9

Мета цієї задачі - використовувати метод Ейлера для наближення розв’язку диференціального рівняння виду f ⁽ⁿ⁾ (x) = c. ^†

Вхідним буде перелік цілих чисел, у яких n- е значення представляє значення f ⁽ⁿ⁾ (0). Перше ціле число - f (0), друге - f '(0) тощо. Останнє ціле число у цьому списку є постійним і завжди залишатиметься таким же.

Також в якості введення буде представлено додатне (ненульове) ціле число x , яке представляє цільове значення (ви намагаєтеся оцінити f (x)). Розмір кроків для методу Ейлера завжди буде 1. Таким чином, вам потрібно буде зробити x кроків усього.

Якщо ви не знайомі з методом Ейлера, ось детальний приклад з поясненням для введення [4, -5, 3, -1], x = 8.

x       f(x)      f'(x)     f''(x)    f'''(x)
0          4         -5          3         -1
1   4-5 = -1  -5+3 = -2   3-1 =  2         -1
2  -1-2 = -3  -2+2 =  0   2-1 =  1         -1
3  -3+0 = -3   0+1 =  1   1-1 =  0         -1
4  -3+1 = -2   1+0 =  1   0-1 = -1         -1
5  -2+1 = -1   1-1 =  0  -1-1 = -2         -1
6  -1+0 = -1   0-2 = -2  -2-1 = -3         -1
7  -1-2 = -3  -2-3 = -5  -3-1 = -4         -1
8  -3-5 = -8

По суті, кожна клітинка в генерованій таблиці - це сума комірки над нею та комірки вгорі та праворуч. Отже, f (a) = f (a-1) + f '(a-1); f '(a) = f' (a-1) + f '' (a-1); і f '' (a) = f '' (a-1) + f '' '(a-1). Остаточна відповідь - f (8) ≈ -8. ^†Kl

Список вводу завжди буде містити 2 або більше елементів, всі з яких матимуть абсолютні значення менше 10. x ≥ 1 також гарантується. Вихід - це єдине ціле число, наближення f (x). Введення може бути прийнято в будь-якому порядку (список перед x , або x перед списком). x, також, може бути першим чи останнім елементом списку.

Тестові приклади:

[4, -5, 3, -1], x = 8 => -8
[1, 2, 3, 4, 5, 6], x = 10 => 3198
[1, 3, 3, 7], x = 20 => 8611
[-3, 3, -3, 3, -3, 3, -3, 3, -3], x = 15 => -9009
[1, 1], x = 1 => 2

^{†: помітно, що використання методу наближення в цій ситуації насправді нерозумно. проте для цілей цього виклику було обрано найпростішу можливу функцію.}

^{†Kan: фактичне значення буває -25⅓, що може визначити це наближення як "не дуже добре".}

— Дверна ручка
джерело

2

Дуже близько

— Пітер Тейлор

2

Також дуже близькі.

— xnor

3

Хаскелл , 38 байт

l%n|n<1=l!!0|m<-n-1=l%m+tail(l++[0])%m

Спробуйте в Інтернеті!

Покращено з 39 байтів:

l%0=l!!0
l%n=l%(n-1)+tail(l++[0])%(n-1)

Рекурсивно виражає результат l%n. Переміщення вгору відповідає декрементації n, а переміщення вправо відповідає tail lпереміщенню всіх елементів списку на один пробіл вліво. Отже, вихід l%n- це значення вище l%(n-1), плюс значення вище та праворуч(tail l)%(n-1)

Основний випадок n==0- це взяти перший елемент списку.

В ідеалі, вхід був би прокладений нескінченно багатьма нулями праворуч, оскільки похідні многочлена з часом стають нульовими. Ми моделюємо це, додаючи, 0коли беремо tail.

Дивний альт 41:

(iterate(\q l->q l+q(tail l++[0]))head!!)

— xnor
джерело

3

MATL , 9 байт

:"TTZ+]1)

Спробуйте в Інтернеті! Або перевірити всі тестові випадки .

Пояснення

:"      % Implicitly input x. Do the following x times
  TT    %   Push [1 1]
  Z+    %   Convolution, keeping size. Implicitly inputs array the first time
]       % End
1)      % Get first entry. Implictly display

— Луїс Мендо
джерело

3

Желе , 6 5 байт

Ḋ+$¡Ḣ

Спробуйте в Інтернеті!

-1 байт завдяки @Doorknob

Пояснення

Ḋ+$¡Ḣ  - Main dyadic link. First input list, second x
       - (implicit) on the previous iteration (starting at input list)
Ḋ      - Dequeue. e.g. [-5,3,-1]
 +     - Add this to
       - (implicit) the previous iteration. e.g. [4+(-5),-5+3,3+(-1),-1+0]
  $¡   - apply this successively x times
    Ḣ  - get the first element from the resultant list

— fireflame241
джерело

3

Брахілог , 13 12 байт

{,0s₂ᶠ+ᵐ}ⁱ⁾h

Спробуйте в Інтернеті!

Як це працює

{,0s₂ᶠ+ᵐ}ⁱ⁾h
{       }ⁱ⁾   iterate the previous predicate
              to the array specified by first element of input
              as many times as the second element of input
           h  and get the first element

              example input to predicate: [4, _5, 3, _1]
 ,0           append 0: [4, _5, 3, _1, 0]
   s₂ᶠ        find all substrings with length 2:
              [[4, _5], [_5, 3], [3, _1], [_1, 0]]
      +ᵐ      "add all the elements" mapped to each subarray:
              [_1, _2, _2, _1]

Попереднє 13-байтове рішення

{b,0;?z+ᵐ}ⁱ⁾h

Спробуйте в Інтернеті!

Як це працює

{b,0;?z+ᵐ}ⁱ⁾h
{        }ⁱ⁾   iterate the previous predicate
               to the array specified by first element of input
               as many times as the second element of input
            h  and get the first element

               example input to predicate: [4, _5, 3, _1]
 b             remove the first element: [_5, 3, _1]
  ,0           append 0: [_5, 3, _1, 0]
    ;?         pair with input: [[_5, 3, _1, 0], [4, _5, 3, _1]]
      z        zip: [[_5, 4], [3, _5], [_1, 3], [0, _1]]
       +ᵐ      "add all the elements" mapped to each subarray:
               [_1, _2, _2, _1]

— Лина монахиня
джерело

2

Математика, 32 байти

#&@@Nest[#+Rest@#~Append~0&,##]&

                               &  make a pure function
    Nest[                 &,##]   call inner function as many times as specified
           Rest@#                 drop the first element of the list
                 ~Append~0        and add a 0 to get [b,c,d,0]
         #+                       add original list to get [a+b,b+c,c+d,d]
#&@@                              take the first element after x iterations

— Дверна ручка
джерело

2

Пітон , 80 58 байт

Любіть математику для цього виклику.

f=lambda a,x:x and f(map(sum,zip(a,a[1:]+[0])),x-1)or a[0]

Як це працює (працює лише з python 2):

f=lambda a,x:                                              - new lambda function
             x and                                         - iterate itself x times
                     map(sum,zip(a,a[1:]+[0]))             - e.g; f(a) = f(a-1) + f'(a-1)
                   f(                         ,x-1)        - iterate new array into itself
                                                   or a[0] - return first element

Спробуйте в Інтернеті!

100 байт чергуються з використанням трикутника pascals

from math import factorial as F
f=lambda a,x:sum([(a+[0]*x)[i]*F(x)/(F(x-i)*F(i))for i in range(x)])

Як це працює (працює для python 2 і 3):

sum([                                                ]) - take the sum of array
     (a+[0]*x)                                        - append x zeros
              [i]*F(x)/(F(x-i)*F(i))                  - multiply each element by x choose i
                                    for i in range(x) - do this for every element

Ця формула працює шляхом зіставлення коефіцієнтів рядки xз Трикутник Паскаля на масив. Кожен елемент трикутника паскалів визначається функцією вибору рядка та індексу. Сума цього нового масиву еквівалентна виводу при x. Він також інтуїтивно зрозумілий, оскільки ітераційний процес методу Ньютона (показаний у прикладі) діє саме як побудова трикутника паскалів.

Спробуйте в Інтернеті!

Велика подяка ovs за скорочення 22 байт шляхом перетворення циклу в рекурсивну функцію

— Гравітон
джерело

Ось покращена версія. Я перетворив цикл for на рекурсивну функцію

— ovs

Ах, чудова ідея @ovs

— Гравітон

ще коротше Зауважте, що він працюватиме лише з python2

— ovs

1

Haskell, 52 45 байт

l#n=iterate(zipWith(+)=<<tail.(++[0]))l!!n!!0

Приклад використання: [-3,3,-3,3,-3,3,-3,3,-3] # 15-> -9009. Спробуйте в Інтернеті!

Як це працює

iterate(      )l          -- apply the function again and again starting with l
                          -- and collect the intermediate results in a list
                          -- the function is
          (++[0])         -- append a zero 
  zipWith(+)=<<tail       -- and build list of neighbor sums
                     !!0  -- take the first element from
                  !!n     -- the nth result

Редагувати: @xnor зберегло 7 байт. Дякую!

— німі
джерело

Я думаю, що може бути повторена функція zipWith(+)=<<tail.(++[0]), тобто виправити список заздалегідь, а не після цього.

— xnor

@xnor: так, це економить багато байтів. Дякую!

— німі

Я просто не можу думати про використання =<<тут, це божевільно :)

— недолік

@flawr: =<<використовується в контексті функції і визначається як: (=<<) f g x = f (g x) x. Тут ми використовуємо =<<інфікс: (f =<< g) xз f = zipWith(+)і g = tail, що перекладається на zipWith(+) (tail x) x.

— німі

Дякую за детальне пояснення, я не знав про функцію монади!

— промах

1

CJam , 12 байт

q~{_(;.+}*0=

Спробуйте в Інтернеті!

Пояснення

Код безпосередньо реалізує процедуру, описану в виклику.

q~            e# Read input and evaluate. Pushes the array and the number x
  {     }*    e# Do the following x times
   _          e# Duplicate array
    (;        e# Remove first element
      .+      e# Vectorized sum. The last element in the first array, which doesn't 
              e# have a corresponding entry in the second, will be left as is
          0=  e# Get first element. Implicitly display

— Луїс Мендо
джерело

1

Pyth , 10 байт

s.e*b.cQkE

Тестовий набір.

Як це працює

s.e*b.cQkE
 .e      E   for (b,k) in enumerated(array):
     .cQk        (input) choose (k)
   *b            * b
s            sum

— Лина монахиня
джерело

1

APL (Діалог) , 29 байт

{0=⍺:⊃⍵
(⍺-1)∇(+/¨2,/⍵),¯1↑⍵}

Спробуйте в Інтернеті!

Це рекурсивний dfn, але він виявляється занадто багатослівним. Робота в гольф ...

— користувач41805
джерело

1

Власне , 7 байт

;lr(♀█*

Спробуйте в Інтернеті!

Як це працює

;lr(♀█*  input:
         8, [4, -5, 3, -1]
         top of stack at the right
;        duplicate
         8, [4, -5, 3, -1], [4, -5, 3, -1]
 l       length
         8, [4, -5, 3, -1], 4
  r      range
         8, [4, -5, 3, -1], [0, 1, 2, 3]
   (     rotate stack
         [4, -5, 3, -1], [0, 1, 2, 3], 8
    ♀█   map "n choose r"
         [4, -5, 3, -1], [1, 8, 28, 56]
      *  dot product
         -8

— Лина монахиня
джерело

1

Октава , 42 байти

@(a,x)conv(a,diag(flip(pascal(x+1))))(x+1)

Це визначає анонімну функцію. Спробуйте в Інтернеті!

Пояснення

Рішення можна обчислити шляхом багаторазового згортання вхідного масиву та отриманих масивів за допомогою [1, 1]. Але згортання двічі, або тричі, або ... з [1, 1]відповідає згортці один раз з [1, 2 ,1], або [1, 3, 3, 1], або ...; тобто з рядком трикутника Паскаля. Це виходить як антидіагональ матриці Паскаля порядку x+1.

— Луїс Мендо
джерело

0

JavaScript (ES6), 41 байт

f=(a,x,[b,...c]=a)=>x--?f(a,x)+f(c,x):b|0

Відмінна відповідь Haskell на порт @ xnor. Попереднє 47-байтне рішення.

f=(a,x)=>x--?f(a.map((e,i)=>e+~~a[i+1]),x):a[0]

— Ніл
джерело

0

Python 3 з Numpy , 82 байти

import numpy
def f(a,x):
 for n in range(x):a=numpy.convolve(a,[1,1])
 return a[x]

Аналогічно моїй відповіді MATL , але з використанням повнорозмірної згортки, і, таким чином, результатом є x-й запис остаточного масиву.

Спробуйте в Інтернеті!

— Луїс Мендо
джерело

0

Пітон , 51 байт

f=lambda l,n:n and f(l,n-1)+f(l[1:]+[0],n-1)or l[0]

Спробуйте в Інтернеті!

Це порт моєї відповіді Haskell .

— xnor
джерело

Впровадити метод Ейлера

Хаскелл , 38 байт

MATL , 9 байт

Пояснення

Желе , 6 5 байт

Брахілог , 13 12 байт

Як це працює

Попереднє 13-байтове рішення

Як це працює

Математика, 32 байти

Пітон , 80 58 байт

Haskell, 52 45 байт

CJam , 12 байт

Пояснення

Pyth , 10 байт

Як це працює

APL (Діалог) , 29 байт

Власне , 7 байт

Як це працює

Октава , 42 байти

Пояснення

JavaScript (ES6), 41 байт

Python 3 з Numpy , 82 байти

Пітон , 51 байт