У нас є число з плаваючою комою rміж 0 і 1 і цілим числом p.

Знайдіть частку цілих чисел з найменшим знаменником, яка наближається rз принаймні p-значною точністю.

• Введення: r(число з плаваючою комою) та p(ціле число).
• Виходи: aі bцілі числа, де
  • a/b(як float) наближається rдо pцифр.
  • b - можливе найменше таке додатне ціле число.

Наприклад:

• якщо r=0.14159265358979і p=9,
• то результат a=4687і b=33102,
• тому що 4687/33102=0.1415926530119026.

Будь-яке рішення має теоретично працювати з типами довільної точності, але обмеження, спричинені типами фіксованої точності впровадження, не мають значення.

Точність означає кількість цифр після " 0." в r. Таким чином, якщо r=0.0123і p=3, тоді a/bслід почати з 0.012. Якщо перші pцифри дробової частини rдорівнюють 0, невизначена поведінка є прийнятною.

Критерії виграшу:

• Алгоритмічно найшвидший алгоритм виграє. Швидкість вимірюється в O (p).
• Якщо існує кілька найшвидших алгоритмів, виграє найкоротший.
• Моя власна відповідь виключається із набору можливих переможців.

Якщо математична частина насправді набагато простіша, як здається, пропоную прочитати цю публікацію.

JavaScript, O (10 ^p ) та 72 байти

r=>p=>{for(a=0,b=1,t=10**p;(a/b*t|0)-(r*t|0);a/b<r?a++:b++);return[a,b]}

Доказано, що цикл буде виконано після не більше O (10 ^p ) ітерацій.

f=
r=>p=>{for(a=0,b=1,t=10**p;(a/b*t|0)-(r*t|0);a/b<r?a++:b++);return[a,b]}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
  <mrow>
    <mn>0.<input type="text" id="n" value="" oninput="[p,q]=f(+('0.'+n.value))(n.value.length);v1.value=p;v2.value=q;d.value=p/q" /></mn>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow><mn><output id="v1">0</output></mn></mrow>
      <mrow><mn><output id="v2">1</output></mn></mrow>
    </mfrac>
    <mo>=</mo>
    <mn><output id="d">0</output></mn>
  </mrow>
</math>

Велике спасибі ідеї Ніла, економте 50 байт.

Haskell , O (10 ^p ), в гіршому випадку 121 119 байт

g(0,1,1,1)
g(a,b,c,d)r p|z<-floor.(*10^p),u<-a+c,v<-b+d=last$g(last$(u,v,c,d):[(a,b,u,v)|r<u/v])r p:[(u,v)|z r==z(u/v)]

Спробуйте в Інтернеті!

Збережено 2 байти завдяки Лайконі

Я використовував алгоритм із /math/2432123/how-to-find-the-fraction-of-integers-with-the-smallest-denominator-matching-an-i .

На кожному кроці новий інтервал - це половина попереднього інтервалу. Таким чином, розмір інтервалу є 2**-n, де nзнаходиться поточний крок. Коли 2**-n < 10**-pми, безумовно, маємо правильне наближення. І все ж якщо n > 4*pтоді 2**-n < 2**-(4*p) == 16**-p < 10**-p. Висновок такий, що алгоритм є O(p).

EDIT Як зазначено orlp у коментарі, твердження вище є помилковим. У гіршому випадку r = 1/10**p( r= 1-1/10**pаналогічно), буде 10**pкроки: 1/2, 1/3, 1/4, .... Є краще рішення, але я зараз не маю часу, щоб виправити це.

C, 473 байти (без контексту), O (p), неконкурентні

Це рішення використовує математичну частину, детально описану в цій чудовій публікації. Я обчислював лише calc()розмір відповіді.

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <math.h>

void calc(float r, int p, int *A, int *B) {
  int a=0, b=1, c=1, d=1, e, f;
  int tmp = r*pow(10, p);
  float ivl = (float)(tmp) / pow(10, p);
  float ivh = (float)(tmp + 1) / pow(10, p);

  for (;;) {
    e = a + c;
    f = b + d;

    if ((ivl <= (float)e/f) && ((float)e/f <= ivh)) {
      *A = e;
      *B = f;
      return;
    }

    if ((float)e/f < ivl) {
      a = e;
      b = f;
      continue;
    } else {
      c = e;
      d = f;
      continue;
    }
  }
}

int main(int argc, char **argv) {
  float r = atof(argv[1]);
  int p = atoi(argv[2]), a, b;
  calc(r, p, &a, &b);
  printf ("a=%i b=%i\n", a, b);
  return 0;
}