Проста сила - це додатне ціле число n, яке можна записати у вигляді n = p ^k, де p - просте, а k - додатне ціле число. Наприклад, деякі прем'єр-сили є [2, 3, 5, 4, 9, 25, 8, 27, 125].

Далі розглянемо прості сили 2. Вони є [2, 4, 8, 16, ...]і можуть бути записані у формі 2 ^k . Всі вони будуть включені при розгляді простіших потужностей нижче 20. Однак 16 - це максимальна прем'єр-сила з базовим розширенням 2 у цьому діапазоні. Потужна потужність p ^k є максимальною в діапазоні, якщо це найвища потужність p у цьому діапазоні. Нас цікавить лише максимальна потужність у кожному діапазоні, тому всі нижчі потужності мають бути виключені.

Ваша мета - написати функцію або програму, яка приймає додатне ціле число n та виводить максимальні прості сили в діапазоні [2, 3, 4, ..., n].

Дякуємо @ Пітеру Тейлору за уточнення визначення максимальної прем'єр-сили та багато іншого.

Правила

• Це код-гольф, тому зробіть свій код якомога коротшим.
• У максимальні головні повноваження можуть бути виведені в будь-якому порядку , але не повинно бути ніяких дублікатів.

Тестові справи

n      result
1      []
2      [2]
3      [2, 3]
4      [3, 4]
5      [3, 4, 5]
6      [3, 4, 5]
7      [3, 4, 5, 7]
20     [5, 7, 9, 11, 13, 16, 17, 19]
50     [11, 13, 17, 19, 23, 25, 27, 29, 31, 32, 37, 41, 43, 47, 49]
100    [11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 49, 53, 59, 61, 64, 67, 71, 73, 79, 81, 83, 89, 97]
10000  <1229 results>
       [101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, ..., 9887, 9901, 9907, 9923, 9929, 9931, 9941, 9949, 9967, 9973]

Повний перелік максимальних простих потужностей на 10000 можна знайти тут .

Желе , 7 4 байти

æḟÆR

Спробуйте в Інтернеті!

Як це працює

æḟÆR  Main link. Argument: n

  ÆR  Prime range; yield all primes in [1, ..., n].
æḟ    Power floor; round n down to the nearest power of each prime in the range.

Математика, 44 43 40 байт

Збережено 4 байти завдяки милі та Мартіну Ендеру

n#^⌊#~Log~n⌋&/@Select[Range@n,PrimeQ]

(x=Prime@Range@PrimePi@#)^⌊x~Log~#⌋&

⌊і ⌋є 3символами байтів U+230Aі U+230Bпредставляють \[LeftFloor]і \[RightFloor], відповідно.

Пояснення:

Чиста функція. #короткий, Slot[1]який представляє перший аргумент до Function. PrimePi@#підраховує кількість простих чисел, менших або рівних #, Range@PrimePi@#це список перших PrimePi[#]натуральних чисел, а Prime@Range@PrimePi@#також список простих чисел менший або рівний #(це на один байт коротше Select[Range@#,PrimeQ]). Символ xє Setрівним цьому списку, потім підняли на Power ⌊x~Log~#⌋, що список Floor[Log[n,#]]для кожного nдюйма x. У Mathematica піднесення списку до Powerіншого списку такої ж довжини призводить до переліку повноважень відповідних елементів.

MATL, 13 байт

ZqG:!^tG>~*X>

Спробуйте в Інтернеті!

Пояснення

        % Implicitly grab the input as a number (N)
Zq      % Get an array of all primes below N
G:!     % Create an array from [1...N]
^       % Raise each prime to each power in this array which creates a 2D matrix
        % where the powers of each prime are down the columns
tG>~    % Create a logical matrix that is TRUE where the values are less than N
*       % Perform element-wise multiplication to force values > N to zero
X>      % Compute the maximum value of each column
        % Implicitly display the resulting array

Желе , 8 байт

ÆR*ÆE€»/

Спробуйте в Інтернеті!

Як це працює

ÆR*ÆE€»/  Main link. Argument: n

ÆR        Prime range; yield all primes in [1, ..., n].
   ÆE€    Prime exponents each; yield the exponents of 2, 3, 5, ... of the prime
          factorization of each k in [1, ..., n].
          For example, 28 = 2² × 3⁰ × 5⁰ × 7¹ yields [2, 0, 0, 1].
  *       Exponentiation; raise the elements of the prime range to the powers
          of each of the exponents arrays.
      »/  Reduce the columns by maximum.

Желе , 12 9 байт

RÆEz0iṀ$€

Спробуйте в Інтернеті! (метод занадто повільний для випадку 10000).

Як?

Побудовує список p ^k у порядку p .

RÆEz0iṀ$€ - Main link: n                      e.g. 7
R         - range(n)                          [1 ,2  ,3    ,4  ,5      ,6    ,7]
 ÆE       - prime factor vector (vectorises)  [[],[1],[0,1],[2],[0,0,1],[1,1],[0,0,0,1]]
   z0     - transpose with filler 0           [[0,1,0,2,0,1,0],[0,0,1,0,0,1,0],[0,0,0,0,1,0,0],[0,0,0,0,0,0,1]]
       $€ - la$t two links as a monad, for €ach       ^             ^                   ^                   ^
     i    -     first index of                        4             3                   5                   7
      Ṁ   -     maximum                       [4,3,5,7]

Pyth, 13 байт

m^ds.lQdfP_TS

Спробуйте тут!

        f   S -  filter(v, range(1, input))
         P_T  -   is_prime(T)
m             - map(v, ^)
    .lQd      -    log(input, d)
   s          -   int(^)
 ^d           -  d ** ^

Я не грав з Pyth деякий час, тому будь-які поради щодо гольфу цінуються.

Я не зміг отримати коротше рішення Mathematica, ніж рішення ngenisis , але я подумав, що запропоную пару альтернативних підходів.

Математика, 65 байт

#/#2&@@@({#,#}&/@Range@#~Select~PrimeQ//.{a_,b_}/;a<=#:>{b a,b})&

Спочатку ми використовуємо {#,#}&/@Range@#~Select~PrimeQдля складання списку всіх праймес у відповідному діапазоні, але з упорядкованими парами кожного найвищого рівня, як { {2,2}, {3,3}, ...}. Потім ми неодноразово працюємо над цим списком із правилом заміни {a_,b_}/;a<=#:>{b a,b}, який множує перший елемент впорядкованої пари на другий, поки перший елемент не перевищить вхідний. Потім застосовуємо #/#2&@@@до виводу для кожної впорядкованої пари перший елемент, розділений на другий. (Вони впорядковуються відсортованими за основним простим елементом: приклад результату є {16, 9, 5, 7, 11, 13, 17, 19}.)

Математика, 44 байти

Values@Rest@<|MangoldtLambda@#->#&~Array~#|>&

Функція фон Мангольда Λ(n)є цікавою функцією теорії чисел: вона дорівнює 0, якщо не nє простою потужністю p ^k , у цьому випадку вона дорівнює log p(не log n). (Це натуральні журнали, але це не має значення.) Таким чином MangoldtLambda@#->#&~Array~#створюється масив правил { 0->1, Log[2]->2, Log[3]->3, Log[2]->4, Log[5]->5, 0->6, ... }, довжина яких є цілим числом введення.

Потім ми перетворюємо цей список правил у "асоціацію", використовуючи <|...|>. Це призводить до збереження лише останнього правила з будь-яким заданим лівим значенням. Іншими словами, він буде викидати Log[2]->2і, Log[2]->4і Log[2]->8лише тримати Log[2]->16(якщо припустити, що для цього прикладу вхід становить від 16 до 31). Тому єдиною правою стороною залишаються максимальні прості сили, за винятком одного правила 0->n, де nнайбільша непересічна потужність до вхідного цілого. Але Restвідкидає це небажане правило і Valuesвитягує праву частину з правил в асоціації. (Вони впорядковані так, як описано вище.)

Трохи довша (46 байт) версія, яка підраховує кількість появи кожного з них, log pа потім піддається перетворенню до максимальних простих сил:

E^(1##)&@@@Rest@Tally[MangoldtLambda~Array~#]&

CJam , 21 20 байт

Збережено 1 байт завдяки Мартіну Ендеру

ri_){mp},f{\1$mLi#}p

Спробуйте в Інтернеті!

Пояснення

ri                    e# Read an integer from input (let's call it n)
  _                   e# Duplicate it
   ){mp},             e# Push the array of all prime numbers up to and including n
         f{           e# Map the following block to each prime p:
           \          e#   Swap the top two elements of the stack
            1$        e#   Copy the second element down in the stack. Stack is now [p n p]
              mL      e#   Take the base-p logatithm of n
                i     e#   Cast to int (floor)
                 #    e#   Raise p to that power
                  }   e# (end of map block)
                   p  e# Print

Брахілог , 15 байт

⟧{ḋ=}ˢ⊇Xhᵐ≠∧X×ᵐ

Спробуйте в Інтернеті!

Це дає потужність від найбільшої до найменшої.

Це дуже неефективно.

Пояснення

⟧                   The Range [Input, Input - 1, ..., 1, 0]
 {  }ˢ              Select:
  ḋ=                  The elements of that range whose prime decompositions are lists of the
                      same element (e.g. [3,3,3]); output is those prime decompositions
      ⊇X            X is an ordered subset of that list of prime decompositions
       Xhᵐ≠         All first elements of the prime decompositions are different (that is,
                      X contains prime decompositions with different primes each times)
           ∧
            X×ᵐ     Output is the result of mapping multiplication to each element of X

Це знайде найбільші прості розклади для кожного найважливішого спершу через спосіб ⊇роботи: зліва направо і від найбільшого до найменшого підмножини.

Брахілог , 24 21 19 байт

3 + 2 байти збережено завдяки Fatalize!

Я вперше використовую Brachylog, і я знаю, що деякі речі можна було б зробити коротшими способами, але я щасливий, що це навіть працює: D

{≥.~^ℕ₁ᵐhṗ:.≜×>?∧}ᶠ

Спробуйте в Інтернеті! (Повернені значення впорядковуються за їх базовими праймерами)

Пояснення:

{................}ᶠ           #Find all possible results of what's inside.
 ≥.                           #Input is >= than the output.
  .~^ℕ₁ᵐ                      #Output can be calculated as A^B, where A and B are
                              #Natural numbers >=1.
        hṗ                    #The first of those numbers (A) is prime
          :.≜×>?              #That same element (A), multiplied by the output
                              #is greater than the input - This means 
                              #that B is the maximal exponent for A.
                ∧             #No more restrictions on the output.

05AB1E , 15 12 байт

ƒNpiN¹N.nïm,

Спробуйте в Інтернеті!

Пояснення

ƒ             # for N in [0 ... input]
 Npi          # if N is prime
    N         # push N
     ¹N.n     # push log_N(input)
         ï    # convert to int
          m   # raise N to this power
           ,  # print

Утиліти Bash + GNU, 74 байти

seq $1|factor|sed "s@.*: \(\w*\)\$@\1;l($1);l(\1);print \"/^p\"@"|bc -l|dc

Спробуйте в Інтернеті!

Вхідний номер передається як аргумент. Вихід друкується в stdout. (Як це прийнято, stderr ігнорується.)

Вибірка зразка:

./maximalprimepowers 100 2>/dev/null
64
81
25
49
11
13
17
19
23
29
31
37
41
43
47
53
59
61
67
71
73
79
83
89
97

./maximalprimepowers 10000 2>/dev/null | wc -l
1229

Ось як це працює:

Назвіть аргумент N.

seqгенерує всі числа від 1 до N і factorмножить їх усі.

Регекс у виклику sed визначає рядки, де число є простим P, і замінює ці рядки рядками, що мають вигляд `

P;l(N);l(P);print "/^p"

(де P і N замінені фактичними числовими значеннями, а все інше копіюється буквально, навіть лапки та крапки з комою та рядок print).

Ці рядки подаються як вхід до bc -l; bc друкує значення трьох зазначених чисел, за кожним слідує новий рядок, а потім друкує символи /^p. (В bc, l (x) позначає природний логарифм x.) JK K

Потім рядки, які друкує bc, подаються як вхід у dc; dc друкує значення кожного P ^ (log (N) / log (P)), використовуючи цілу арифметику (обрізання); це найбільша сила P, яка <= N.

Одне, що зафіксується вище, - це те, що відбувається з лініями, які виробляються факторами, які не відповідають праймем. Ці рядки не збігаються з регулярним виразом у виклику sed, тому заміна на них не проводиться. Як результат, ці рядки починаються з числа, за яким слідує двокрапка, яка створює помилку при подачі на вхід bc. Але Bc просто друкує на stderr тоді, що ми ігноруємо; він не друкує нічого для stdout. За замовчуванням stderr ігнорується на PPCG .

Haskell , 73 67 66 байт

p n=[last[x^i|i<-[1..n],x^i<=n]|x<-[2..n],all((>0).mod x)[2..x-1]]

Спробуйте в Інтернеті! Використання:

Prelude> p 50
[32,27,25,49,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47]

Редагувати: 6 байт вимкнено завдяки Zgarb!

Пояснення:

p n=[... x|x<-[2..n]                         ] -- list of all x in the range 2 to n
p n=[... x|x<-[2..n],        mod x<$>[2..x-1]] -- where the remainders of x mod the numbers 2 to x-1
p n=[... x|x<-[2..n],all(>0)$mod x<$>[2..x-1]] -- are all greater 0. This yields all primes in the range.

p n=[    [x^i|i<-[1..n]       ]|...] -- for each of those x generate the list of all x^i with i in the range 1 to n
p n=[last[x^i|i<-[1..n],x^i<=n]|...] -- where x^i is smaller or equal to n
p n=[last[x^i|i<-[1..n],x^i<=n]|...] -- and take the last (that is the largest) element

Желе , 9 байт

Ræl/ÆF*/€

На один байт довше моєї відповіді , але закінчується введення 10 000 - це пара секунд.

Спробуйте в Інтернеті!

Як це працює

Ræl/ÆF*/€  Main link. Argument: n

R          Range; yield [1, ..., n].
 æl/       Reduce by least common multiple.
    ÆF     Factor the LCM into [prime, exponent] pairs.
      */€  Reduce each pair by exponentiation.

JavaScript (ES6), 118 120 119 114 112 105 байт

(n,r)=>(r=k=>[...Array(k-1)].map((_,i)=>i+2),r(n).filter(q=>r(q).every(d=>q%d|!(d%(q/d)*(q/d)%d)&q*d>n)))

Пропозиції вітаються. Це щось довго, але, здавалося, варто розміщувати повідомлення, оскільки він робить все тестування на роздільність чітко, а не використовуючи вбудовані модулі, пов'язані з праймерами.

Примітки:

• Натуральне число q - це основна сила <=> усі дільники q - це потужності одного і того ж простого <=> для будь-якого d, що ділить q, один з d і q / d - дільник іншого.
• Якщо q - потужність p, q максимальна <=> q ​​* p> n <=> q ​​* d> n для кожного нетривіального дільника d q.

Шавлія, 43 байти

lambda i:[x^int(ln(i,x))for x in primes(i)]

Картографує кожну прем'єр-мінімум у діапазоні primes(i)до максимальної потужності. lnце лише псевдонім, logтому він приймає альтернативні бази, хоча його назва говорить про те, що він може використовувати лише базу e.

Haskell, 110 90 байт

s[]=[];s(x:t)=x:s[y|y<-t,y`rem`x>0];f n=[last.fst.span(<=n).scanl1(*)$repeat x|x<-s[2..n]]

- актуалізовано за відгуками Лайконі

Haskell , 70 байт

f n=[k|k<-[2..n],p:q<-[[d|d<-[2..k],mod k d<1]],k==p*p^length q,p*k>n]

Визначає функцію f. Спробуйте в Інтернеті!

Пояснення

Ідея полягає у фільтруванні діапазону [2..n]за тими числами, kякі задовольняють, k == p^length(divisors k)і p*k > nде pнайменший простий дільник k.

f n=                -- Define f n as
 [k|                -- the list of numbers k, where
  k<-[2..n],        -- k is drawn from [2..n],
  p:q<-[            -- the list p:q is drawn from
   [d|              -- those lists of numbers d where
    d<-[2..k],      -- d is drawn from [2..k] and
    mod k d<1]      -- d divides k
   ],               -- (so p:q are the divisors of k except 1, and p is the smallest one),
  k==p*p^length q,  -- k equals p to the power of the divisor list's length
                    -- (so it's in particular a prime power), and
  p*k>n]            -- p*k, the next power of p, is not in the range [2..n].

PHP, 101 93 91 88 байт

трішки справжньої математики ...

for($n=$argv[$i=1];$n>$j=$i++;$j?:$r[$p=$i**~~log($n,$i)]=$p)for(;$i%$j--;);print_r($r);

зламатися

for($n=$argv[$i=1];     // loop $i from 2 to $n
    $n>$j=$i++;             // 0.: init $j to $i-1
    $j?:                    // 2. if $i is prime
        $r[$p=$i**~~log($n,$i)]=$p) // 3. add maximum power to results
    for(;$i%$j--;);         // 1. prime check (if $i is prime, $j will be 0)
print_r($r);            // print results

JavaScript ES7, 93 байти

Рекурсивно повторюйте iвід 0 до включно n. Якщо iце прайм, піднесіть його до найвищого показника, що робить його <= n( i ^ floor(log(n) / log(i)))

F=(n,i=n)=>i?[...((P=j=>i%--j?P(j):1==j)(i)?[i**((l=Math.log)(n)/l(i)|0)]:[]),...F(n,--i)]:[]