Визначення

Максимуми і мінімуми даної функції - це найбільші і найменші значення функції або в межах заданого діапазону, або іншим чином у межах всієї області функції.

Виклик

Завдання полягає в тому, щоб знайти локальні максимуми і мінімуми заданої функції полінома, використовуючи будь-який метод, який вам може сподобатися . Не хвилюйтесь, я постараюсь пояснити виклик і тримати його максимально просто.

Вхід буде містити всі коефіцієнти одночленної змінної многочлена в порядку зменшення або збільшенні потужності (залежить від вас). Наприклад,

• [3,-7,1] представлятиме 3x2 - 7x + 1 = 0
• [4,0,0,-3] представлятиме 4x3-3=0.

Як вирішити (за допомогою похідних)?

Скажімо, наш внесок - [1,-12,45,8]це не що інше, як функція .x3 - 12x2 + 45x + 8

1. Перше завдання - знайти похідну від цієї функції. Оскільки це поліноміальна функція, то це справді є простим завданням.

   Похідна IS . Будь-які постійні терміни, присутні з , просто множать. Крім того, якщо є додані / віднімані доданки, то їх похідні також додаються або віднімаються відповідно. Пам'ятайте, похідна будь-якого постійного числового значення дорівнює нулю. Ось кілька прикладів:xnn*xn-1xn

   • x3 -> 3x2
   • 9x4 -> 9*4*x3 = 36x3
   • -5x2 -> -5*2*x = - 10x
   • 2x3 - 3x2 + 7x -> 6x2 - 6x + 7
   • 4x2 - 3 -> 8x - 0 = 8x

2. Тепер розв’яжіть рівняння, прирівнявши новий многочлен до нуля і отримайте лише інтегральні значення х.

3. Поставте ці значення x у вихідну функцію та поверніть результати. Це має бути вихід .

Приклад

Візьмемо приклад, про який ми згадували раніше, тобто [1,-12,45,8].

• Вхід: [1,-12,45,8]
• Функція: x3 - 12x2 + 45x + 8
• Похідне -> 3x2 - 24x + 45 + 0 -> [3,-24,45]
• Розв’язуючи рівняння , отримуємо або .3x2 - 24x + 45 = 0x = 3x = 5
• Тепер покласти x = 3і x = 5в функції, ми отримуємо значення (62,58).
• Вихід -> [62,58]

Припущення

1. Припустимо, що всі вхідні коефіцієнти є цілими числами . Вони можуть бути в порядку збільшення чи зменшенні потужності.

2. Припустимо, що вхід є принаймні двочленним многочленом . Якщо у многочлена немає цілих розв’язків, ви можете повернути що завгодно.

3. Припустимо, що кінцевим результатом будуть лише цілі числа.

4. Ви можете надрукувати результати в будь-якому порядку. Ступінь введеного многочлена не повинна перевищувати 5, щоб ваш код міг обробляти його.

5. Вхід буде дійсним, щоб рішення x не були точками сідла.

Також ви не змушені це робити похідним методом. Ви можете використовувати будь-який метод, який вам подобається.

Зразок введення та виведення

[2,-8,0] -> (-8)
[2,3,-36,10] -> (91,-34)
[1,-8,22,-24,8] -> (-1,0,-1) 
[1,0,0] -> (0)

Оцінка балів

Це код-гольф, тому найкоротший код виграє.

Желе , 20 байт

ASŒRḅ@Ðḟ
J’U×µṖÇḅ@€³

Спробуйте в Інтернеті!

Пояснення

ASŒRḅ@Ðḟ     Helper Function; find all integer solutions to a polynomial
             All integer roots are within the symmetric range of the sum of the absolute values of the coefficients
A            Absolute Value (Of Each)
 S           Sum
  ŒR         Symmetric Range; `n -> [-n, n]`
      Ðḟ     Filter; keep elements where the result is falsy for:
    ḅ@       Base conversion, which acts like the application of the polynomial
J’U×µṖÇḅ@€³  Main Link
J                             Range of length
 ’                    Lowered
  U          Reversed
   ×         Multiplied with the original list (last value is 0)
    µ        Begin new monadic chain
     Ṗ       Pop; all but the last element
      Ç      Apply last link (get all integer solutions of the derivative)
       ḅ@€³  Base conversion of the polynomial into each of the solutions; apply polynomial to each solution of the derivative.

Функція помічника в цій програмі була взята з відповіді містера Xcoder тут, яка ґрунтувалася на відповіді Луїса тут

JavaScript (ES7), 129 120 байт

Бере коефіцієнти в порядку збільшення потужності.

a=>(g=x=>x+k?(A=g(x-1),h=e=>a.reduce((s,n,i)=>s+n*(e||i&&i--)*x**i,0))()?A:[h(1),...A]:[])(k=Math.max(...a.map(n=>n*n)))

Тестові справи

let f =

a=>(g=x=>x+k?(A=g(x-1),h=e=>a.reduce((s,n,i)=>s+n*(e||i&&i--)*x**i,0))()?A:[h(1),...A]:[])(k=Math.max(...a.map(n=>n*n)))

console.log(JSON.stringify(f([0,-8,2])))        // (-8)
console.log(JSON.stringify(f([10,-36,3,2])))    // (91,-34)
console.log(JSON.stringify(f([8,-24,22,-8,1]))) // (-1,0,-1) 

Прокоментував

a => (                        // given the input array a[]
  g = x =>                    // g = recursive function checking whether x is a solution
    x + k ? (                 //   if x != -k:
      A = g(x - 1),           //     A[] = result of a recursive call with x - 1
      h = e =>                //     h = function evaluating the polynomial:
        a.reduce((s, n, i) => //       for each coefficient n at position i:
          s +                 //         add to s
          n                   //         the coefficient multiplied by
          * (e || i && i--)   //         either 1 (if e = 1) or i (if e is undefined)
          * x**i,             //         multiplied by x**i or x**(i-1)
          0                   //         initial value of s
        )                     //       end of reduce()
      )() ?                   //     if h() is non-zero:
        A                     //       just return A[]
      :                       //     else:
        [h(1), ...A]          //       prepend h(1) to A[]
    :                         //   else:
      []                      //     stop recursion
  )(k = Math.max(             // initial call to g() with x = k = maximum of
    ...a.map(n => n * n)      // the squared coefficients of the polynomial
  ))                          // (Math.abs would be more efficient, but longer)

Джулія 0,6 (з Polynomialsпакетом), 57 байт

using Polynomials
x->map(Poly(x),roots(polyder(Poly(x))))

Спробуйте в Інтернеті!

Приймає коефіцієнти в порядку зростання, тобто перший вхід - це постійний термін.

Приклад виконання:

julia> using Polynomials

julia> g = x -> map(Poly(x), roots(polyder(Poly(x))))
(::#1) (generic function with 1 method)

julia> g([8,45,-12,1])
2-element Array{Float64,1}:
 58.0
 62.0

Java 8, 364 239 227 226 218 байт

a->{int l=a.length,A[]=a.clone(),s=0,i,r,f=l,p;for(;f>0;A[--f]*=f);for(int n:A)s+=n<0?-n:n;for(r=~s;r++<s;){for(p=0,i=f=1;i<l;f*=r)p+=A[i++]*f;if(p==0){for(f=i=0;i<l;f+=a[i++]*Math.pow(r,p++));System.out.println(f);}}}

Використовує таку ж функціональність з цієї моєї відповіді.

-8 байт завдяки @ OlivierGrégoire , приймаючи масив у зворотному порядку.

Пояснення:

Спробуйте в Інтернеті.

a->{                  // Method with integer-varargs parameter and integer return-type
  int l=a.length,     //  The length of the input-array
      A[]=a.clone(),  //  Copy of the input-array
      s=0,            //  Sum-integer, starting at 0
      i,              //  Index-integer
      r,              //  Range-integer
      f=l,            //  Factor-integer, starting at `l`
      p;              //  Polynomial-integer
  for(;f>0;           //  Loop over the copy-array
    A[--f]*=f);       //   And multiply each value with it's index
                      //   (i.e. [8,45,-12,1] becomes [0,45,-24,3])
  for(int n:A)        //  Loop over this copy-array:
    s+=n<0?-n:n;      //   And sum their absolute values
  for(r=~s;r++<s;){   //  Loop `r` from `-s` up to `s` (inclusive) (where `s` is the sum)
    for(p=0,          //   Reset `p` to 0
        i=f=1;        //   and `f` to 1
                      //   (`i` is 1 to skip the first item in the copy-array)
        i<l;          //   Inner loop over the input again, this time with index (`i`)
        f*=r)         //     After every iteration: multiply `f` with the current `r`
      p+=             //    Sum the Polynomial-integer `p` with:
         A[i++]       //     The value of the input at index `i`,
               *f;}   //     multiplied with the current factor `f`
    if(p==0){         //   If `p` is now 0:
      for(f=i=0;      //    Use `f` as sum, and reset it to 0
          i<l;        //    Loop over the input-array
        f+=a[i++]*Math.pow(r,p++));
                      //     Fill in `r` in the parts of the input-function
      System.out.println(f);}}}
                      //    And print the sum

Мова Вольфрама (Mathematica) , 30 байт

a@x/.#&/@Solve[a=#;#'@x==0,x]&

Приймає поліном з чистою функцією (тобто многочлен з # змінною і з a &в кінці).

Спробуйте в Інтернеті!

Хаскелл , 89 байт

-3 байти завдяки Лайконі.

r#l=foldr1((.(r*)).(+))l
r l|_:d<-zipWith(*)[0..]l,t<-sum$abs<$>d=[i#l|i<-[-t..t],i#d==0]

Спробуйте в Інтернеті!

Коефіцієнти приймає зворотний.

Пітон 3 , 156 байт

def f(p,E=enumerate):a=lambda p,v:sum(e*v**i for i,e in E(p));d=[e*i for i,e in E(p)][1:];r=sum(map(abs,d));return[a(p,x)for x in range(-r,r+1)if a(d,x)==0]

Спробуйте в Інтернеті!

-2 байта завдяки містеру Xcoder
-22 байти завдяки ов

Python + numpy, 91

• 1 байт збережено завдяки @KevinCruijssen

from numpy import*
p=poly1d(input())
print map(lambda x:int(polyval(p,x)),roots(p.deriv()))

Спробуйте в Інтернеті .

Парі / GP , 28 байт

p->[eval(p)|x<-polroots(p')]

Оцініть многочлен у коренях його похідної.

Спробуйте в Інтернеті!