон 1:n.

PARI / GP , 27 байт

n->[k|k<-[1..n],gcd(k,n)<2]

Для цього використовується нотація набору, введена у версії 2.6.0 (2013). У попередніх версіях було потрібно ще чотири байти:

n->select(k->gcd(k,n)<2,[1..n])

знадобиться.

05AB1E , 4 байти

GN¿–

Спробуйте в Інтернеті!

Як це працює

     # implicit input
G    # for N in range(1..input)
 N   # push N
  ¿  # gcd(input, N)
   – # if 1, print N

C (gcc) , 54 байти

k;f(n){for(k=0;++k/n<n;k/n*k%n-1||printf("%u ",k/n));}

Це порт моєї відповіді Python .

Спробуйте в Інтернеті!

Pyth , 5 байт

x1iLQ

Спробуйте в Інтернеті!

Як це працює

Зауважте, що Pyth використовує 0-індексацію.

x1iLQ   Q = eval(input())

x1iLQQ  implicit Q at the end
  iLQQ  [gcd(Q,0), gcd(Q,1), ..., gcd(Q,Q-1)]
x1      all occurences of 1 in the above list (return their indices)