Фон

Можна показати , що для будь-якого цілого числа k >= 0, f(k) = tan(atan(0) + atan(1) + atan(2) + ... + atan(k))є раціональним числом.

Мета

Напишіть повну програму або функцію, яка при наданні k >= 0 виводить f(k)як єдиний зменшений дріб (чисельник і знаменник є спірними).

Тестові справи

Перші кілька значень є

f(0) = (0,1)
f(1) = (1,1)
f(2) = (-3,1)
f(3) = (0,1)
f(4) = (4,1)
f(5) = (-9,19)
f(6) = (105,73)

Правила

• Стандартні лазівки заборонені.
• Введення та вихід можуть бути у будь-якому зручному форматі. Ви можете виводити f(k)у вигляді рядка numerator/denominator, як кордону з двох цілих чисел, дробу або раціонального об'єкта і т. Д. Якщо виводите рядок, дайте лише два цілі числа, тобто виведіть 3/2замість1 1/2 .
• Це кодовий гольф, найкоротша відповідь (у байтах) виграє.

М , 11 байт

×C÷@+
R0;ç/

Спробуйте в Інтернеті!

Використовує формулу OEIS за x(n) = (x(n-1)+n)/(1-n*x(n-1))допомогою x(0) = 0.

Математика, 28 байт

Fold[+##/(1-##)&,0,Range@#]&

Спробуйте в Інтернеті!

Більш тривалий, але цікавіший підхід (32 байти):

Im@#/Re@#&@Product[1+n I,{n,#}]&

Спробуйте в Інтернеті!

Пітон 2 ,76 72 байти

from fractions import*
f=lambda k:Fraction(k and(k+f(k-1))/(1-k*f(k-1)))

Використовуйте особу:

tan(A + B) = (tan(A) + tan(B)) / (1 - tan(A) * tan(B))

Ми маємо:

f(k) = 0                                    if k = 0
     = (k + f(k - 1)) / (1 - k * f(k - 1))  if k > 0

Спробуйте в Інтернеті!

Завдяки Луїсу Мендо збережіть 4 байти.

APL (Dyalog) , 14 байт

Потрібно ⎕FR←1287( 128 біт F loating точка R epresentation) для малого входу. Вважається kправильним аргументом.

1(∧÷,)3○¯3+.○⍳

Спробуйте в Інтернеті!

⍳ цілі числа один на один k(нуль не потрібно, оскільки 0 = арктан 0)

¯3+.○ сума дотичних аркусів

3○ дотична

1(… ) Застосувати таку негласну функцію з 1 як лівий аргумент, а вище як правий аргумент:

 ∧ найнижчий загальний кратний (з 1 і правильний аргумент); дає чисельник

 ÷ ділиться на

 , конкатенація (з 1 і правильний аргумент); дає чисельник і знаменник

Haskell , 52 байти

Для цього використовується розширення серії OEIS:

import Data.Ratio
f 0=0%1
f n|p<-f$n-1=(p+n)/(1-n*p)

Спробуйте в Інтернеті!

Або точкова версія:

(scanl1(\f n->(f+n)/(1-n*f))[0%1..]!!)

JavaScript (ES6), 80 байт

f=n=>n?([a,b]=f(n-1),g=(a,b)=>a?g(b%a,a):b,c=g(d=b*n+a,e=b-n*a),[d/c,e/c]):[0,1]

Повертає пару [чисельник, знаменник]. Пояснення: Нехай f(n-1) = a/bтоді f(n) = atan(tan(n)+tan(a/b)) = (n+a/b)/(1-n*a/b) = (b*n+a)/(b-n*a). Потім залишається зменшити дріб до найнижчих умов.

Інтернет-середовище ES6

Парі / GP , 36 байт

n->imag(x=prod(i=0,n,1+i*I))/real(x)

Спробуйте в Інтернеті!

Або однакової довжини:

n->fold((x,y)->(x+y)/(1-x*y),[0..n])

Спробуйте в Інтернеті!

05AB1E , 33 26 байт

0X)Iƒ©`N*+®`sN*-‚D¿D_i\¤}/

Спробуйте в Інтернеті!

Пояснення

0X)                          # initialize stack with [0,1]
   Iƒ                        # for N in range [0 ... input] do:
     ©                       # store a copy of the current pair in the register
      `                      # push the pair separately to the stack
       N*                    # multiply the denominator with N
         +                   # add the numerator
          ®`s                # push the denominator then the numerator to the stack
             N*              # multiply the numerator by N
               -             # subtract it from the denominator
                D¿D          # get 2 copies of the greatest common divisor
                   0Qi  }    # if the gcd equals 0
                      \¤     # replace it with the denominator
                         /   # divide the pair with this number

Октава , 30 байт

format rat
tan(sum(atan(0:k)))

Спробуйте в Інтернеті!

Casio-Basic, 35 байт

tExpand(tan(sum(seq(tan⁻¹(n),n,0,k

tan ^-1 слід вводити як позначку на клавіатурі Trig; або ^-1 можна вводити окремо від клавіатури abc> Math. Відповідно до посібника fx-CP400, це один двобайтовий символ (764).

Функція, 34 байти для коду, +1 байт для додавання kв якості аргументу.

Пояснення

seq(tan-1(n),n,0,k)генерує всі значення для tan-1(n)від 0 до k.

sumдодає їх усі разом, потім tanвиконує дотичну функцію на них.

tExpand потім перетворить їх у єдину дріб.

Джулія 0.6.0 40 байт

k->rationalize(tan(sum(x->atan(x),1:k)))

Це прямо реалізація питання. Точність раціоналізації іноді може бути дивною, але спрацьовує 99% часу.