Раціональне розкладання a = xyz (x + y + z)

Запишіть функції x(a), y(a)і z(a)такі, що для будь-яких раціональних a всіх функцій повертають раціональні числа і x(a)*y(a)*z(a)*(x(a) + y(a) + z(a)) == a. Ви можете припустити, що ≥ 0.

Вам не потрібно використовувати раціональні типи чи операції у вашій програмі, якщо ваша програма математично є надійною. Наприклад, якщо ви використовуєте квадратний корінь у своїй відповіді, ви повинні показати, що його аргумент - це завжди квадрат раціонального числа.

Ви можете записати три названі функції x, y, z або написати три програми замість цього, якщо функції є громіздкими або відсутні для вашої мови. Ви також можете написати одну програму / функцію, яка повертає три числа x, y, z. Нарешті, якщо вам так зручніше, ви можете ввести / вивести раціональні числа у вигляді пари чисельника / знаменника. Ваш бал - це загальний розмір трьох функцій або трьох програм у байтах. Найменший рахунок виграє.

Насильницькі груби не дозволяються. Для будь-якого a = p / q, де p, q ≤ 1000 ваша програма повинна працювати протягом 10 секунд.

Приклад (це не означає, що ваш розклад повинен наводити ці числа):

x = 9408/43615
y = 12675/37576
z = 1342/390
x*y*z*(x+y+z) = 1

code-golf math rational-numbers

— orlp
джерело

Чи можемо ми записати одну функцію, яка виводить їх усі разом (скажімо, у масив)?

— Leaky Nun

Чи можемо ми ввести чисельник і знаменник як два числа?

— Leaky Nun

@LeakyNun Так і так.

— orlp

Чи доцільно це зробити для будь-якого a?

— Фаталізувати

Я припускаю, що ви не хочете демонструвати доказ, оскільки це дасть рішення, але ваше слово насправді не є доказом.

— Фаталізувати

Відповіді:

CJam (59 байт)

{[WZ~C24X8TT]f*[4XGYC6 4Y].+_0=!>2%Z65135Zb+:(3/.f#:.*)W*+}

Це анонімний блок (функція), який бере ціле чи подвійне на стек і створює масив з трьома подвійними. У ньому є два випадки для внутрішньої обробки всіх негативних входів, оскільки лише один випадок може перерватися на 0.25або 4. Він все одно перерви для входів -12і -1.3333333333333333, але специфікація дозволяє це ...

Онлайн демо виконує його , а потім складає значення, друкує всі чотири, і примножує їх , щоб показати , що він отримує початкове значення (помилка округлення по модулю).

Математичний фон

$w = - x - y - z$ $x + y + z + w = 0$ $-xyzw = a$ $xyzw + a = 0$

Elkies дає чотири сімейства наборів рішень. Ойлер:

\begin{array}{rcl} х & = & \frac{6 а с т^{3} (а т^{4} - 2 с^{4})^{2}}{(4 а т^{4} + с^{4}) (2 а^{2} т^{8} + 10 а с^{4} т^{4} - с^{8})} \\ у & = & \frac{3 с^{5} (4 а т^{4} + с^{4})^{2}}{2 т (а т^{4} - 2 с^{4}) (2 а^{2} т^{8} + 10 а с^{4} т^{4} - с^{8})} \\ z & = & \frac{2 (2 а^{2} т^{8} + 10 а с^{4} т^{4} - с^{8})}{3 с^{3} т (4 а т^{4} + с^{4})} \\ ш & = & \frac{- (2 а^{2} т^{8} + 10 а с^{4} т^{4} - с^{8})}{6 с^{3} т (а т^{4} - 2 с^{4})} \end{array}

$\begin{eqnarray*} x & = & \frac{6ast^3(at^4-2s^4)^2}{(4at^4+s^4)(2a^2t^8 + 10as^4t^4 - s^8)} \\ y & = & \frac{3s^5(4at^4+s^4)^2}{2t(at^4-2s^4)(2a^2t^8+10as^4t^4-s^8)} \\ z & = & \frac{2(2a^2t^8+10as^4t^4-s^8)}{3s^3t(4at^4+s^4)} \\ w & = & \frac{-(2a^2t^8+10as^4t^4-s^8)}{6s^3t(at^4-2s^4)} \end{eqnarray*}$

Один, що стосується Ейлера:

\begin{array}{rcl} х & = & \frac{(8 с^{8} + а^{2}) (8 с^{8} - 88 а с^{4} - а^{2})}{12 с^{3} (с^{4} - а) (8 с^{8} + 20 а с^{4} - а^{2})} \\ у & = & \frac{(8 с^{8} + а^{2}) (8 с^{8} - 88 а с^{4} - а^{2})}{12 с^{3} (8 с^{4} + а) (8 с^{8} + 20 а с^{4} - а^{2})} \\ z & = & \frac{192 а с^{5} (с^{4} - а)^{2} (8 с^{4} + а)^{2}}{(8 с^{8} + а^{2}) (8 с^{8} - 88 а с^{4} - а^{2}) (8 с^{8} + 20 а с^{4} - а^{2})} \\ ш & = & \frac{- 3 с (8 с^{8} + 20 а с^{4} - а^{2})^{3}}{4 (с^{4} - а) (8 с^{4} + а) (8 с^{8} + а^{2}) (8 с^{8} - 88 а с^{4} - а^{2})} \end{array}

$\begin{eqnarray*} x & = & \frac{(8s^8+a^2)(8s^8-88as^4-a^2)}{12s^3(s^4-a)(8s^8+20as^4-a^2)}\\ y & = & \frac{(8s^8+a^2)(8s^8-88as^4-a^2)}{12s^3(8s^4+a)(8s^8+20as^4-a^2)}\\ z & = & \frac{192as^5(s^4-a)^2(8s^4+a)^2}{(8s^8+a^2)(8s^8-88as^4-a^2)(8s^8+20as^4-a^2)}\\ w & = & \frac{-3s(8s^8+20as^4-a^2)^3}{4(s^4-a)(8s^4+a)(8s^8+a^2)(8s^8-88as^4-a^2)}\\ \end{eqnarray*}$

Більш простий:

\begin{array}{rcl} х & = & \frac{(с^{4} - 4 а)^{2}}{2 с^{3} (с^{4} + 12 а)} \\ у & = & \frac{2 а (3 с^{4} + 4 а)^{2}}{с^{3} (с^{4} - 4 а) (с^{4} + 12 а)} \\ z & = & \frac{с^{5} + 12 а с}{2 (3 с^{4} + 4 а)} \\ ш & = & \frac{- 2 с^{5} (с^{4} + 12 а)}{(с^{4} - 4 а) (3 с^{4} + 4 а)} \end{array}

$\begin{eqnarray*} x & = & \frac{(s^4-4a)^2}{2s^3(s^4+12a)} \\ y & = & \frac{2a(3s^4+4a)^2}{s^3(s^4-4a)(s^4+12a)} \\ z & = & \frac{s^5+12as}{2(3s^4+4a)} \\ w & = & \frac{-2s^5(s^4+12a)}{(s^4-4a)(3s^4+4a)} \\ \end{eqnarray*}$

І один, що пов'язаний з цим:

\begin{array}{rcl} х & = & \frac{с^{5} (с^{4} - 3 а)^{3}}{2 (с^{4} + а) (с^{12} + 12 а с^{8} - 3 а^{2} с^{4} + 2 а^{3})} \\ у & = & \frac{с^{12} + 12 а с^{8} - 3 а^{2} с^{4} + 2 а^{3}}{2 с^{3} (с^{4} - 3 а) (3 с^{4} - а)} \\ z & = & \frac{2 а (с^{4} + а)^{2} (3 с^{4} - а)^{2}}{с^{3} (с^{4} - 3 а) (с^{12} + 12 а с^{8} - 3 а^{2} с^{4} + 2 а^{3})} \\ ш & = & \frac{- 2 с (с^{12} + 12 а с^{8} - 3 а^{2} с^{4} + 2 а^{3})}{(с^{4} - 3 а) (с^{4} + а) (3 с^{4} - а)} \end{array}

$\begin{eqnarray*} x & = & \frac{s^5(s^4-3a)^3}{2(s^4+a)(s^{12}+12as^8-3a^2s^4+2a^3)} \\ y & = & \frac{s^{12}+12as^8-3a^2s^4+2a^3}{2s^3(s^4-3a)(3s^4-a)} \\ z & = & \frac{2a(s^4+a)^2(3s^4-a)^2}{s^3(s^4-3a)(s^{12}+12as^8-3a^2s^4+2a^3)} \\ w & = & \frac{-2s(s^{12}+12as^8-3a^2s^4+2a^3)}{(s^4-3a)(s^4+a)(3s^4-a)} \end{eqnarray*}$

Зауважте, що кожна сім'я має принаймні два знаменники форми $ps^4 - qa$ за позитив $p$ і $q$ : оскільки всі задіяні терміни раціональні, це означає, що є позитив $a$ для якого ми отримуємо ділення на нуль. Тому ми повинні використовувати щонайменше два набори рішень, які мають свої особливості при різних значеннях $a$ . Інтуїтивно зрозуміти, що найкраще вибрати два набори з однієї родини. Я вибрав найпростішу сім'ю (третю) з параметрами $s=1$ і $s=2$ .

— Пітер Тейлор
джерело

Аксіома, 191 байт

f(s,a)==(b:=s^4-4*a;c:=s^4+12*a;x:=3*s^4+4*a;[b^2/(2*c*s^3),2*a*x^2/(b*c*s^3),s*c/(2*x)])
g(a:FRAC INT):List FRAC INT==(s:=1;repeat(s^4=4*a or s^4=-12*a or 3*s^4=4*a=>(s:=s+1);break);f(s,a))

Саме переклад формули звіту Пітера Тейлора на цій сторінці з деяким кодом зробив би знаменники не 0. Один тест

(7) -> y:=g(1)
          9   98 13
   (7)  [--,- --,--]
         26   39 14
                                              Type: List Fraction Integer
(8) -> y.1*y.2*y.3*(y.1+y.2+y.3)
   (8)  1
                                              Type: Fraction Integer

— РосЛуП
джерело