Якщо ми запишемо послідовність чисел як коефіцієнти ряду потужностей, то цей силовий ряд називається (звичайною) функцією, що генерує (або Gf) цієї послідовності. Тобто, якщо для деякої функції F(x)та ряду цілих чисел у a(n)нас є:

a(0) + a(1)x + a(2)x^2 + a(3)x^3 + a(4)x^4 + ... = F(x)

Тоді F(x)є генеруюча функція a. Наприклад, геометричний ряд говорить нам, що:

1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + ... = 1/(1-x)

Отже, генеруюча функція 1, 1, 1, ...є 1/(1-x). Якщо ми диференціюємо обидві сторони рівняння вище та помножимо на xто, отримаємо таку рівність:

x + 2x^2 + 3x^3 + 4x^4 + ... = x/(1-x)^2

Отже, генеруюча функція 1, 2, 3, ...є x/(1-x)^2. Функції генерації - це дуже потужний інструмент, і ви можете зробити багато корисних речей з ними. Короткий вступ можна знайти тут , але для дійсно ґрунтовного пояснення існує дивовижна книга, що генерує функціоналогію.

У цьому виклику ви скористаєтесь раціональною функцією (коефіцієнт двох многочленів з цілими коефіцієнтами) як вхід у вигляді двох масивів цілочисельних коефіцієнтів, спочатку чисельник, а потім знаменник. Наприклад, функція f(x) = x / (1 - x - x^2)буде закодована як [0, 1], [1, -1, -1]у вході.

З огляду на цей вхід, ваша програма повинна нескінченно друкувати коефіцієнти ряду потужностей, що дорівнює функції генерування, по одному на рядок, починаючи з коефіцієнта x, потім x^2і т.д.

Приклади:

[1], [1, -1] -> 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...
[1], [2, -2] -> 0.5, 0.5, 0.5, 0.5, 0.5, 0.5, 0.5, ...
[0, 1], [1, -2, 1] -> 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ...
[0, 1], [1, -1, -1] -> 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...
[1], [1, -2] -> 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, ...
[0, 1, 1], [1, -3, 3, -1] -> 1, 4, 9, 16, 25, 36, ...

Haskell , 63 байти

z=0:z
(a:b)%y@(c:d)=a/c:zipWith(-)(b++z)(map(a/c*)d++z)%y
_%_=z

Спробуйте в Інтернеті!

Визначає оператор, який %повертає нескінченний лінивий список коефіцієнтів. Список є нульовим показником, тому включений постійний коефіцієнт.

Математика, 64 83 90 байт

Do[Echo@Limit[D[#/#2/i!&@@Fold[x#+#2&]/@#,{x,i}],x->0],{i,∞}‌​]&

Дякуємо @ngenisis та @Jenny_mathy!

Візьміть дані як два списки.

Потрібно Alt+.припинити виконання, щоб побачити результат. Frontend може вийти з ладу через швидкий вихід.

83-байтна версія (@Jenny_mathy):

i=1;v=Tr[#*x^Range@Length@#]&;While[1<2,Echo@Limit[D[v@#/v@#2/i!,{x,i}],x->0];i++]&

CJam (22 байти)

{\{(W$(@\/_pW*f*.+1}g}

Інтернет демо . Зауважимо, що як багато існуючих відповідей, це включає 0-й коефіцієнт у виході.

Розсічення

{           e# Define a block which takes numerator N and denominator D as arguments
  \         e# Flip to put D at the bottom, since that won't change
  {         e# Infinite loop:
    (       e#   Pop the first element of (the modified) N
    W$(     e#   Copy D and pop its first element
            e#   Stack: D N[1:] N[0] D[1:] D[0]
    @\/     e#   Bring N[0] to top, flip, divide
            e#   Stack: D N[1:] D[1:] N[0]/D[0]
    _p      e#   Print a copy
    W*f*.+  e#   Multiply by -1, multiply all, pointwise add
            e#   Stack: D N[1:]-(N[0]/D[0])*D[1:]
  1}g
}

Математика, 86 79 байт

f=x^Range@Length@#.#&;For[n=1,8>3,Print@SeriesCoefficient[f@#/f@#2,{x,0,n++}]]&

Вводиться як два окремі списки (коефіцієнти чисельника, коефіцієнти знаменника). Якщо вхід можна сприймати безпосередньо як частину многочленів, а не як списки коефіцієнтів, це можна значно скоротити.

Здається, що Doможна працювати з нескінченними межами в v11. Я не можу перевірити це локально, але, якщо це так, то це рішення можна скоротити до 75 байт :

f=x^Range@Length@#.#&;Do[Print@SeriesCoefficient[f@#/f@#2,{x,0,n}],{n,∞}]&

Pyth , 23 байти

JE#
KchQhJ=t-M.t,Q*LKJ0

Спробуйте в Інтернеті!

Як це працює

                       Q = eval(input())
JE                     J = eval(input())
  #                    infinite loop:
 chQhJ                   Q[0]/J[0]
K                        assign that to K (and print it, because of the preceding newline)
              *LKJ       K times every element of J
            ,Q           [Q, that]
          .t      0      transpose, padding with 0s
        -M               subtract each pair
       t                 remove the first element
      =                  assign that back to Q

Парі / GP , 66 байт

p->q->for(i=0,oo,print(Pol(Polrev(p)/(Polrev(q)+O(x*x^i)))\x^i%x))

Спробуйте в Інтернеті!