Багаточлені Чебышёва (Чебишевські поліноми)

26

Поліноми Чебишева - це сімейство ортогональних многочленів, які спливають у всіляких місцях математики, і вони мають масу досить цікавих властивостей. Однією з характеристик їх є те, що вони є унікальними поліномами, які задовольняють .Tn(cos(x)) = cos(n*x)

Виклик

Враховуючи невід'ємне ціле число n, слід вивести n-й многочлен Чебишева. .Tn(x)

Визначення

n-М Чебишева даються наступними три термін рекурсії:

T0(x) = 1
T1(x) = x
Tn+1(x) = 2*x*Tn(x) - Tn-1(x)

Деталі

Якщо ваша мова має власний тип полінома, ви можете використовувати цей як вихідний, інакше слід вивести список коефіцієнтів у порядку зростання чи спадання або як рядок, що представляє поліном.

Приклади

T0(x) = 1
T1(x) = x 
T2(x) = 2x^2 - 1
T3(x) = 4x^3 - 3 x
T4(x) = 8x^4 - 8x^2 + 1
T5(x) = 16x^5 - 20x^3 + 5x
T10(x) = 512x^10 - 1280x^8 + 1120x^6 - 400x^4 + 50x^2 - 1

У форматі списку низхідних ступенів, який ми отримаємо, і у форматі висхідного ступеня, який ми отримаємоT3(x) = [4,0,-3,0]T3(x) = [0,-3,0,4]

code-golf  math  sequence  polynomials  recursion 
— недолік
джерело
Якщо я виводжу список, чи можу я вивести 0 1(тобто 0*x+1) для T_0?
— Луїс Мендо
Поки порядок одночленів є послідовним, це нормально!
— flawr
@flawr 2*x*(2*x**2 - 1) - xнормально, як вихід для 3 для підтримуючого полінома, або нам потрібне представлення у вигляді коефіцієнтів desc?
— Уріель
11
— Mego
2
Чи допустимі неточності з плаваючою комою? тобтоT_5(n) = [0, 5, 3.55271e-15, -20, 0, 16]
— миль

Відповіді:

15

Математика, 15 байт

#~ChebyshevT~x&

Звичайно, у Mathematica є вбудований.

Якщо дозволена альтернативна форма введення (10 байт):

ChebyshevT

приймає ціле число nі змінну.

— JungHwan Min
джерело
3
Не міг здогадатися, так. : P
— HyperNeutrino
14

Октава , 39 байт

@(n)round(2^n/2*poly(cos((.5:n)/n*pi)))

Спробуйте в Інтернеті!

Пояснення

cos((.5:n)/n*pi)будує вектор з корінням многочлена , заданим

enter image description here

polyдає монічний многочлен з тими коренями. Помножуючи на 2^n/2масштаби коефіцієнти, як потрібно. roundгарантує, що результати є цілими, незважаючи на числову точність.

— Луїс Мендо
джерело
1
Розумний як завжди :)
— недолік
11

Пари / GP , 12 байт

Так, вбудований. Коротше, ніж Mathematica.

polchebyshev

Спробуйте в Інтернеті!

Без вбудованого:

Парі / GP , 34 байти

f(n)=if(n<2,x^n,2*x*f(n-1)-f(n-2))

Спробуйте в Інтернеті!

— алефальфа
джерело
Бере polchebyshevлише один вхід і повертає многочлен?
— JungHwan Min
@JungHwanMin Так. xє невизначеним за замовчуванням.
— алефальфа
10

Хаскелл , 62 байти

t n|n<2=1:[0|n>0]|x<-(*2)<$>t(n-1)++[0]=zipWith(-)x$0:0:t(n-2)

Спробуйте в Інтернеті!

flawr врятував байт.

— Лінн
джерело
Це дуже елегантно! (Я постійно забуваю про zipWithвекторні операції.)
— недолік
1
Я думаю, ви можете навіть зберегти ще один байт, скориставшись guards: t n|n<2=1:[0|n>0]|x<-(*2)<$>t(n-1)++[0]=zipWith(-)x$0:t(n-2)таким чином ви можете видалити середню пару дужок в останньому рядку :)
— flawr
Я думаю , ви повинні змінити 0:до 0:0:- OP просто заборонив цей вид пропускаючи нулі.
— Ørjan Johansen
5

MATL , 17 байт

lFTi:"0yhEbFFh-]x

Коефіцієнти виводяться в порядку збільшення ступеня.

Спробуйте в Інтернеті! Або перевірити всі тестові випадки .

Пояснення

Для введення n код застосовує рекурсивне відношення n разів. Два останні поліноми завжди зберігаються на стеці. Коли обчислюється новий многочлен, найдавніший видаляється.

В кінці відображається другий останній многочлен (останній многочлен видаляється), оскільки ми зробили одну занадто багато ітерацій.

l        % Push 1
FT       % Push [0 1]. These are the first two polynomials
i:"      % Input n. Do the following n times
  0      %   Push 0
  y      %   Duplicate most recent polynomial
  h      %   Concatenate: prepends 0 to that polynomial
  E      %   Multiply coefficients by 2
  b      %   Bubble up. This moves second-most recent polynomial to top
  FF     %   Push [0 0]
  h      %   Concatenate: appends [0 0] to that polynomial
  -      %   Subtract coefficients
]        % End
x        % Delete. Implicitly display
— Луїс Мендо
джерело
4

Желе , 18 байт

Cr1µ’ßḤ0;_’’$ß$µỊ?

Спробуйте в Інтернеті!

Повертає список коефіцієнтів у порядку зростання.

Є ще одне рішення на 17 байт з неточностями з плаваючою комою.

RḤ’÷Ḥ-*ḞÆṛæ«’µ1Ṡ?

Спробуйте в Інтернеті!

Пояснення

Cr1µ’ßḤ0;_’’$ß$µỊ?  Input: integer n
                Ị   Insignificant - abs(n) <= 1
                    If true, n = 0 or n = 1
   µ                  Monadic chain
C                       Complement, 1-x
 r1                     Range to 1
                    Else
               µ      Monadic chain
    ’                   Decrement
     ß                  Call itself recursively
      Ḥ                 Double
       0;               Prepend 0
         _              Subtract with
            $             Monadic chain
          ’’                Decrement twice
              $           Monadic chain
             ß              Call itself recursively
— миль
джерело
— Лина монахиня
2

Аксіома, 40 байт

f(n,x)==(n<2=>x^n;2*x*f(n-1,x)-f(n-2,x))

результати

(9) -> for i in [0,1,2,3,4,5,10] repeat output ["f(y)",i,"=", f(i,y)]
   ["f(y)",0,"=",1]
   ["f(y)",1,"=",y]
                   2
   ["f(y)",2,"=",2y  - 1]
                   3
   ["f(y)",3,"=",4y  - 3y]
                   4     2
   ["f(y)",4,"=",8y  - 8y  + 1]
                    5      3
   ["f(y)",5,"=",16y  - 20y  + 5y]
                      10        8        6       4      2
   ["f(y)",10,"=",512y   - 1280y  + 1120y  - 400y  + 50y  - 1]
                                                               Type: Void

можна визначити один закон заміщення для формули в застосуванні Аксіоми вище функції f () для розширення cos (n * x), де n - одне ціле число

(9) -> o:=rule cos(n*%y)==f(n,cos(%y))
   (9)  cos(%y n) == 'f(n,cos(%y))
                    Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer)
                                                              Time: 0 sec
(10) -> b:=o cos(20*x)
   (10)
                 20                18                16                14
     524288cos(x)   - 2621440cos(x)   + 5570560cos(x)   - 6553600cos(x)
   +
                  12                10               8              6
     4659200cos(x)   - 2050048cos(x)   + 549120cos(x)  - 84480cos(x)
   +
               4            2
     6600cos(x)  - 200cos(x)  + 1
                                                 Type: Expression Integer
                       Time: 0.48 (EV) + 0.02 (OT) + 0.10 (GC) = 0.60 sec
— РосЛуП
джерело
1

C # (.NET Core) , 126 байт

f=n=>n==0?new[]{1}:n==1?new[]{0,1}:new[]{0}.Concat(f(n-1)).Select((a,i)=>2*a-(i<n-1?f(n-2)[i]:0)).ToArray();

Кількість байтів включає також:

using System.Linq;

Спробуйте в Інтернеті!

Функція повертає многочлен як масив коефіцієнтів у порядку зростання (від x^0доx^n )

Пояснення:

f = n =>                          // Create a function taking one parameter (int)
    n == 0 ? new[] { 1 } :        // If it's 0, return collection [1]
    n == 1 ? new[] { 0, 1 } :     // If it's 1, return collection [0,1] (so x + 0)
    new[] { 0 }                   // Else create new collection, starting with 0
        .Concat(f(n - 1))         // Concatenate with f(n-1), effectively multiplying polynomial by x
        .Select((a, i) => 2 * a - (i < n - 1 ? f(n - 2)[i] : 0))
                                  // Multiply everything by 2 and if possible, subtract f(n-2)
        .ToArray();               // Change collection to array so we have a nice short [] operator
                                  // Actually omitting this and using .ElementAt(i) is the same length, but this is my personal preference
— Гжегож Пулавський
джерело
1

JavaScript (ES6), 65 байт

f=n=>n?n>1?[0,...f(n-1)].map((e,i)=>e+e-(f(n-2)[i]||0)):[0,1]:[1]

Неефективний для великих n. Цікаво, але, на жаль, також неефективно:

n=>[...Array(n+1)].map(g=(m=n,i)=>i<0|i>m?0:m<2?i^m^1:g(m-1,i-1)*2-g(m-2,i))

Дуже ефективний для 68 байт:

f=(n,a=[1],b=[0,1])=>n?f(n-1,b,[0,...b].map((e,i)=>e+e-(a[i]||0))):a

Повертає масив коефіцієнтів у порядку зростання.

— Ніл
джерело
Використовуючи наш веб-сайт, ви визнаєте, що прочитали та зрозуміли наші Політику щодо файлів cookie та Політику конфіденційності.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.