Враховуючи невід’ємне ціле число виведіть номер Ейлера ( OEIS A122045 ). $n ,$ $n^{\text{th}}$

Всі непарні показники Ейлера -Ченно-індексовані числа Ейлера можна обчислити за такою формулою ( відноситься до уявної одиниці): $0 .$ $i \equiv \sqrt{-1}$

E_{2 n} = i \sum_{k = 1}^{2 n + 1} \sum_{j = 0}^{k} (\begin{matrix} k \\ j \end{matrix}) \frac{{(- 1)}^{j} {(k - 2 j)}^{2 n + 1}}{2^{k} i^{k} k} .

$E_{2n} = i \sum_{k=1}^{2n+1}{ \sum_{j=0}^{k}{ \left(\begin{array}{c}k \\ j \end{array}\right) \frac{{\left(-1\right)}^{j} {\left(k-2j\right)}^{2n+1}}{2^k i^k k} } } \,.$

Правила

$n$ буде невід'ємним цілим числом, таким, що число число Ейлера знаходиться в межах представницького діапазону цілих чисел для вашої мови. $n^{\text{th}}$

Випробування

0 -> 1
1 -> 0
2 -> -1
3 -> 0
6 -> -61
10 -> -50521
20 -> 370371188237525

— Мего
джерело

1

@donbright Вам не вистачає набір круглих дужок: wolframalpha.com/input/… - при цьому обидві суми є обома -i/2, які отримують -iпри додаванні. Помножте це на iзовнішню суму підсумовування, і ви отримаєте 1.

— Mego

18

Математика, 6 байт

EulerE

-кашель-

— Грег Мартін
джерело

9

Побачивши заголовок, я одразу подумав "Напевно, математика повинна мати для цього вбудований".

— HyperNeutrino

12

Це стосується майже кожного заголовка ... навіть виявлення козлів на зображеннях

— Луїс Мендо

GoatImageQнедооцінений

— Грег Мартін

1

Чи можете ви пояснити це? Редагувати: це був жарт.

— Чарівний восьминіг Урна

13

J , 10 байт

(1%6&o.)t:

Спробуйте в Інтернеті!

Використовує визначення для експоненціальної функції породження sech (x).

— миль
джерело

Чи робить J символічний аналіз, щоб отримати функцію генерування? Він не стикається з помилками з плаваючою комою навіть для n = 30.

— orlp

@orlp Я не впевнений, що робить це внутрішньо, але Дж знає ряд Тейлора для підмножини дієслів . Будь-яка функція, яку ви можете визначити за допомогою комбінації цих дієслів, буде дійсною для t.або t:де є gf та egf Цікавою зауваженням є те, що tan (x) не підтримується, але sin (x) / cos (x) є.

— миль

12

Парі / GP , 32 байти

n->n!*Vec(1/cosh(x+O(x^n++)))[n]

Спробуйте в Інтернеті!

— алефальфа
джерело

11

Клен, 5 байт

euler

Ура для вбудованих?

— миль
джерело

4

Любіть, коли математика занадто багатослівна для математичної задачі ...

— theonlygusti

11

Максима , 5 байт / 42 байти

У Maxima є вбудований:

euler

Спробуйте в Інтернеті!

Наступне рішення не вимагає вбудованого зверху, і використовує формулу, яка спочатку визначала числа ейлерів.

Ми в основному шукаємо n-й коефіцієнт розширення рядів 1/cosh(t) = sech(t)(до n!)

f(n):=coeff(taylor(sech(x),x,0,n)*n!,x,n);

Спробуйте в Інтернеті!

— недолік
джерело

9

Математика, без вбудованого, 18 байт

Використовуючи формулу @ rahnema1 :

2Im@PolyLog[-#,I]&

21 байт:

Sech@x~D~{x,#}/.x->0&

— алефальфа
джерело

5

Python 2.7, 46 байт

Використовуючи scipy.

from scipy.special import*
lambda n:euler(n)[n]

— хеш-код55
джерело

5

Perl 6 , 78 байт

{(->*@E {1-sum @E».&{$_*2**(@E-1-$++)*[*](@E-$++^..@E)/[*] 1..$++}}...*)[$_]}

Використовує итерационную формулу звідси :

E_{n} = 1 - \sum_{k = 0}^{n - 1} [E_{k} \cdot 2^{(n - 1 - k)} \cdot (\binom{n}{k})]

$E_n = 1 - \sum_{k=0}^{n-1} \left[ E_k \cdot 2^{(n-1-k)} \cdot \binom{n}{k} \right]$

Як це працює

Загальна структура - це лямбда, в якій генерується нескінченна послідовність, вираз, який викликається повторно, і отримує всі попередні значення послідовності в змінній @E, а потім ця послідовність індексується аргументом лямбда:

{ ( -> *@E {    } ... * )[$_] }

Вираз, викликаний для кожного кроку послідовності, є:

1 - sum @E».&{              # 1 - ∑
    $_                      # Eₙ
    * 2**(@E - 1 - $++)     # 2ⁿ⁻ˡ⁻ᵏ
    * [*](@E - $++ ^.. @E)  # (n-k-1)·...·(n-1)·n
    / [*] 1..$++            # 1·2·...·k
}

— smls
джерело

4

Максима, 29 байт

z(n):=2*imagpart(li[-n](%i));

Спробуйте в Інтернеті!

Двічі уявна частина функції полілогарифму порядку -nз аргументом i [1]

— рахнема1
джерело

4

JavaScript (Node.js) , 46 45 байт

F=(a,b=a)=>a?(b+~a)*F(--a,b-2)+F(a,b)*++b:+!b

Спробуйте в Інтернеті!

Дійсно для всіх значень (за потребою), але загалом не для (виводить для непарних с.) Код модифікується, щоб зменшити один байт, змінивши вихід на де визначено нижче. Зокрема, формула повторення для є $E_n$ $F(n, i)$ $-F(n,i)$ $n$ $F'(n,i)=(-1)^nF(n,i)$ $F$ $F'$

F^{'} (n, i) = (i - n - 1) F^{'} (n - 1, i - 2) + (i + 1) F^{'} (n - 1, i)

$F'(n,i)=(i-n-1)F'(n-1,i-2)+(i+1)F'(n-1,i)$

JavaScript (Node.js) , 70 46 байт

F=(a,b=a)=>a?-F(--a,b)*++b+F(a,b-=3)*(a-b):+!b

Спробуйте в Інтернеті!

З подивом не знайшов відповіді на JavaScript, тому спробую.

Код складається лише з базової математики, але математика за кодом вимагає обчислення. Формула рекурсії походить від розширення похідних різних порядків. $\mathrm{sech}(x)$

Пояснення

Тут я використаю зручні позначення. Нехай і . Тоді маємо $T^n:=\mathrm{tanh}^n(t)$ $S^n:=\mathrm{sech}^n(t)$

\frac{d^{n} S}{d t^{n}} = \sum_{i = 0}^{n} F (n, i) T^{n - i} S^{i + 1}

$\frac{d^nS}{dt^n}=\sum_{i=0}^nF(n,i)T^{n-i}S^{i+1}$

Оскільки та , ми можемо зробити висновок, що $\frac{dT}{dt}=S^2$ $\frac{dS}{dt}=-TS$

\begin{aligned} \frac{d}{d t} (T^{a} S^{b}) & = a T^{a - 1} (S^{2}) (S^{b}) + b S^{b - 1} (- T S) (T^{a}) \\ = a T^{a - 1} S^{b + 2} - b T^{a + 1} S^{b} \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{aligned} \frac{d}{dt}(T^aS^b)&=aT^{a-1}(S^2)(S^b)+bS^{b-1}(-TS)(T^a) \\ &=aT^{a-1}S^{b+2}-bT^{a+1}S^b \end{aligned} \end{equation}$

Нехай і , ми можемо переписати відношення вище як $b=i+1$ $a=n-i$

\begin{aligned} \frac{d}{d t} (T^{n - i} S^{i + 1}) & = (n - i) T^{n - i - 1} S^{i + 3} - (i + 1) T^{n - i + 1} S^{i + 1} \\ = (n - i) T^{(n + 1) - (i + 2)} S^{(i + 2) + 1} - (i + 1) T^{(n + 1) - i} S^{i + 1} \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{aligned} \frac{d}{dt}(T^{n-i}S^{i+1})&=(n-i)T^{n-i-1}S^{i+3}-(i+1)T^{n-i+1}S^{i+1}\\ &=(n-i)T^{(n+1)-(i+2)}S^{(i+2)+1}-(i+1)T^{(n+1)-i}S^{i+1} \end{aligned} \end{equation}$

Тобто сприяє як і . В результаті ми можемо записати через і : $F(n,i)$ $F(n+1,i+2)$ $F(n+1,i)$ $F(n,i)$ $F(n-1,i-2)$ $F(n-1,i)$

F (n, i) = (n - i + 1) F (n - 1, i - 2) - (i + 1) F (n - 1, i)

$F(n,i)=(n-i+1)F(n-1,i-2)-(i+1)F(n-1,i)$

з початковою умовою і де . $F(0,0)=1$ $F(0,i)=0$ $i\neq 0$

Пов'язана частина коду a?-F(--a,b)*++b+F(a,b-=3)*(a-b):+!bточно розраховується за допомогою наведеної вище формули повторення. Ось поділка:

-F(--a,b)                // -F(n-1, i)                  [ a = n-1, b = i   ]
*++b                     // *(i+1)                      [ a = n-1, b = i+1 ]
+F(a,b-=3)               // +F(n-1, i-2)                [ a = n-1, b = i-2 ]
*(a-b)                   // *((n-1)-(i-2))              [ a = n-1, b = i-2 ]
                         // which is equivalent to *(n-i+1)

Оскільки і , дорівнює коефіцієнту при розширенні , яке . $T(0)=0$ $S(0)=1$ $E_n$ $S^{n+1}$ $\frac{d^nS}{dt^n}$ $F(n,n)$

Для гілок, яких ніколи не можна досягти, повторення завжди закінчуються на 0, тому де або непарне. Останнє, зокрема, означає, що для всіх непарних s. Якщо навіть s суворо більший за , повторення може врешті-решт дозволити статися в якийсь момент, але перед цим кроком він повинен досягти точки, де , і формула повторення показує, що значення повинно бути 0 у цій точці (оскільки перший доданок множимо на , а другий член - далі від "трикутника" $F(0,0)$ $F(n,i)=0$ $i<0$ $i$ $E_n=0$ $n$ $i$ $n$ $0\leq i\leq n$ $i=n+1$ $n-i+1=n-(n+1)+1=0$ $0\leq i\leq n$ ). У результаті де . Це завершує доведення достовірності алгоритму. $F(n,i)=0$ $i > n$

Розширення

Код можна модифікувати для обчислення ще трьох споріднених послідовностей:

Дотичні числа (46 байт)

F=(a,b=a)=>a?F(--a,b)*++b+F(a,b-=3)*(a-b):+!~b

Секретні числа (45 байт)

F=(a,b=a)=>a?F(--a,b)*++b+F(a,b-=3)*(a-b):+!b

Зігзагові цифри Ейлера (48 байт)

F=(a,b=a)=>a?F(--a,b)*++b+F(a,b-=3)*(a-b):!b+!~b

— Шиеру Асакото
джерело

3

Befunge, 115 байт

Це просто підтримує твердо кодований набір перших 16 чисел Ейлера (тобто E ₀ - E ₁₅ ). Все, що перевищує це, ніяк не впишеться у 32-бітове значення Befunge.

&:2%v
v@.0_2/:
_1.@v:-1
v:-1_1-.@
_5.@v:-1
v:-1_"="-.@
_"}$#"*+.@v:-1
8**-.@v:-1_"'PO"
"0h;"3_"A+y^"9*+**.@.-*8+*:*

Спробуйте в Інтернеті!

Я також здійснив повну реалізацію формули, поданої в виклику, але вона майже вдвічі менша, і вона все ще обмежена першими 16 значеннями в TIO, хоча це 64-бітний інтерпретатор.

<v0p00+1&
v>1:>10p\00:>20p\>010g20g2*-00g1>-:30pv>\:
_$12 0g2%2*-*10g20g110g20g-240pv^1g03:_^*
>-#1:_!>\#<:#*_$40g:1-40p!#v_*\>0\0
@.$_^#`g00:<|!`g01::+1\+*/\<
+4%1-*/+\2+^>$$10g::2>\#<1#*-#2:#\_$*\1

Спробуйте в Інтернеті!

Проблема цього алгоритму полягає в тому, що проміжні значення в ряді переповнюються набагато швидше, ніж загальні. У 32-розрядному інтерпретаторі він може обробляти лише перші 10 значень (тобто E ₀ до E ₉ ). Перекладачі, які використовують bіnum, повинні робити набагато краще - PyFunge та Befungee могли працювати як мінімум до E ₃₀ .

— Джеймс Холдерс
джерело

1

Python2, (симпатія раціональна), 153 байти

from sympy import *
t=n+2 
print n,re(Add(*map(lambda (k,j):I**(k-2*j-1)*(k-2*j)**(n+1)*binomial(k,j)/(k*2**k),[(c/t+1,c%t) for c in range(0,t**2-t)])))

Це дуже неоптимально, але він намагається використовувати основні функції симпатії та уникати плаваючої точки. Дякую @Mego, що встановив мене прямо за первісною формулою, переліченою вище. Я спробував використати щось на кшталт @ xnor "поєднати дві петлі" з Поради щодо гольфу в Python

— Дон яскравий
джерело

1

Ви можете import*(видалити пробіл між ними), щоб зберегти байт. Крім того, вам потрібно якось прийняти число як вхід (фрагменти, які передбачають, що вхід є змінною, не дозволяється).

— FlipTack

1

CJam (34 байти)

{1a{_W%_,,.*0+(+W%\_,,:~.*.+}@*W=}

Демонстрація в Інтернеті, яка друкує E (0) до E (19). Це анонімний блок (функція).

Реалізація запозичує повторення Shieru Akasoto і переписує його в більш зручному стилі CJam, маніпулюючи цілими рядами за один раз.

Розсічення

{           e# Define a block
  1a        e#   Start with row 0: [1]
  {         e#   Loop...
    _W%     e#     Take a copy and reverse it
    _,,.*   e#     Multiply each element by its position
    0+(+    e#     Pop the 0 from the start and add two 0s to the end
    W%      e#     Reverse again, giving [0 0 (i-1)a_0 (i-2)a_1 ... a_{i-2}]
    \       e#     Go back to the other copy
    _,,:~.* e#     Multiply each element by -1 ... -i
    .+      e#     Add the two arrays
  }         e#
  @*        e#   Bring the input to the top to control the loop count
  W=        e#   Take the last element
}

— Пітер Тейлор
джерело

1

Мова Вольфрама (Mathematica) , 47 46 байт

Без використання спеціальних функцій:

e@0=1;e@n_:=-n!Sum[e[n-k]/k!/(n-k)!,{k,2,n,2}]

Спробуйте в Інтернеті!

— Роман
джерело

0

Аксіома, 5 байт

euler

для OEIS A122045; це 57 байт

g(n:NNI):INT==factorial(n)*coefficient(taylor(sech(x)),n)

код тесту та результати

(102) -> [[i,g(i)] for i in [0,1,2,3,6,10,20]]
   (102)
   [[0,1],[1,0],[2,- 1],[3,0],[6,- 61],[10,- 50521],[20,370371188237525]]

(103) -> [[i,euler(i)] for i in [0,1,2,3,6,10,20]]
   (103)
   [[0,1],[1,0],[2,- 1],[3,0],[6,- 61],[10,- 50521],[20,370371188237525]]

— РосЛуП
джерело

0

APL (NARS), 42 символи, 84 байти

E←{0≥w←⍵:1⋄1-+/{(⍵!w)×(2*w-1+⍵)×E⍵}¨¯1+⍳⍵}

Дотримуйтесь формули, показаної з "smls", тестуйте:

останній випадок повертає один великий раціональний результат, тому що я вводя 20x (великий раціональний 20/1), а не 20, як я думаю, 20.0 плаває 64 біт ...

  E 20x
370371188237525

Було б швидше, якщо один повернеться 0, але буде трохи довше (50 символів):

  E←{0≥w←⍵:1⋄0≠2∣w:0⋄1-+/{(⍵!w)×(2*w-1+⍵)×E⍵}¨¯1+⍳⍵}
  E 30x
¯441543893249023104553682821

було б швидше, якби було використане визначення, про яке йдеться (і було б трохи довше 75 символів):

  f←{0≥⍵:1⋄0≠2∣⍵:0⋄0J1×+/{+/⍵{⍺÷⍨(0J2*-⍺)×(⍵!⍺)×(¯1*⍵)×(⍺-2×⍵)*n}¨0..⍵}¨⍳n←1+⍵}
  f 0
1
  f 1
0
  f 3
0
  f 6
¯61J0 
  f 10
¯50521J¯8.890242766E¯9 
  f 10x
¯50521J0 
  f 20x
370371188237525J0 
  f 30x
¯441543893249023104553682821J0 
  f 40x
14851150718114980017877156781405826684425J0 
  f 400x
290652112822334583927483864434329346014178100708615375725038705263971249271772421890927613982905400870578615922728
  107805634246727371465484012302031163270328101126797841939707163099497536820702479746686714267778811263343861
  344990648676537202541289333151841575657340742634189439612727396128265918519683720901279100496205972446809988
  880945212776281115581267184426274778988681851866851641727953206090552901049158520028722201942987653512716826
  524150450130141785716436856286094614730637618087804268356432570627536028770886829651448516666994497921751407
  121752827492669601130599340120509192817404674513170334607613808215971646794552204048850269569900253391449524
  735072587185797183507854751762384660697046224773187826603393443429017928197076520780169871299768968112010396
  81980247383801787585348828625J0

Результат над ним - це одне складне число, яке має лише реальну частину.

— РосЛуП
джерело

Виведіть числа Ейлера

Правила

Випробування

Математика, 6 байт

J , 10 байт

Парі / GP , 32 байти

Клен, 5 байт

Максима , 5 байт / 42 байти

Математика, без вбудованого, 18 байт

Python 2.7, 46 байт

Perl 6 , 78 байт

Як це працює

Максима, 29 байт

JavaScript (Node.js) , 46 45 байт

JavaScript (Node.js) , 70 46 байт

Пояснення

Розширення

Befunge, 115 байт

Python2, (симпатія раціональна), 153 байти

CJam (34 байти)

Розсічення

Мова Вольфрама (Mathematica) , 47 46 байт

Аксіома, 5 байт

APL (NARS), 42 символи, 84 байти