Знайдіть справжні корені многочлена

Напишіть автономну програму, яка при заданому поліномі та зв’язаному знаходить усі справжні корені цього многочлена до абсолютної помилки, що не перевищує межу.

Обмеження

Я знаю, що Mathematica та, ймовірно, деякі інші мови мають односимвольне рішення, і це нудно, тому вам слід дотримуватися примітивних операцій (додавання, віднімання, множення, ділення).

Існує певна гнучкість у форматах введення та виведення. Ви можете приймати дані через аргументи stdin або командного рядка в будь-якому розумному форматі. Ви можете дозволити плаваючу крапку або вимагати використання певного представлення раціональних чисел. Ви можете приймати зв'язану або зворотну зв'язану, і якщо ви використовуєте плаваючу крапку, ви можете припустити, що пов'язана буде не менше 2 ulp. Поліном повинен бути виражений у вигляді списку коефіцієнтів одночленів, але він може бути великим або малим-ендіаном.

Ви повинні бути в змозі обґрунтувати, чому програма завжди працюватиме (числові питання з модулем), хоча не потрібно надавати повний доказ.

Програма повинна обробляти поліноми з повторними коренями.

Приклад

x^2 - 2 = 0 (error bound 0.01)

Вхід може бути, наприклад

-2 0 1 0.01
100 1 0 -2
1/100 ; x^2-2

Вихід може бути, наприклад,

-1.41 1.42

але не

-1.40 1.40

як це має абсолютні помилки приблизно 0,014 ...

Тестові справи

Простий:

x^2 - 2 = 0 (error bound 0.01)

x^4 + 0.81 x^2 - 0.47 x + 0.06 (error bound 10^-6)

Кілька коренів:

x^4 - 8 x^3 + 18 x^2 - 27 (error bound 10^-6)

Поліном Вілкінсона:

x^20 - 210 x^19 + 20615 x^18 - 1256850 x^17 + 53327946 x^16 -1672280820 x^15 +
    40171771630 x^14 - 756111184500 x^13 + 11310276995381 x^12 - 135585182899530 x^11 +
    1307535010540395 x^10 - 10142299865511450 x^9 + 63030812099294896 x^8 -
    311333643161390640 x^7 + 1206647803780373360 x^6 -3599979517947607200 x^5 +
    8037811822645051776 x^4 - 12870931245150988800 x^3 + 13803759753640704000 x^2 -
    8752948036761600000 x + 2432902008176640000  (error bound 2^-32)

Примітка: Це питання знаходилось в пісочниці приблизно 3 місяці. Якщо ви вважаєте, що це потребує вдосконалення перед публікацією, відвідайте «Пісочницю» та прокоментуйте інші запропоновані питання, перш ніж вони будуть розміщені на Main.

Математика, 223

r[p_,t_]:=Module[{l},l=Exponent[p[x],x];Re@Select[NestWhile[Table[#[[i]]-p[#[[i]]]/Product[If[i!=j,#[[i]]-#[[j]],1],{j,l}],{i,l}]&,Table[(0.9+0.1*I)^i,{i,l}],2*Max[Table[Abs[#1[[i]]-#2[[i]]],{i,l}]]>t&,2],Abs[Im[#]]<t^.5&]]

Це рішення реалізує метод Дюранда-Кернера для розв’язання многочленів. Зауважте, що це не повне рішення (як буде показано нижче), оскільки я ще не можу впоратись з Поліномом Вілкінсона до заданої точності. Спочатку пояснення того, що я роблю:

#[[i]]-p[#[[i]]]/Product[If[i!=j,#[[i]]-#[[j]],1],{j,l}]&: Таким чином функція обчислює для кожного індексу iнаступне наближення Дюранда-Кернера. Потім цей рядок інкапсулюється в Таблицю і застосовується за допомогою NestWhile до вхідних точок, згенерованих Table[(0.9+0.1*I)^i,{i,l}]. Умовою NestWhile є те, що зміна максимуму (за всіма умовами) від однієї ітерації до другої перевищує задану точність. Коли всі умови змінилися менше, ніж це, NestWhile закінчується і Re@Selectвидаляє нулі, які не потрапляють на реальну лінію.

Приклад виводу:

> p[x_] := x^2 - 2
> r[p, .01]
{1.41421, -1.41421}

> p[x_] := x^4 - 8 x^3 + 18 x^2 - 27
> r[p, 10^-6]
{2.99999, 3., 3.00001, -1.}

> p[x_] := x^20 - 210 x^19 + ... + 2432902008176640000 (Wilkinson's)
> Sort[r[p, 2^-32]]
{1., 2., 3., 4., 5., 6., 7.00001, 7.99994, 9.00018, 10.0002, 11.0007, \
11.9809, 13.0043, 14.0227, 14.9878, 16.0158, 16.9959, 17.9992, \
19.0001, 20.}

Як ви, напевно, можете бачити, коли ступінь зростає, цей метод починає відскакувати від правильних значень, ніколи насправді не наводячись повністю. Якщо я встановив умову зупинки мого коду чимось суворішим, ніж "від однієї ітерації до наступної, здогадки змінилися не більше ніж на epsilon", алгоритм ніколи не припиняється. Я думаю, що я повинен просто використовувати Дуранда-Кернера як вхід до методу Ньютона?