Двочастковий граф являє собою графік, вершини якого можна розділити на два безлічі НЕ перетинаються, таким чином, що ні одне ребро не з'єднує дві вершини в одному наборі. Графік є двостороннім і тоді, і лише тоді, коли він є двоколірним.

Виклик

Ваше завдання полягає в тому, щоб, враховуючи матрицю суміжності непрямого простого графа, визначити, чи є це двобічний графік. Тобто, якщо ребро з'єднує вершини i і j, то і (i, j) і (j, i) запис матриці дорівнює 1.

Оскільки графік непрямий і простий, то його матриця суміжності симетрична і містить лише 0 і 1.

Особливості

Ви повинні взяти матрицю N-by-N (будь-яку форму, наприклад, список списків, список рядків, C-подібний int**і розмір, сплющений масив, необроблений вхід тощо).

Функція / програма повинна повертати / виводити триєдне значення, якщо графік двосторонній, а помилковий помилковий.

Випробування

['00101',
 '00010',
 '10001',
 '01000',
 '10100'] : False
['010100',
 '100011',
 '000100',
 '101000',
 '010000',
 '010000'] : True (divide into {0, 2, 4, 5} and {1, 3})
['00',
 '00'] : True

Оцінка балів

Вбудовані, які безпосередньо обчислюють відповідь, заборонені.

Це код-гольф , тому найкоротша програма (в байтах) до кінця цього місяця виграє!

Лушпиння , 17 байт

§V¤=ṁΣṠMSȯDfm¬ṀfΠ

Друкує додатне ціле число, якщо графік двосторонній, 0якщо ні. Спробуйте в Інтернеті!

Пояснення

Це підхід грубої сили: повторіть усі підмножини S вершин і подивіться, чи всі ребра в графіку знаходяться між S та його доповненням.

§V¤=ṁΣṠMSȯDfm¬ṀfΠ  Implicit input: binary matrix M.
                Π  Cartesian product; result is X.
                   Elements of X are binary lists representing subsets of vertices.
                   If M contains an all-0 row, the corresponding vertex is never chosen,
                   but it is irrelevant anyway, since it has no neighbors.
                   All-1 rows do not occur, as the graph is simple.
      ṠM           For each list S in X:
              Ṁf   Filter each row of M by S, keeping the bits at the truthy indices of S,
        S  fm¬     then filter the result by the element-wise negation of S,
         ȯD        and concatenate the resulting matrix to itself.
                   Now we have, for each subset S, a matrix containing the edges
                   from S to its complement, twice.
§V                 1-based index of the first matrix
  ¤=               that equals M
    ṁΣ             by the sum of all rows, i.e. total number of 1s.
                   Implicitly print.

Мова Вольфрама (Mathematica) , 26 25 байт

Tr[#//.x_:>#.#.Clip@x]<1&

Спробуйте в Інтернеті!

Як це працює

Враховуючи матрицю суміжності A, ми знаходимо фіксовану точку, починаючи з B = A, а потім замінюючи B на A ² B, періодично відсікаючи значення, що перевищують 1 до 1. k- ^й етап цього процесу еквівалентний до значень Clipпотужності A ^{2k + 1} , в якому запис (i, j) рахує кількість шляхів довжиною 2k + 1 від вершини i до j; тому фіксована точка закінчується тим, що має ненульовий (i, j) запис iff, якщо ми можемо переходити від i до j з непарною кількістю кроків.

Зокрема, діагональ фіксованої точки має ненульові записи, лише коли вершина може дійти до себе непарною кількістю кроків: якщо є непарний цикл. Тож слід фіксованої точки дорівнює 0, якщо і лише тоді, коли графік двосторонній.

Інше 25-байтне рішення цієї форми полягає Tr[#O@n//.x_:>#.#.x]===0&в тому випадку, якщо це дає комусь уявлення про те, як підсунути кількість байтів ще нижче.

Попередні зусилля

Я спробував декілька підходів до цієї відповіді, перш ніж зупинитися на цьому.

26 байт: матричні експоненціали

N@Tr[#.MatrixExp[#.#]]==0&

Також покладається на непарні сили матриці суміжності. Оскільки x * exp (x ² ) є x + x ³ + x ^5/2 ! + х ^7/4 ! + ..., коли x - матриця A, це має позитивний додаток для кожної непарної сили A, тому вона також матиме нульовий слід, якщо A має непарний цикл. Для великих матриць це рішення дуже повільне.

29 байт: велика непарна потужність

Tr[#.##&@@#~Table~Tr[2#!]]<1&

Для матриці n від n знаходить A ^{2n + 1,} а потім перевіряє діагональ. Тут #~Table~Tr[2#!]генерується 2n копій n на n вхідної матриці і #.##& @@ {a,b,c,d}розпаковується до a.a.b.c.d, множачи разом 2n + 1 копії матриці.

53 байти: матриця Лаплація

(e=Eigenvalues)[(d=DiagonalMatrix[Tr/@#])+#]==e[d-#]&

Використовує незрозумілий результат у теорії спектральних графів ( пропозиція 1.3.10 у цьому pdf ).

JavaScript, 78 байт

m=>!m.some((l,i)=>m.some((_,s)=>(l=m.map(t=>t.some((c,o)=>c&&l[o])))[i]&&s%2))

Вхідний масив масиву 0/1, вихід true / false.

f = 

m=>!m.some((l,i)=>m.some((_,s)=>(l=m.map(t=>t.some((c,o)=>c&&l[o])))[i]&&s%2))

run = () => o.value=f(i.value.trim().split('\n').map(v=>v.trim().split('').map(t=>+t)))

<textarea id=i oninput="o.value=''" style="width:100%;display:block;">010100
100011
000100
101000
010000
010000
</textarea>
<button type=button onclick="run()">Run</button>
<div>Result = <output id=o></output></div>

Pyth , 25 байт

xmyss.D.DRx0dQx1d.nM*FQss

Спробуйте в Інтернеті!

Це повертається -1для хибного, і будь-яке невід'ємне ціле число для truthy.

Як це працює

xmyss.D.DRx0dQx1d.nM * FQss ~ Повна програма, отримує матрицю суміжності від STDIN.

                    * FQ ~ Зменшити (скласти) декартовим продуктом.
                 .nM ~ Згладьте кожного.
 m ~ Карта зі змінною d.
         RQ ~ Для кожного елемента на вході,
       .D ~ Видалити елементи в індексах ...
          x0d ~ Усі показники 0 у d.
     .D ~ І зі цього списку видаліть елементи в індексах ...
              x1d ~ Усі показники 1 в d.
    s ~ Згладити.
   s ~ Сума. Я міг би використати s, якщо [] не з’явиться.
  y ~ Подвійний.
x ~ У наведеному вище відображенні отримайте перший індекс ...
                       ss ~ Загальна кількість 1 у вхідній матриці.

Це працює у віддаленні d315e19 , поточній версії TiO в Pyth.