Ми хотіли б факторізовать полупервічное . Мета цього завдання полягає в знаходженні два невеликих цілих чисел і такі , що може бути розкладено тривіальним методом Ферма, що дозволяє легко відняти чинники . $N$ $u$ $v$ $uvN$ $N$

Завдання

З огляду на полупервічное $N$ і натуральне число $k$ , ми визначимо $x$ і $y$ , як:

x = ⌈ \sqrt{k N} ⌉

$x=\lceil\sqrt{kN}\rceil$

y = x^{2} - k N

$y=x^2-kN$

Крок №1 - Знайдіть $k$

Спочатку потрібно знайти найменше можливе значення $k$ таке, щоб $y$ - це квадратне число (він же ідеальний квадрат).

Це дозволяє розподілити $kN$ за допомогою однієї ітерації методу факторизації Ферма . Більш конкретно, це негайно призводить до:

k N = (x + \sqrt{y}) \times (x - \sqrt{y})

$kN=(x+\sqrt{y})\times(x-\sqrt{y})$

(Оновлення: ця послідовність тепер опублікована як A316780 )

Крок №2 - Розділити фактор $k$

Тоді вам доведеться знайти два цілих натуральних числа $u$ і $v$ такі, що:

u v = k

$uv=k$

c u = x + \sqrt{y}

$cu=x+\sqrt{y}$

d v = x - \sqrt{y}

$dv=x-\sqrt{y}$

де $c$ і $d$ є головними факторами $N$ .

Підсумок

Ваше завдання - написати програму або функцію, яка приймає $N$ як вхід, і друкує або виводить $u$ і $v$ у будь-якому порядку та будь-якому розумному форматі.

Приклад

Розглянемо $N = 199163$

Крок 1

Найменше можливе значення $k$ дорівнює $40$ , що дає:

х = ⌈ (\sqrt{40 \times 199163}) ⌉ = 2823 рік

$x = \lceil(\sqrt{40 \times 199163})\rceil = 2823$

y = 2823^{2} - 40 \times 199163 = 7969329 - 7966520 = 2809 = 53^{2}

$y = 2823^2 - 40 \times 199163 = 7969329 - 7966520 = 2809 = 53^2$

k N = (2823 + 53) \times (2823 - 53)

$kN = (2823 + 53) \times (2823 - 53)$

k N = 2876 \times 2770

$kN = 2876 \times 2770$

Крок №2

Правильна факторизація $k$ дорівнює $k = 4 \times 10$ , оскільки:

k N = 2876 \times 2770

$kN = 2876 \times 2770$

k N = (719 \times 4) \times (277 \times 10)

$kN = (719 \times 4) \times (277 \times 10)$

N = 719 \times 277

$N = 719 \times 277$

Отже, правильною відповіддю буде або або . $[ 4, 10 ]$ $[ 10, 4 ]$

Правила

Не потрібно чітко застосовувати два описані вище кроки. Ви можете використовувати будь-який інший метод, якщо він знайде правильні значення і . $u$ $v$
Ви повинні підтримувати всі значення до нативного максимального розміру непідписаного цілого числа на вашій мові. $uvN$
Гарантований вхід є напівпринтер.
Це код-гольф, тому найкоротша відповідь у байтах виграє.
Стандартні лазівки заборонені.

Тестові справи

N          | k    | Output
-----------+------+------------
143        | 1    | [   1,  1 ]
2519       | 19   | [   1, 19 ]
199163     | 40   | [   4, 10 ]
660713     | 1    | [   1,  1 ]
4690243    | 45   | [   9,  5 ]
11755703   | 80   | [  40,  2 ]
35021027   | 287  | [   7, 41 ]
75450611   | 429  | [ 143,  3 ]
806373439  | 176  | [   8, 22 ]
1355814601 | 561  | [  17, 33 ]
3626291857 | 77   | [   7, 11 ]
6149223463 | 255  | [  17, 15 ]
6330897721 | 3256 | [  74, 44 ]

Приклад реалізації

У фрагменті нижче функція - це нереалізована реалізація, яка приймає як вихідний і повертає і . $f$ $N$ $u$ $v$

Для ілюстративних цілей фрагмент також включає функцію яка приймає , та як вхідні дані та обчислює коефіцієнти в . $g$ $N$ $u$ $v$ $N$ $O(1)$

Показати фрагмент коду

f = N => {
  for(k = 1;; k++) {
    x = Math.ceil(Math.sqrt(k * N));
    y = x * x - k * N;
    ySqrt = Math.round(Math.sqrt(y));
    
    if(ySqrt * ySqrt == y) {
      p = x + ySqrt;

      for(u = 1;; u++) {
        if(!(p % u) && !(N % (p / u))) {
          v = k / u;
          return [ u, v ];
        }
      }
    }
  }
}

g = (N, u, v) => {
  x = Math.ceil(Math.sqrt(u * v * N));
  y = x * x - u * v * N;
  ySqrt = Math.round(Math.sqrt(y));
  p = x + ySqrt;
  q = x - ySqrt;
  return [ p / u, q / v ];
}

[
  143, 2519, 199163, 660713, 4690243, 11755703,
  35021027, 75450611, 806373439, 1355814601,
  3626291857, 6149223463, 6330897721
]
.map(N => {
  [u, v] = f(N);
  [c, d] = g(N, u, v);
  console.log(
    'N = ' + N + ', ' +
    'u = ' + u + ', ' +
    'v = ' + v + ', ' +
    'N = ' + c + ' * ' + d
  );
});

Розгорніть фрагмент

code-golf number-theory primes

— Арнольд
джерело

Ми гарантуємо, що вхід Nбуде насправді напівприміром?

— Грег Мартін

@GregMartin Так.

— Арнольд

8

Математика, 81 79 байт

Дякуємо Мартіну Ендеру за збереження 2 байтів!

(c=Ceiling;For[j=0;z=E,c@z>z,p=(x=c@Sqrt[j+=#])+{z=Sqrt[x^2-j],-z}];p/#~GCD~p)&

Чиста функція, що приймає напівпримір як вхідний і повертає впорядковану пару натуральних чисел. В Forреалізує цикл точну процедуру , описану в питанні (використовуючи #для введення в місці n), з xтакими , як визначено тут, хоча ми зберігати , j = k*nа не kсам по собі , і z=Sqrt[y]замість того , yсаме по собі. Ми також обчислюємо p={x+z,x-z}всередині Forциклу, який закінчується збереженням одного байта (як, наприклад, сьома спроба). Тоді два бажаних чинника є (x+z)/GCD[#,x+z]і (x-z)/GCD[#,x-z], які стислий вираз p/#~GCD~pобчислює безпосередньо як упорядковану пару.

Цікавості: ми хочемо циклічити, поки zне буде ціле число; але оскільки ми будемо використовувати Ceilingвже в коді, він економить два байти, !IntegerQ@zщоб визначити c=Ceiling(що коштує чотири байти, як знають гольфісти Mathematica), а потім перевірити, чи c@z>z. Ми повинні ініціалізувати zщось, і щоб щось краще не було цілим числом, щоб цикл міг запускатися; на щастя, Eце стислий вибір.

— Грег Мартін
джерело

4

JavaScript (ES7), 86 81 байт

n=>(g=k=>(y=(n*k)**.5+1|0,y+=(y*y-n*k)**.5)%1?g(k+1):n*u++%y?g(k):[--u,k/u])(u=1)

Редагувати: Збережено 4 байти завдяки @Arnauld.

— Ніл
джерело

4

Пітон 2, 127 121 117 111 107 104 101 99 байт

-1 байт завдяки Нілу та -3 байти завдяки ов

N=input()
k=u=1;p=m=.5
while p%1:p=1+(k*N)**m//1;p+=(p*p-k*N)**m;k+=1
while N*u%p:u+=1
print~-k/u,u

Спробуйте в Інтернеті!

Цікавості:

pініціалізується .5так, щоб умова циклу була вірною на першій ітерації. Зверніть увагу , що вона коротше зберігати p(як x+ sqrt(y)) , ніж для зберігання кожного з xі по yокремо.

— математика наркоман
джерело

x*xзамість x**2?

— Ніл

@Neil Так, звичайно. Спасибі

— наркоман з математики

1

Аксіома, 131 115 байт

v(x)==floor(x^.5)::INT;r(n)==(k:=0;repeat(k:=k+1;x:=1+v(k*n);y:=v(x*x-k*n);x^2-y^2=k*n=>break);[w:=gcd(k,x+y),k/w])

Функція, яка б вирішила питання, є r (n) вище. ungolf і тест

vv(x)==floor(x^.5)::INT    

--(x-y)*(x+y)=k*n
rr(n)==
  k:=0
  repeat
     k:=k+1
     x:=1+vv(k*n)
     y:=vv(x*x-k*n)
     x^2-y^2=k*n=>break
  [w:=gcd(k,x+y),k/w]


(4) -> [[i,r(i)] for i in [143,2519,199163,660713,4690243,11755703]]
   (4)
   [[143,[1,1]], [2519,[1,19]], [199163,[4,10]], [660713,[1,1]],
    [4690243,[9,5]], [11755703,[40,2]]]
                                                      Type: List List Any

— РосЛуП
джерело

Помічник факторизації Ферма