Добре, я думаю, що саме час у нас є ще одне питання про гольф .

Цього разу ми збираємось довести загальновідому логічну правду

$(A \rightarrow B) \rightarrow (\neg B \rightarrow \neg A)$

Для цього ми скористаємось третьою схемою Аксіоми Юкасевича , неймовірно елегантною сукупністю з трьох аксіом, що є повною над логікою пропозицій .

Ось як це працює:

Аксіоми

Система Лукасевича має три аксіоми. Вони є:

$\phi\rightarrow(\psi\rightarrow\phi)$

$(\phi\rightarrow(\psi\rightarrow\chi))\rightarrow((\phi\rightarrow\psi)\rightarrow(\phi\rightarrow\chi))$

$(\neg\phi\rightarrow\neg\psi)\rightarrow(\psi\rightarrow\phi)$

Аксіоми - це універсальні істини незалежно від того, що ми обираємо для $\phi$ , $\psi$ та $\chi$ . У будь-який момент доказу ми можемо ввести одну з цих аксіом. Коли ми вводимо аксіому, ви замінюєте кожен випадок $\phi$ , $\psi$ і $\chi$ "складним виразом". Складним виразом є будь-який вираз, зроблений з Atoms (представлений літерами $A$ - $Z$ ), а оператори мають на увазі ( $\rightarrow$ ), а не ( $\neg$ ).

Наприклад, якби я хотів ввести першу аксіому (LS1), я міг би ввести

$A\rightarrow(B\rightarrow A)$

або

$(A\rightarrow A)\rightarrow(\neg D\rightarrow(A\rightarrow A))$

У першому випадку $\phi$ було $A$ а $\psi$ було $B$ , тоді як у другому випадку обидва були більше залученими виразами. $\phi$ був $(A\rightarrow A)$ і $\psi$ був $\neg D$ .

Які заміни ви вирішите використовувати, буде залежати від того, що вам потрібно в доказі на даний момент.

Modus Ponens

Тепер, коли ми можемо представити твердження, нам потрібно зв'язати їх разом, щоб зробити нові заяви. Так, як це робиться в схемі Аксіоми Лукасевіч (LS), відбувається з Modus Ponens. Modus Ponens дозволяє нам взяти два твердження форми

$\phi$

$\phi\rightarrow \psi$

і створити нове твердження

$\psi$

Так само, як і в наших аксіомах $\phi$ і $\psi$ може виступати за будь-яке довільне твердження.

Ці два твердження можуть бути в будь-якому місці підтвердження, вони не повинні бути поруч один з одним або будь-яким спеціальним замовленням.

Завдання

Вашим завданням буде довести закон протипоказань . Це твердження

$(A\rightarrow B)\rightarrow(\neg B\rightarrow\neg A)$

Тепер ви можете помітити, що це досить звично, це миттєвий зворотній бік нашої третьої аксіоми

$(\neg\phi\rightarrow\neg\psi)\rightarrow(\psi\rightarrow\phi)$

Однак це не тривіальний подвиг.

Оцінка балів

Оцінка за цей виклик досить проста, кожен раз, коли інстанціювання аксіома вважається точкою, і кожне використання modus ponens вважається точкою. Це по суті кількість рядків у вашому доказі. Мета повинна полягати в тому, щоб мінімізувати ваш рахунок (зробити його якомога нижчим).

Приклад підтвердження

Гаразд, давайте використовувати це для побудови невеликого доказу. Доведемо $A\rightarrow A$ .

Іноді найкраще працювати назад, оскільки ми знаємо, де хочемо бути, ми можемо зрозуміти, як ми можемо туди потрапити. У цьому випадку, оскільки ми хочемо закінчити з $A\rightarrow A$ і це не одна з наших аксіом, ми знаємо, що останнім кроком повинні бути modus ponens. Таким чином буде виглядати кінець нашого доказу

φ
φ → (A → A)
A → A       M.P.

TeX

Де $\phi$ - це вираз, для якого ми ще не знаємо значення. Тепер ми зупинимося на $\phi\rightarrow(A\rightarrow A)$ . Це може бути введено або modus ponens, або LS3. LS3 вимагає, щоб ми довели $(\neg A\rightarrow\neg A)$ що здається таким же важким, як $(A\rightarrow A)$ , тому ми підемо з modus ponens. Отже, тепер наше схоже виглядає

φ
ψ
ψ → (φ → (A → A))
φ → (A → A)        M.P.
A → A              M.P.

TeX

Тепер $\psi\rightarrow(\phi\rightarrow(A\rightarrow A))$ дуже схожий на нашу другу аксіому LS2, тому ми заповнимо її як LS2

A → χ
A → (χ → A)
(A → (χ → A)) → ((A → χ) → (A → A)) L.S.2
(A → χ) → (A → A)                   M.P.
A → A                               M.P.

TeX

Тепер наше друге твердження $(A\rightarrow(\chi\rightarrow A))$ може бути досить чітко побудовано з LS1, тому ми заповнимо це як таке

A → χ
A → (χ → A)                         L.S.1
(A → (χ → A)) → ((A → χ) → (A → A)) L.S.2
(A → χ) → (A → A)                   M.P.
A → A                               M.P.

TeX

Тепер нам просто потрібно знайти $\chi$ таке, що можемо довести $A\rightarrow\chi$ . Це дуже легко зробити з LS1, тому ми спробуємо це

A → (ω → A)                                     L.S.1
A → ((ω → A) → A)                               L.S.1
(A → ((ω → A) → A)) → ((A → (ω → A)) → (A → A)) L.S.2
(A → (ω → A)) → (A → A)                         M.P.
A → A                                           M.P.

TeX

Тепер, оскільки всі наші кроки наші виправдані, ми можемо заповнити $\omega$ , оскільки будь-яка заява, яку ми хочемо, і доказ буде дійсною. Ми могли б вибрати $A$ , але я буду вибирати $B$ так , щоб було ясно , що він не повинен бути .$A$

A → (B → A)                                     L.S.1
A → ((B → A) → A)                               L.S.1
(A → ((B → A) → A)) → ((A → (B → A)) → (A → A)) L.S.2
(A → (B → A)) → (A → A)                         M.P.
A → A                                           M.P.

TeX

Спробуйте в Інтернеті!

І це є доказом.

Ресурси

Програма верифікації

Ось програма Prolog, за допомогою якої ви можете перевірити, чи є ваш доказ дійсним. Кожен крок повинен бути розміщений у власному рядку. ->повинно використовуватися для припущень і -повинно використовуватися для ні, атоми можуть бути представлені будь-яким рядком алфавітних символів.

Метамат

Metamath використовує систему Łukasiewicz для своїх доказів в обчисленні пропозицій, тож ви можете трохи поскакати там. Вони також мають доказ теореми, яку вимагає ця проблема, яку можна знайти тут . Існує пояснення тут про те , як читати коректуру.

Неймовірна доказова машина

@ Антоній дав мені знати про інструмент під назвою Машина неймовірного доказування, яка дозволяє будувати докази в багатьох системах, використовуючи хорошу графічну систему підтвердження. Якщо прокрутити вниз, ви побачите, що вони підтримують систему Łukasiewicz. Тож якщо ви більш зорово орієнтована людина, ви можете працювати над своїм доказом. Вашим балом буде кількість використаних блоків мінус 1.

88 82 77 72 сходинки

Завдяки H.PWiz за кращі перетворення комбінаторів, які зберегли 10 кроків!

Пояснення

Можливо, вам знайоме листування Кері-Говарда , в якому теореми відповідають типам, а докази - програмами цих типів. Перші дві аксіоми в системі Лукасевіч є насправді комбінаторами K і S , і добре відомо, що ми можемо перевести вирази обчислення лямбда в комбінаційні вирази СК.

Тож давайте запишемо деякі вирази, що відповідають нашим аксіомам (наступним є дійсний синтаксис Haskell, що зручно, оскільки ми можемо буквально перевірити наші докази за допомогою компілятора Haskell):

data Not φ

k :: φ -> (ψ -> φ)
k x _ = x

s :: (φ -> (ψ -> χ)) -> ((φ -> ψ) -> (φ -> χ))
s x y z = x z (y z)

c :: (Not φ -> Not ψ) -> (ψ -> φ)
c = error "non-computational axiom"

Тоді ми можемо написати доказ бажаного твердження як програми з точки зору c(ця частина вимагає трохи кмітливості, але набагато простіше написати це, ніж 72-рядковий аксіоматичний доказ):

pf :: (a -> b) -> (Not b -> Not a)
pf x y = c (\z -> c (\_ -> y) (x (c (c (\_ -> z)) x))) k

і перетворити його в комбінаційний вираз SK:

pf' :: (a -> b) -> (Not b -> Not a)
pf' =
  s (k (s (k (s c (k k)))))
    (s (k (s (s (k s) (s (k k) (s (k c) k)))))
       (s (k k) (s (k (s s (s (s (k c) (s (k c) k))))) k)))

Наведені вище 17 k, 16 sта 4 cкомбінаторів відповідають викликам 16 LS1, 16 LS2 та 4 LS3 у наведеному нижче доказі, а 38 застосувань функції до значення вище відповідає 38 викликам 38 МП нижче.

Чому лише 16 викликів LS1? Виявляється, один із kкомбінаторів, що є вище, має змінну вільного типу, і його інстанціювання ретельно перетворює на копію іншої, яка вже була отримана.

Доказ

1. (A → B) → (¬¬A → (A → B)) LS1
2. ¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A) LS1
3. (¬¬ (A → B) → ¬¬A) → (¬A → ¬ (A → B)) LS3
4. ((¬¬ (A → B) → ¬¬A) → (¬A → ¬ (A → B))) → (¬¬A → ((¬¬ (A → B) → ¬¬A) → (¬ A → ¬ (A → B)))) LS1
5. ¬¬A → ((¬¬ (A → B) → ¬¬A) → (¬A → ¬ (A → B))) MP 4,3
6. (¬¬A → ((¬¬ (A → B) → ¬¬A) → (¬A → ¬ (A → B))) → ((¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬ ¬A)) → (¬¬A → (¬A → ¬ (A → B)))) LS2
7. (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A)) → (¬¬A → (¬A → ¬ (A → B))) MP 6,5
8. ¬¬A → (¬A → ¬ (A → B)) MP 7,2
9. (¬A → ¬ (A → B)) → ((A → B) → A) LS3
10. ((¬A → ¬ (A → B)) → ((A → B) → A)) → (¬¬A → ((¬A → ¬ (A → B)) → ((A → B) → A ))) LS1
11. ¬¬A → ((¬A → ¬ (A → B)) → ((A → B) → A)) MP 10,9
12. (¬¬A → ((¬A → ¬ (A → B)) → ((A → B) → A))) → ((¬¬A → (¬A → ¬ (A → B))) → ( ¬¬A → ((A → B) → A))) LS2
13. (¬¬A → (¬A → ¬ (A → B))) → (¬A → ((A → B) → A)) MP 12,11
14. ¬¬A → ((A → B) → A) MP 13,8
15. (¬¬A → ((A → B) → A)) → ((¬¬A → (A → B)) → (¬¬A → A)) LS2
16. (¬¬A → (A → B)) → (¬¬A → A) MP 15,14
17. (¬¬A → (A → B)) → ((¬¬A → A) → (¬¬A → B)) LS2
18. ((¬¬A → (A → B)) → ((¬¬A → A) → (¬¬A → B))) → (((¬¬A → (A → B)) → (¬¬A → A)) → ((¬¬A → (A → B)) → (¬¬A → B))) LS2
19. ((¬¬A → (A → B)) → (¬¬A → A)) → ((¬¬A → (A → B)) → (¬¬A → B)) MP 18,17
20. (¬¬A → (A → B)) → (¬¬A → B) MP 19,16
21. ((¬¬A → (A → B)) → (¬¬A → B)) → ((A → B) → ((¬¬A → (A → B)) → (¬¬A → B)) ) LS1
22. (A → B) → ((¬¬A → (A → B)) → (¬¬A → B)) MP 21,20
23. ((A → B) → ((¬¬A → (A → B)) → (¬¬A → B))) → (((A → B) → (¬¬A → (A → B))) → ((A → B) → (¬¬A → B))) LS2
24. ((A → B) → (¬¬A → (A → B))) → ((A → B) → (¬¬A → B)) MP 23,22
25. (A → B) → (¬¬A → B) MP 24,1
26. (¬¬A → B) → (¬B → (¬¬A → B)) LS1
27. ((¬¬A → B) → (¬B → (¬¬A → B))) → ((A → B) → ((¬¬A → B) → (¬B → (¬¬A → B) ))) LS1
28. (A → B) → ((¬¬A → B) → (¬B → (¬¬A → B))) MP 27,26
29. ((A → B) → ((¬¬A → B) → (¬B → (¬¬A → B)))) → (((A → B) → (¬¬A → B)) → (( A → B) → (¬B → (¬¬A → B)))) LS2
30. ((A → B) → (¬¬A → B)) → ((A → B) → (¬B → (¬¬A → B)) MP 29,28
31. (A → B) → (¬B → (¬¬A → B)) MP 30,25
32. ¬B → (¬¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A)) → ¬B) LS1
33. (¬¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A)) → ¬B) → (B → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A)) ) LS3
34. ((¬¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A)) → ¬B) → (B → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A) ))) → (¬B → ((¬¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A)) → ¬B) → (B → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A))))) LS1
35. ¬B → ((¬¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A)) → ¬B) → (B → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬ ¬A)))) MP 34,33
36. (¬B → ((¬¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A)) → ¬B) → (B → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A))))) → ((¬B → (¬¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A)) → ¬B)) → (¬B → (B → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A))))) LS2
37. (¬B → (¬¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A)) → ¬B)) → (¬B → (B → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → В) → ¬¬А)))) МП 36,35
38. ¬B → (B → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A))) MP 37,32
39. (B → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A))) → (¬¬A → (B → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬ А)))) LS1
40. ((B → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A))) → (¬¬A → (B → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬ ¬A))))) → (¬B → ((B → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A))) → (¬¬A → (B → ¬ (¬¬ A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A)))))) LS1
41. ¬B → ((B → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A))) → (¬¬A → (B → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) ) → ¬¬А))))) МП 40,39
42. (¬B → ((B → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A))) → (¬¬A → (B → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A)))))) → ((¬B → (B → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A)))) → (¬B → (¬ ¬A → (B → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A)))))) LS2
43. (¬B → (B → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A)))) → (¬B → (¬¬A → (B → ¬ (¬¬A → (¬ ¬ (A → B) → ¬¬A))))) MP 42,41
44. ¬B → (¬¬A → (B → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A)))) MP 43,38
45. (¬¬A → (B → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A)))) → ((¬¬A → B) → (¬¬A → ¬ (¬¬AA → (¬¬ (A → B) → ¬¬A)))) LS2
46. ((¬¬A → (B → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A)))) → ((¬¬A → B) → (¬¬A → ¬ (¬¬ A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A))))) (¬B → ((¬¬A → (B → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬ A)))) → ((¬¬A → B) → (¬¬A → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A)))))) LS1
47. ¬B → ((¬¬A → (B → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A)))) → ((¬¬A → B) → (¬¬A → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A))))) MP 46,45
48. (¬B → ((¬¬A → (B → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A)))) → ((¬¬A → B) → (¬¬A → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A)))))) → ((¬B → (¬¬A → (B → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A))))) → (¬B → ((¬¬A → B) → (¬¬A → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A)) )))) LS2
49. (¬B → (¬¬A → (B → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A))))) → (¬B → ((¬¬A → B) → ( ¬¬A → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A))))) MP 48,47
50. ¬B → ((¬¬A → B) → (¬¬A → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A)))) MP 49,44
51. (¬B → ((¬¬A → B) → (¬¬A → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A))))) → ((¬B → (¬¬ A → B)) → (¬B → (¬¬A → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A))))) LS2
52. (¬B → (¬¬A → B)) → (¬B → (¬¬A → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A)))) MP 51,50
53. ((¬B → (¬¬A → B)) → (¬B → (¬¬A → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A))))) → ((A → B) → ((¬B → (¬¬A → B)) → (¬B → (¬¬A → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A))))) ) LS1
54. (A → B) → ((¬B → (¬¬A → B)) → (¬B → (¬¬A → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A))) )) МП 53,52
55. ((A → B) → ((¬B → (¬¬A → B)) → (¬B → (¬¬A → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A)) )))) → (((A → B) → (¬B → (¬¬A → B))) → ((A → B) → (¬B → (¬¬A → ¬ (¬¬A → ( ¬¬ (A → B) → ¬¬A)))))) LS2
56. ((A → B) → (¬B → (¬¬A → B))) → ((A → B) → (¬B → (¬¬A → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) ) → ¬¬А))))) МП 55,54
57. (A → B) → (¬B → (¬¬A → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A)))) MP 56,31
58. (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A)) → ((¬¬A → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A)) → → (¬ ¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A))) LS1
59. (¬¬A → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A))) → (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A)) MP 58,2
60. (¬¬A → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A))) → ((¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A)) → ¬A ) LS3
61. ((¬¬A → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A))) → ((¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A)) → ¬ A)) → (((¬¬A → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A))) → (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A ))) → ((¬¬A → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A))) ¬A)) LS2
62. ((¬¬A → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A))) → (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A))) → ( (¬¬A → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A))) → ¬A) MP 61,60
63. (¬¬A → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A))) → ¬A MP 62,59
64. ((¬¬A → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A))) → ¬A) → (¬B → ((¬¬A → ¬ (¬¬A → (¬ ¬ (A → B) → ¬¬A))) → ¬A)) LS1
65. ¬B → ((¬¬A → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A))) → ¬A) MP 64,63
66. (¬B → ((¬¬A → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A))) ¬A)) → ((¬B → (¬¬A → ¬ (¬ ¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A)))) → (¬B → ¬A)) LS2
67. (¬B → (¬¬A → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A)))) → (¬B → ¬A) MP 66,65
68. ((¬B → (¬¬A → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A))) → (¬B → ¬A)) → ((A → B) → ( (¬B → (¬¬A → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A))) → (¬B → ¬A))) LS1
69. (A → B) → ((¬B → (¬¬A → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A)))) → (¬B → ¬A)) MP 68, 67
70. ((A → B) → ((¬B → (¬¬A → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A)))) → (¬B → ¬A))) → (((A → B) → (¬B → (¬¬A → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A))))) → ((A → B) → (¬ B → ¬A))) LS2
71. ((A → B) → (¬B → (¬¬A → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A))))) → ((A → B) → (¬B → ¬A)) MP 70,69
72. (A → B) → (¬B → ¬A) MP 71,57

Спробуйте в Інтернеті!

91 кроки

Повне підтвердження:

1. (A → B) → (¬¬A → (A → B)) LS1
2. (¬¬A → (A → B)) → ((¬¬A → A) → (¬¬A → B)) LS2
3. ((¬¬A → (A → B)) → ((¬¬A → A) → (¬¬A → B))) → ((A → B) → ((¬¬A → (A → B)) → ((¬¬A → A) → (¬¬A → B)))) LS1
4. (A → B) → ((¬¬A → (A → B)) → ((¬¬A → A) → (¬¬A → B))) MP 3,2
5. ((A → B) → ((¬¬A → (A → B)) → ((¬¬A → A) → (¬¬A → B)))) → (((A → B) → (¬¬A → (A → B))) → ((A → B) → ((¬¬A → A) → (¬¬A → B)))) LS2
6. ((A → B) → (¬¬A → (A → B))) → ((A → B) → ((¬¬A → A) → (¬¬A → B))) MP 5,4
7. (A → B) → ((¬¬A → A) → (¬¬A → B)) MP 6,1
8. ¬A → (¬¬(B → (¬A → A)) → ¬A) LS1
9. (¬¬(B → (¬A → A)) → ¬A) → (A → ¬(B → (¬A → A))) LS3
10. ((¬¬(B → (¬A → A)) → ¬A) → (A → ¬(B → (¬A → A)))) → (¬A → ((¬¬(B → (¬A → A)) → ¬A) → (A → ¬(B → (¬A → A))))) LS1
11. ¬A → ((¬¬(B → (¬A → A)) → ¬A) → (A → ¬(B → (¬A → A)))) MP 10,9
12. (¬A → ((¬¬(B → (¬A → A)) → ¬A) → (A → ¬(B → (¬A → A))))) → ((¬A → (¬¬(B → (¬A → A)) → ¬A)) → (¬A → (A → ¬(B → (¬A → A))))) LS2
13. (¬A → (¬¬(B → (¬A → A)) → ¬A)) → (¬A → (A → ¬(B → (¬A → A)))) MP 12,11
14. ¬A → (A → ¬(B → (¬A → A))) MP 13,8
15. (¬A → (A → ¬(B → (¬A → A)))) → ((¬A → A) → (¬A → ¬(B → (¬A → A)))) LS2
16. (¬A → A) → (¬A → ¬(B → (¬A → A))) MP 15,14
17. (¬A → ¬(B → (¬A → A))) → ((B → (¬A → A)) → A) LS3
18. ((¬A → ¬(B → (¬A → A))) → ((B → (¬A → A)) → A)) → ((¬A → A) → ((¬A → ¬(B → (¬A → A))) → ((B → (¬A → A)) → A))) LS1
19. (¬A → A) → ((¬A → ¬(B → (¬A → A))) → ((B → (¬A → A)) → A)) MP 18,17
20. ((¬A → A) → ((¬A → ¬(B → (¬A → A))) → ((B → (¬A → A)) → A))) → (((¬A → A) → (¬A → ¬(B → (¬A → A)))) → ((¬A → A) → ((B → (¬A → A)) → A))) LS2
21. ((¬A → A) → (¬A → ¬(B → (¬A → A)))) → ((¬A → A) → ((B → (¬A → A)) → A)) MP 20,19
22. (¬A → A) → ((B → (¬A → A)) → A) MP 21,16
23. (¬A → A) → (B → (¬A → A)) LS1
24. ((¬A → A) → ((B → (¬A → A)) → A)) → (((¬A → A) → (B → (¬A → A))) → ((¬A → A) → A)) LS2
25. ((¬A → A) → (B → (¬A → A))) → ((¬A → A) → A) MP 24,22
26. (¬A → A) → A MP 25,23
27. ¬¬A → (¬A → ¬¬A) LS1
28. (¬A → ¬¬A) → (¬A → A) LS3
29. ((¬A → ¬¬A) → (¬A → A)) → (¬¬A → ((¬A → ¬¬A) → (¬A → A))) LS1
30. ¬¬A → ((¬A → ¬¬A) → (¬A → A)) MP 29,28
31. (¬¬A → ((¬A → ¬¬A) → (¬A → A))) → ((¬¬A → (¬A → ¬¬A)) → (¬¬A → (¬A → A))) LS2
32. (¬¬A → (¬A → ¬¬A)) → (¬¬A → (¬A → A)) MP 31,30
33. ¬¬A → (¬A → A) MP 32,27
34. ((¬A → A) → A) → (¬¬A → ((¬A → A) → A)) LS1
35. ¬¬A → ((¬A → A) → A) MP 34,26
36. (¬¬A → ((¬A → A) → A)) → ((¬¬A → (¬A → A)) → (¬¬A → A)) LS2
37. (¬¬A → (¬A → A)) → (¬¬A → A) MP 36,35
38. ¬¬A → A MP 37,33
39. (¬¬A → A) → ((A → B) → (¬¬A → A)) LS1
40. (A → B) → (¬¬A → A) MP 39,38
41. ((A → B) → ((¬¬A → A) → (¬¬A → B))) → (((A → B) → (¬¬A → A)) → ((A → B) → (¬¬A → B))) LS2
42. ((A → B) → (¬¬A → A)) → ((A → B) → (¬¬A → B)) MP 41,7
43. (A → B) → (¬¬A → B) MP 42,40
44. ¬¬B → (¬¬(B → (¬¬B → ¬B)) → ¬¬B) LS1
45. (¬¬(B → (¬¬B → ¬B)) → ¬¬B) → (¬B → ¬(B → (¬¬B → ¬B))) LS3
46. ((¬¬(B → (¬¬B → ¬B)) → ¬¬B) → (¬B → ¬(B → (¬¬B → ¬B)))) → (¬¬B → ((¬¬(B → (¬¬B → ¬B)) → ¬¬B) → (¬B → ¬(B → (¬¬B → ¬B))))) LS1
47. ¬¬B → ((¬¬(B → (¬¬B → ¬B)) → ¬¬B) → (¬B → ¬(B → (¬¬B → ¬B)))) MP 46,45
48. (¬¬B → ((¬¬(B → (¬¬B → ¬B)) → ¬¬B) → (¬B → ¬(B → (¬¬B → ¬B))))) → ((¬¬B → (¬¬(B → (¬¬B → ¬B)) → ¬¬B)) → (¬¬B → (¬B → ¬(B → (¬¬B → ¬B))))) LS2
49. (¬¬B → (¬¬(B → (¬¬B → ¬B)) → ¬¬B)) → (¬¬B → (¬B → ¬(B → (¬¬B → ¬B)))) MP 48,47
50. ¬¬B → (¬B → ¬(B → (¬¬B → ¬B))) MP 49,44
51. (¬¬B → (¬B → ¬(B → (¬¬B → ¬B)))) → ((¬¬B → ¬B) → (¬¬B → ¬(B → (¬¬B → ¬B)))) LS2
52. (¬¬B → ¬B) → (¬¬B → ¬(B → (¬¬B → ¬B))) MP 51,50
53. (¬¬B → ¬(B → (¬¬B → ¬B))) → ((B → (¬¬B → ¬B)) → ¬B) LS3
54. ((¬¬B → ¬(B → (¬¬B → ¬B))) → ((B → (¬¬B → ¬B)) → ¬B)) → ((¬¬B → ¬B) → ((¬¬B → ¬(B → (¬¬B → ¬B))) → ((B → (¬¬B → ¬B)) → ¬B))) LS1
55. (¬¬B → ¬B) → ((¬¬B → ¬(B → (¬¬B → ¬B))) → ((B → (¬¬B → ¬B)) → ¬B)) MP 54,53
56. ((¬¬B → ¬B) → ((¬¬B → ¬(B → (¬¬B → ¬B))) → ((B → (¬¬B → ¬B)) → ¬B))) → (((¬¬B → ¬B) → (¬¬B → ¬(B → (¬¬B → ¬B)))) → ((¬¬B → ¬B) → ((B → (¬¬B → ¬B)) → ¬B))) LS2
57. ((¬¬B → ¬B) → (¬¬B → ¬(B → (¬¬B → ¬B)))) → ((¬¬B → ¬B) → ((B → (¬¬B → ¬B)) → ¬B)) MP 56,55
58. (¬¬B → ¬B) → ((B → (¬¬B → ¬B)) → ¬B) MP 57,52
59. (¬¬B → ¬B) → (B → (¬¬B → ¬B)) LS1
60. ((¬¬B → ¬B) → ((B → (¬¬B → ¬B)) → ¬B)) → (((¬¬B → ¬B) → (B → (¬¬B → ¬B))) → ((¬¬B → ¬B) → ¬B)) LS2
61. ((¬¬B → ¬B) → (B → (¬¬B → ¬B))) → ((¬¬B → ¬B) → ¬B) MP 60,58
62. (¬¬B → ¬B) → ¬B MP 61,59
63. ¬¬¬B → (¬¬B → ¬¬¬B) LS1
64. (¬¬B → ¬¬¬B) → (¬¬B → ¬B) LS3
65. ((¬¬B → ¬¬¬B) → (¬¬B → ¬B)) → (¬¬¬B → ((¬¬B → ¬¬¬B) → (¬¬B → ¬B))) LS1
66. ¬¬¬B → ((¬¬B → ¬¬¬B) → (¬¬B → ¬B)) MP 65,64
67. (¬¬¬B → ((¬¬B → ¬¬¬B) → (¬¬B → ¬B))) → ((¬¬¬B → (¬¬B → ¬¬¬B)) → (¬¬¬B → (¬¬B → ¬B))) LS2
68. (¬¬¬B → (¬¬B → ¬¬¬B)) → (¬¬¬B → (¬¬B → ¬B)) MP 67,66
69. ¬¬¬B → (¬¬B → ¬B) MP 68,63
70. ((¬¬B → ¬B) → ¬B) → (¬¬¬B → ((¬¬B → ¬B) → ¬B)) LS1
71. ¬¬¬B → ((¬¬B → ¬B) → ¬B) MP 70,62
72. (¬¬¬B → ((¬¬B → ¬B) → ¬B)) → ((¬¬¬B → (¬¬B → ¬B)) → (¬¬¬B → ¬B)) LS2
73. (¬¬¬B → (¬¬B → ¬B)) → (¬¬¬B → ¬B) MP 72,71
74. ¬¬¬B → ¬B MP 73,69
75. (¬¬¬B → ¬B) → (B → ¬¬B) LS3
76. B → ¬¬B MP 75,74
77. (B → ¬¬B) → (¬¬A → (B → ¬¬B)) LS1
78. ¬¬A → (B → ¬¬B) MP 77,76
79. (¬¬A → (B → ¬¬B)) → ((¬¬A → B) → (¬¬A → ¬¬B)) LS2
80. (¬¬A → B) → (¬¬A → ¬¬B) MP 79,78
81. ((¬¬A → B) → (¬¬A → ¬¬B)) → ((A → B) → ((¬¬A → B) → (¬¬A → ¬¬B))) LS1
82. (A → B) → ((¬¬A → B) → (¬¬A → ¬¬B)) MP 81,80
83. ((A → B) → ((¬¬A → B) → (¬¬A → ¬¬B))) → (((A → B) → (¬¬A → B)) → ((A → B) → (¬¬A → ¬¬B))) LS2
84. ((A → B) → (¬¬A → B)) → ((A → B) → (¬¬A → ¬¬B)) MP 83,82
85. (A → B) → (¬¬A → ¬¬B) MP 84,43
86. (¬¬A → ¬¬B) → (¬B → ¬A) LS3
87. ((¬¬A → ¬¬B) → (¬B → ¬A)) → ((A → B) → ((¬¬A → ¬¬B) → (¬B → ¬A))) LS1
88. (A → B) → ((¬¬A → ¬¬B) → (¬B → ¬A)) MP 87,86
89. ((A → B) → ((¬¬A → ¬¬B) → (¬B → ¬A))) → (((A → B) → (¬¬A → ¬¬B)) → ((A → B) → (¬B → ¬A))) LS2
90. ((A → B) → (¬¬A → ¬¬B)) → ((A → B) → (¬B → ¬A)) MP 89,88
91. (A → B) → (¬B → ¬A) MP 90,85

Спробуйте в Інтернеті!

Більш прочитана людиною версія з використанням 5 лем:

Lemma 1: From A → B and B → C, instantiate A → C. (5 steps)

1. B → C                                         given
2. (B → C) → (A → (B → C))                       L.S.1
3. A → (B → C)                                   M.P. (1,2)
4. (A → (B → C)) → ((A → B) → (A → C))           L.S.2
5. (A → B) → (A → C)                             M.P. (3,4)
6. A → B                                         given
7. A → C                                         M.P. (6,5)

Lemma 2: ¬A → (A → B) (7 steps)

1. ¬A → (¬B → ¬A)                                L.S.1
2. (¬B → ¬A) → (A → B)                           L.S.3
3. ¬A → (A → B)                                  Lemma 1 (1,2)

Lemma 3: From A → (B → C) and A → B, instantiate A → C. (3 steps)

1. A → (B → C)                                   given
2. (A → (B → C)) → ((A → B) → (A → C))           L.S.2
3. (A → B) → (A → C)                             M.P. (1,2)
4. A → B                                         given
5. A → C                                         M.P. (4,3)

Lemma 4: ¬¬A → A (31 steps)

1. ¬A → (A → ¬(B → (¬A → A)))                    Lemma 2
2. (¬A → (A → ¬(B → (¬A → A)))) → 
   ((¬A → A) → (¬A → ¬(B → (¬A → A))))           L.S.2
3. (¬A → A) → (¬A → ¬(B → (¬A → A)))             M.P. (1,2)
4. (¬A → ¬(B → (¬A → A))) →((B → (¬A → A)) → A)  L.S.3
5. (¬A → A) → ((B → (¬A → A)) → A)               Lemma 1 (3,4)
6. (¬A → A) → (B → (¬A → A))                     L.S.1
7. (¬A → A) → A                                  Lemma 3 (5,6)
8. ¬¬A → (¬A → A)                                Lemma 2
9. ¬¬A → A                                       Lemma 1 (8,7)

Lemma 5: (A → B) → (¬¬A → B) (43 steps)

1. (A → B) → (¬¬A → (A → B))                     L.S.1
2. (¬¬A → (A → B)) → ((¬¬A → A) → (¬¬A → B))     L.S.2
3. (A → B) → ((¬¬A → A) → (¬¬A → B))             Lemma 1 (1,2)
4. ¬¬A → A                                       Lemma 4
5. (¬¬A → A) → ((A → B) → (¬¬A → A))             L.S.1
6. (A → B) → (¬¬A → A)                           M.P. (4,5)
7. (A → B) → (¬¬A → B)                           Lemma 3 (3,6)

Theorem: (A → B) → (¬B → ¬A)

1. (A → B) → (¬¬A → B)                           Lemma 5
2. ¬¬¬B → ¬B                                     Lemma 4
3. (¬¬¬B → ¬B) → (B → ¬¬B)                       L.S.3
4. B → ¬¬B                                       M.P. (2,3)
5. (B → ¬¬B) → (¬¬A → (B → ¬¬B))                 L.S.1
6. ¬¬A → (B → ¬¬B)                               M.P. (4,5)
7. (¬¬A → (B → ¬¬B)) → ((¬¬A → B) → (¬¬A → ¬¬B)) L.S.2
8. (¬¬A → B) → (¬¬A → ¬¬B)                       M.P. (6,7)
9. (A → B) → (¬¬A → ¬¬B)                         Lemma 1 (1,8)
10.(¬¬A → ¬¬B) → (¬B → ¬A)                       L.S.3
11.(A → B) → (¬B → ¬A)                           Lemma 1 (9,10)

59 кроків

Норман Мегілл, автор Metamath, розповів мені про доказ 59, який я збираюся опублікувати тут, у цій вікі спільноти. Оригінал можна знайти в теоремі 2.16 на цій сторінці.

http://us.metamath.org/mmsolitaire/pmproofs.txt

Норма каже: Ця сторінка доставить вам безліч проблем!

Ось доказ

((P -> Q) -> (~ Q -> ~ P)); ! *2.16
((P -> Q) -> (~ Q -> ~ P)); ! Result of proof
DD2D1DD2D13DD2D1DD22D2DD2D13DD2D1311D2D1D3DD2DD2D13DD2D1311
; ! 59 steps

Доказ є в польській нотації, тому він починається від висновку і продовжується назад, поки кожен термін не буде задоволений аксіомою. Відображення символів таке: «1» - аксіома LS, «2» - аксіома LS, «3» - аксіома 3 LS, а «D» - Modus Ponens.

Ось доказ у запропонованому форматі @ WW

01 ax-1          $a |- ( ¬ ¬ ¬ B → ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) )
02 ax-1          $a |- ( ¬ ¬ ¬ B → ( ¬ ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) → ¬ ¬ ¬ B ) )
03 ax-3          $a |- ( ( ¬ ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) → ¬ ¬ ¬ B ) → ( ¬ ¬ B → ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) ) )
04 ax-1          $a |- ( ( ( ¬ ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) → ¬ ¬ ¬ B ) → ( ¬ ¬ B → ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) ) ) → ( ¬ ¬ ¬ B → ( ( ¬ ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) → ¬ ¬ ¬ B ) → ( ¬ ¬ B → ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) ) ) ) )
05 3,4 ax-mp     $a |- ( ¬ ¬ ¬ B → ( ( ¬ ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) → ¬ ¬ ¬ B ) → ( ¬ ¬ B → ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) ) ) )
06 ax-2          $a |- ( ( ¬ ¬ ¬ B → ( ( ¬ ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) → ¬ ¬ ¬ B ) → ( ¬ ¬ B → ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) ) ) ) → ( ( ¬ ¬ ¬ B → ( ¬ ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) → ¬ ¬ ¬ B ) ) → ( ¬ ¬ ¬ B → ( ¬ ¬ B → ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) ) ) ) )
07 5,6 ax-mp     $a |- ( ( ¬ ¬ ¬ B → ( ¬ ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) → ¬ ¬ ¬ B ) ) → ( ¬ ¬ ¬ B → ( ¬ ¬ B → ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) ) ) )
08 2,7 ax-mp     $a |- ( ¬ ¬ ¬ B → ( ¬ ¬ B → ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) ) )
09 ax-3          $a |- ( ( ¬ ¬ B → ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) ) → ( ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) → ¬ B ) )
10 ax-1          $a |- ( ( ( ¬ ¬ B → ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) ) → ( ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) → ¬ B ) ) → ( ¬ ¬ ¬ B → ( ( ¬ ¬ B → ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) ) → ( ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) → ¬ B ) ) ) )
11 9,10 ax-mp    $a |- ( ¬ ¬ ¬ B → ( ( ¬ ¬ B → ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) ) → ( ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) → ¬ B ) ) )
12 ax-2          $a |- ( ( ¬ ¬ ¬ B → ( ( ¬ ¬ B → ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) ) → ( ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) → ¬ B ) ) ) → ( ( ¬ ¬ ¬ B → ( ¬ ¬ B → ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) ) ) → ( ¬ ¬ ¬ B → ( ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) → ¬ B ) ) ) )
13 11,12 ax-mp   $a |- ( ( ¬ ¬ ¬ B → ( ¬ ¬ B → ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) ) ) → ( ¬ ¬ ¬ B → ( ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) → ¬ B ) ) )
14 8,13 ax-mp    $a |- ( ¬ ¬ ¬ B → ( ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) → ¬ B ) )
15 ax-2          $a |- ( ( ¬ ¬ ¬ B → ( ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) → ¬ B ) ) → ( ( ¬ ¬ ¬ B → ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) ) → ( ¬ ¬ ¬ B → ¬ B ) ) )
16 14,15 ax-mp   $a |- ( ( ¬ ¬ ¬ B → ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) ) → ( ¬ ¬ ¬ B → ¬ B ) )
17 1,16 ax-mp    $a |- ( ¬ ¬ ¬ B → ¬ B )
18 ax-3          $a |- ( ( ¬ ¬ ¬ B → ¬ B ) → ( B → ¬ ¬ B ) )
19 17,18 ax-mp   $a |- ( B → ¬ ¬ B )
20 ax-1          $a |- ( ( B → ¬ ¬ B ) → ( A → ( B → ¬ ¬ B ) ) )
21 19,20 ax-mp   $a |- ( A → ( B → ¬ ¬ B ) )
22 ax-2          $a |- ( ( A → ( B → ¬ ¬ B ) ) → ( ( A → B ) → ( A → ¬ ¬ B ) ) )
23 21,22 ax-mp   $a |- ( ( A → B ) → ( A → ¬ ¬ B ) )
24 ax-1          $a |- ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ ¬ A → ( A → ¬ ¬ B ) ) )
25 ax-1          $a |- ( ¬ ¬ A → ( ¬ ¬ ( A → ¬ ¬ B ) → ¬ ¬ A ) )
26 ax-3          $a |- ( ( ¬ ¬ ( A → ¬ ¬ B ) → ¬ ¬ A ) → ( ¬ A → ¬ ( A → ¬ ¬ B ) ) )
27 ax-1          $a |- ( ( ( ¬ ¬ ( A → ¬ ¬ B ) → ¬ ¬ A ) → ( ¬ A → ¬ ( A → ¬ ¬ B ) ) ) → ( ¬ ¬ A → ( ( ¬ ¬ ( A → ¬ ¬ B ) → ¬ ¬ A ) → ( ¬ A → ¬ ( A → ¬ ¬ B ) ) ) ) )
28 26,27 ax-mp   $a |- ( ¬ ¬ A → ( ( ¬ ¬ ( A → ¬ ¬ B ) → ¬ ¬ A ) → ( ¬ A → ¬ ( A → ¬ ¬ B ) ) ) )
29 ax-2          $a |- ( ( ¬ ¬ A → ( ( ¬ ¬ ( A → ¬ ¬ B ) → ¬ ¬ A ) → ( ¬ A → ¬ ( A → ¬ ¬ B ) ) ) ) → ( ( ¬ ¬ A → ( ¬ ¬ ( A → ¬ ¬ B ) → ¬ ¬ A ) ) → ( ¬ ¬ A → ( ¬ A → ¬ ( A → ¬ ¬ B ) ) ) ) )
30 28,29 ax-mp   $a |- ( ( ¬ ¬ A → ( ¬ ¬ ( A → ¬ ¬ B ) → ¬ ¬ A ) ) → ( ¬ ¬ A → ( ¬ A → ¬ ( A → ¬ ¬ B ) ) ) )
31 25,30 ax-mp   $a |- ( ¬ ¬ A → ( ¬ A → ¬ ( A → ¬ ¬ B ) ) )
32 ax-3          $a |- ( ( ¬ A → ¬ ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ( A → ¬ ¬ B ) → A ) )
33 ax-1          $a |- ( ( ( ¬ A → ¬ ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ( A → ¬ ¬ B ) → A ) ) → ( ¬ ¬ A → ( ( ¬ A → ¬ ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ( A → ¬ ¬ B ) → A ) ) ) )
34 32,33 ax-mp   $a |- ( ¬ ¬ A → ( ( ¬ A → ¬ ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ( A → ¬ ¬ B ) → A ) ) )
35 ax-2          $a |- ( ( ¬ ¬ A → ( ( ¬ A → ¬ ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ( A → ¬ ¬ B ) → A ) ) ) → ( ( ¬ ¬ A → ( ¬ A → ¬ ( A → ¬ ¬ B ) ) ) → ( ¬ ¬ A → ( ( A → ¬ ¬ B ) → A ) ) ) )
36 34,35 ax-mp   $a |- ( ( ¬ ¬ A → ( ¬ A → ¬ ( A → ¬ ¬ B ) ) ) → ( ¬ ¬ A → ( ( A → ¬ ¬ B ) → A ) ) )
37 31,36 ax-mp   $a |- ( ¬ ¬ A → ( ( A → ¬ ¬ B ) → A ) )
38 ax-2          $a |- ( ( ¬ ¬ A → ( ( A → ¬ ¬ B ) → A ) ) → ( ( ¬ ¬ A → ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ¬ ¬ A → A ) ) )
39 37,38 ax-mp   $a |- ( ( ¬ ¬ A → ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ¬ ¬ A → A ) )
40 ax-2          $a |- ( ( ¬ ¬ A → ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ( ¬ ¬ A → A ) → ( ¬ ¬ A → ¬ ¬ B ) ) )
41 ax-2          $a |- ( ( ( ¬ ¬ A → ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ( ¬ ¬ A → A ) → ( ¬ ¬ A → ¬ ¬ B ) ) ) → ( ( ( ¬ ¬ A → ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ¬ ¬ A → A ) ) → ( ( ¬ ¬ A → ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ¬ ¬ A → ¬ ¬ B ) ) ) )
42 40,41 ax-mp   $a |- ( ( ( ¬ ¬ A → ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ¬ ¬ A → A ) ) → ( ( ¬ ¬ A → ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ¬ ¬ A → ¬ ¬ B ) ) )
43 39,42 ax-mp   $a |- ( ( ¬ ¬ A → ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ¬ ¬ A → ¬ ¬ B ) )
44 ax-1          $a |- ( ( ( ¬ ¬ A → ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ¬ ¬ A → ¬ ¬ B ) ) → ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ( ¬ ¬ A → ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ¬ ¬ A → ¬ ¬ B ) ) ) )
45 43,44 ax-mp   $a |- ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ( ¬ ¬ A → ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ¬ ¬ A → ¬ ¬ B ) ) )
46 ax-2          $a |- ( ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ( ¬ ¬ A → ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ¬ ¬ A → ¬ ¬ B ) ) ) → ( ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ ¬ A → ( A → ¬ ¬ B ) ) ) → ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ ¬ A → ¬ ¬ B ) ) ) )
47 45,46 ax-mp   $a |- ( ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ ¬ A → ( A → ¬ ¬ B ) ) ) → ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ ¬ A → ¬ ¬ B ) ) )
48 24,47 ax-mp   $a |- ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ ¬ A → ¬ ¬ B ) )
49 ax-3          $a |- ( ( ¬ ¬ A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ B → ¬ A ) )
50 ax-1          $a |- ( ( ( ¬ ¬ A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ B → ¬ A ) ) → ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ( ¬ ¬ A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ B → ¬ A ) ) ) )
51 49,50 ax-mp   $a |- ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ( ¬ ¬ A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ B → ¬ A ) ) )
52 ax-2          $a |- ( ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ( ¬ ¬ A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ B → ¬ A ) ) ) → ( ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ ¬ A → ¬ ¬ B ) ) → ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ B → ¬ A ) ) ) )
53 51,52 ax-mp   $a |- ( ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ ¬ A → ¬ ¬ B ) ) → ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ B → ¬ A ) ) )
54 48,53 ax-mp   $a |- ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ B → ¬ A ) )
55 ax-1          $a |- ( ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ B → ¬ A ) ) → ( ( A → B ) → ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ B → ¬ A ) ) ) )
56 54,55 ax-mp   $a |- ( ( A → B ) → ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ B → ¬ A ) ) )
57 ax-2          $a |- ( ( ( A → B ) → ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ B → ¬ A ) ) ) → ( ( ( A → B ) → ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ( A → B ) → ( ¬ B → ¬ A ) ) ) )
58 56,57 ax-mp   $a |- ( ( ( A → B ) → ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ( A → B ) → ( ¬ B → ¬ A ) ) )
59 23,58 ax-mp   $a |- ( ( A → B ) → ( ¬ B → ¬ A ) )

Спробуйте в Інтернеті!

Ось він знаходиться в неймовірній доказній машині

png svg