Характеристичний поліном квадратної матриці А визначається як многочлен р _А (х) = Det ( я х- ) , де я це одинична матриця , і опр на визначник . Зауважимо, що це визначення завжди дає нам монічний многочлен таким, що рішення є унікальним.

Ваше завдання для цього завдання - обчислити коефіцієнти характерного многочлена для цілочисельної матриці, для цього ви можете використовувати вбудовані модулі, але це не перешкоджає.

Правила

• вхід - ціла матриця NxN (N ≥ 1) у будь-якому зручному форматі
• ваша програма / функція буде виводити / повертати коефіцієнти в порядку збільшення чи зменшення (будь ласка, вкажіть, який)
• коефіцієнти нормуються такими, що коефіцієнт x ^N дорівнює 1 (див. тестові випадки)
• вам не потрібно обробляти недійсні введення

Тестові шафи

Коефіцієнти подаються у порядку зменшення (тобто x ^N , x ^N-1 , ..., x ² , x, 1):

[0] -> [1 0]
[1] -> [1 -1]
[1 1; 0 1] -> [1 -2 1]
[80 80; 57 71] -> [1 -151 1120] 
[1 2 0; 2 -3 5; 0 1 1] -> [1 1 -14 12]
[4 2 1 3; 4 -3 9 0; -1 1 0 3; 20 -4 5 20] -> [1 -21 -83 559 -1987]
[0 5 0 12 -3 -6; 6 3 7 16 4 2; 4 0 5 1 13 -2; 12 10 12 -2 1 -6; 16 13 12 -4 7 10; 6 17 0 3 3 -1] -> [1 -12 -484 3249 -7065 -836601 -44200]
[1 0 0 1 0 0 0; 1 1 0 0 1 0 1; 1 1 0 1 1 0 0; 1 1 0 1 1 0 0; 1 1 0 1 1 1 1; 1 1 1 0 1 1 1; 0 1 0 0 0 0 1] -> [1 -6 10 -6 3 -2 0 0]

SageMath , 3 байти

5 байт збережено завдяки @Mego

fcp

Спробуйте в Інтернеті!

Приймає Matrixяк вхід.

fcpпозначає ф actorization від гр haracteristic р olynomial,

який коротший, ніж у звичайного вбудованого charpoly.

Октава , 16 4 байти

@BruteForce щойно сказав мені, що одна з функцій, які я використовував у своєму попередньому рішенні, насправді може виконати всю роботу:

poly

Спробуйте в Інтернеті!

16 байт: Це рішення обчислює власні значення вхідної матриці, а потім приступає до побудови многочлена із заданих коренів.

@(x)poly(eig(x))

Але звичайно є і нудне

charpoly

(потрібна symbolicматриця типу в Octave, але працює зі звичайними матрицями в MATLAB.)

Спробуйте в Інтернеті!

Парі / GP , 8 байт

charpoly

Спробуйте в Інтернеті!

Парі / GP , 14 байт

m->matdet(x-m)

Спробуйте в Інтернеті!

R , 53 байти

function(m){for(i in eigen(m)$va)T=c(0,T)-c(T,0)*i
T}

Спробуйте в Інтернеті!

Повертає коефіцієнти у порядку зростання; тобто a_0, a_1, a_2, ..., a_n.

Обчислює многочлен, знаходячи власні значення матриці.

R + пракма , 16 байт

pracma::charpoly

pracma є бібліотекою "PRACtical MAth" для R і має досить багато зручних функцій.

Математика, 22 байти

Det[MatrixExp[0#]x-#]&

-7 байт з алефальфи
-3 байти від Міші Лаврова

Спробуйте в Інтернеті!

і звичайно...

Математика, 29 байт

#~CharacteristicPolynomial~x&

Спробуйте в Інтернеті!

обидві відповіді виводять многочлен

Haskell , 243 223 222 байт

s=sum
(&)=zip
z=zipWith
a#b=[[s$z(*)x y|y<-foldr(z(:))([]<$b)b]|x<-a]
f a|let c=z pure[1..]a;g(u,d)k|m<-[z(+)a b|(a,b)<-a#u&[[s[d|x==y]|y<-c]|x<-c]]=(m,-s[s[b|(n,b)<-c&a,n==m]|(a,m)<-a#m&c]`div`k)=snd<$>scanl g(0<$c<$c,1)c

Спробуйте в Інтернеті!

Дякуємо @ ØrjanJohansen за те, що він допомагав мені в цьому гольф!

Пояснення

Для обчислення коефіцієнтів використовується алгоритм Фаддеєва-Левер'є . Ось неперевершена версія з більш багатослівними іменами:

-- Transpose a matrix/list
transpose b = foldr (zipWith(:)) (replicate (length b) []) b

-- Matrix-matrix multiplication
(#) :: [[Int]] -> [[Int]] -> [[Int]]
a # b = [[sum $ zipWith (*) x y | y <- transpose b]|x<-a]


-- Faddeev-LeVerrier algorithm
faddeevLeVerrier :: [[Int]] -> [Int]
faddeevLeVerrier a = snd <$> scanl go (zero,1) [1..n]
  where n = length a
        zero = replicate n (replicate n 0)
        trace m = sum [sum [b|(n,b)<-zip [1..n] a,n==m]|(m,a)<-zip [1..n] m]
        diag d = [[sum[d|x==y]|y<-[1..n]]|x<-[1..n]]
        add as bs = [[x+y | (x,y) <- zip a b] | (b,a) <- zip as bs]
        go (u,d) k = (m, -trace (a#m) `div` k)
          where m = add (diag d) (a#u)

_{Примітка. Я взяв це прямо з цього рішення}

Python 2 + numpy , 23 байти

from numpy import*
poly

Спробуйте в Інтернеті!

MATL , 4 байти

1$Yn

Спробуйте в Інтернеті!

Це просто порт відповіді Октави недоліку , тому він повертає коефіцієнти у порядку зменшення, тобто[a_n, ..., a_1, a_0]

1$Yn          # 1 input Yn is "poly"

CJam (48 байт)

{[1\:A_,{1$_,,.=1b\~/A@zf{\f.*1fb}1$Aff*..+}/;]}

Інтернет-тестовий набір

Розсічення

Це досить схоже на мою відповідь на Детермінант цілочислової матриці . Він має певні зміни, тому що ознаки різні, і тому, що ми хочемо зберегти всі коефіцієнти, а не лише останній.

{[              e# Start a block which will return an array
  1\            e#   Push the leading coefficient under the input
  :A            e#   Store the input matrix in A
  _,            e#   Take the length of a copy
  {             e#     for i = 0 to n-1
                e#       Stack: ... AM_{i+1} i
    1$_,,.=1b   e#       Calculate tr(AM_{i+1})
    \~/         e#       Divide by -(i+1)
    A@          e#       Push a copy of A, bring AM_{i+1} to the top
    zf{\f.*1fb} e#       Matrix multiplication
    1$          e#       Get a copy of the coefficient
    Aff*        e#       Multiply by A
    ..+         e#       Matrix addition
  }/
  ;             e#   Pop AM_{n+1} (which incidentally is 0)
]}