Виклик

Давши додатне ціле число N, виведіть суму перших Nреципрок у вигляді точного дробу, який представлений у вигляді пари цілих чисел у послідовному порядку, що представляє чисельник та знаменник.

Правила

• Вихід повинен бути точним.

• Вихід має бути як пара цілих чисел у послідовному порядку, що представляє чисельник та знаменник.

• Використання не цілих числових типів (вбудована або бібліотека) заборонено.

  • Уточнення / виняток: нецілі числові типи в порядку, якщо і лише якщо всі використовувані, обчислені та повернуті значення є цілими числами (тобто ваша мова використовує раціональні числа за замовчуванням, але ви використовуєте лише цілу арифметику у своїй відповіді)

• Вихід повинен бути максимально скороченим. ( 3/2добре, 6/4ні)

• Стандартні лазівки заборонені.

• Подані матеріали повинні працювати для вхідних даних щонайменше до 20, або це мета , залежно від того, що вище.

Випробування

1: 1/1
2: 3/2 (1/1 + 1/2)
3: 11/6 (1/1 + 1/2 + 1/3)
4: 25/12 etc.
5: 137/60
6: 49/20
20: 55835135/15519504
56: 252476961434436524654789/54749786241679275146400
226: 31741146384418617995319820836410246588253008380307063166243468230254437801429301078323028997161/5290225078451893176693594241665890914638817631063334447389979640757204083936351078274058192000

Генерація тестових випадків (Python 3)

import fractions
def f(x):
    return sum(fractions.Fraction(1,i) for i in range(1,x+1))

Подібно до цього виклику і до цього виклику .

Числівники - OEIS A001008 , а знаменники - OEIS A002805 .

Python 2 , 80 79 байт

D=1;N=n=0;exec"n+=1;y=N=N*n+D;x=D=D*n;"*input()
while y:x,y=y,x%y
print N/x,D/x

Спробуйте в Інтернеті!

Друкує чисельник та знаменник.

Так! Підтримка MathJax !!!! Один зауважує:

Тоді, думаючи про рекурсію, для $n$ позитивних, у Nсемінарі:

і не можна не думати про Dзнавцятакож рекурсивно; таким чином.$n!$exec

Ми повинні заплатити трубопроводу з зменшеною фракцією з розрахунком GCD в whileциклі; і тоді ми закінчили.

Желе , 10 байт

!:RS,!:g/$

Спробуйте в Інтернеті!

Як це працює

!:RS,!:g/$  Main link. Argument: n

!           Compute n!.
  R         Range; yield [1, ..., n].
 :          Divide n! by each k in [1, ..., n].
   S        Take the sum. Let's call it s.
     !      Compute n! again.
    ,       Pair; yield [s, n!].
      :g/$  Divide [s, n!] by their GCD.

J , 16 байт

!(,%+.)1#.!%1+i.

Спробуйте в Інтернеті!

Виконайте приклади

f =: !(,%+.)1#.!%1+i.
f 6x
   20 49
f 20x
   15519504 55835135
f 56x
   54749786241679275146400 252476961434436524654789

Як це працює

!(,%+.)1#.!%1+i.    NB. Tacit verb
            1+i.    NB. 1 to n inclusive
          !%        NB. Divide factorial by 1 to n
       1#.          NB. Sum i.e. numerator (not reduced)
!                   NB. Factorial i.e. denominator (not reduced)
 (,%+.)             NB. Divide both by GCD

J , 9 байт, використовуючи тип дробу

1#.1%1+i.

Спробуйте в Інтернеті!

J дає дроби для поділу int-int, якщо не ділиться.

05AB1E , 10 байт

!DIL÷O)D¿÷

Спробуйте в Інтернеті!

Використовується той самий метод, що і всі інші записи. Вихід у формі [denominator, numerator].

!DIL÷O)D¿÷   Full program. Let's call the input I.
!D           Push the factorial twice to the stack. STACK: [I!, I!]
  IL         Range from 1 to I. STACK: [I!, I!, [1 ... I]]
    ÷        Vectorized integer division. STACK: [I!, [I! / 1, I! / 2, ..., I! / I]]
     O       Sum. STACK: [I!, I! / 1 + I! / 2 + ... + I! / I]
      )      Wrap stack. STACK: [[I!, I! / 1 + I! / 2 + ... + I! / I]]
       D     Duplicate. STACK: [[I!, I! / 1 + ... + I! / I], [I!, I! / 1 +... + I! / I]]
        ¿    GCD. STACK: [[I!, I! / 1 + ... + I! / I], gcd(I!, I! / 1 +... + I! / I)]
         ÷   Vectorized integer division. 

Мова Вольфрама (Mathematica) , 30 байт

#/GCD@@#&@{Tr[#!/Range@#],#!}&

Спробуйте в Інтернеті!

14 байт, якщо дозволені вбудовані дробові типи

HarmonicNumber

Спробуйте в Інтернеті!

JavaScript (ES6), 60 байт

Повертається [numerator, denominator].

f=(n,a=0,b=1)=>n?f(n-1,p=a*n+b,q=b*n):b?f(0,b,a%b):[p/a,q/a]

Спробуйте в Інтернеті!

Як?

Метод схожий на відповідь Python @ ChasBrown .

Спочатку обчислюємо незменшений чисельник $a$$b$$a=0$$b=1$

$n=0$

$(a,b)$$(p,q)$$a\gets \gcd(a,b)$

$b=0$

$p/a$$q/a$

Perl 6 , 57 53 байти

{+($!=[*] 1..$_)/($!=($/=sum $! X/1..$_)gcd$!),$//$!}

Спробуйте в Інтернеті!

Блок анонімного коду, який приймає ціле число і повертає кортеж denominator, numerator.

Якби нам дозволяли використовувати дробові типи, це було б набагато простішим 32 байтом:

{sum(map 1/*.FatRat,1..$_).nude}

Спробуйте в Інтернеті!

Октава , 29 байт

@(n)sym(sprintf('+1/%i',1:n))

Спробуйте в Інтернеті!

C ++ 17 (gcc) , 108 байт

Використовуйте лише цілу арифметику:

#import<random>
int f(int x,long&n,long&d){n=0;d=1;int
a;while(n=n*x+d,d*=x,a=std::gcd(n,d),n/=a,d/=a,--x);}

Спробуйте в Інтернеті!

C ++ 17 (gcc) , 108 байт

#import<random>
int f(long&n){double a=0;long
d=1;while(d*=n,a+=1./n,--n);n=a*d+.5;n/=a=std::gcd(n,d);d/=a;}

Спробуйте в Інтернеті!

Те саме, що нижче, але використовуйте C ++ 17 std::gcd.

C ++ (gcc) , 109 байт

#import<regex>
int f(long&n){double a=0;long
d=1;while(d*=n,a+=1./n,--n);n=a*d+.5;n/=a=std::__gcd(n,d);d/=a;}

Спробуйте в Інтернеті!

Оскільки у C ++ немає нашої підтримки Bigint, це, безумовно, переповнюється n>20 .

Потрібно:

• застаріле importтвердження gcc .
• gcc's std::__gcd.
• -O0(Я думаю, що так) інакше компілятор оптимізує d/=a.
• Принаймні 64-розрядні long.

Пояснення:

• $d=n!, a=H_n$
• Обведіть a*dдо найближчого цілого числа, перейшовши a*d+.5на longта призначте n. Зараз n/d- вихід.
• Спростіть дріб за допомогою std::__gcd.

Парі / GP , 34 байти

n->l=[sum(i=1,n,n!/i),n!];l/gcd(l)

Спробуйте в Інтернеті!

17 байт, якщо дозволені вбудовані дробові типи

n->sum(i=1,n,1/i)

Спробуйте в Інтернеті!

MATL, 13 байт

:tptb/sht&Zd/

Спробуйте це на MATL Online

Той самий метод, який застосовується у відповіді на желе @Dennis .

:t    % Range from 1 to n, duplicate. 
pt    % Take the product of that (= factorial), duplicate that too.     
b/    % Bring the range to top of stack, divide factorial by each element    
sh    % Sum those. Concatenate factorial and this into a single array.     
t&Zd/ % Compute GCD of those and divide the concatenated array elements by the GCD.     

(Неявний вихід, спочатку друкує знаменник, а потім чисельник.)

Неточності з плаваючою комою означають, що це не працює при n = 20, оскільки проміжні значення занадто великі.Схоже, вихід тестового випадку був помилковим, це повертає ту саму відповідь, що й інші відповіді для n = 20.

Ось ціла версія збереження версії (25 байт), яку я спробував тим часом, перш ніж це з'ясувати:

25 байт, введення до 43

O1i:3Y%"t@*b@*b+wht&Zd/Z}

Спробуйте в Інтернеті!

Переносить числа до, uint64перш ніж працювати над ними, робить арифметику явно в циклі (без використання prodабо sum). Що ще важливіше, розділяє часткові чисельники та знаменники за їх GCD кожен крок на шляху в кінці кожної ітерації. Це збільшує діапазон введення для дозволуn до 43. Частина коду заснована на відповіді Python @Chas Брауна.

Альтернативний (оригінальний) метод, використовуючи LCM замість факторіального:

16 15 байт

:t&Zmtb/sht&Zd/

Спробуйте це на MATL Online

Excel VBA, 141 байт

Здійснює вхід з [A1]та виводить на консоль.

s="=If(Row()>A$1,":[B:B]=s+"1,Row())":l=[LCM(B:B)]:[C:C]=s &"0,"&l &"/B1)":g=[GCD(LCM(B:B),SUM(C:C))]:?Format([Sum(C:C)]/g,0)"/"Format(l/g,0)

Безголовний і коментований

Sub HarmonicSum(n)
    [A1] = n                            ''  Pipe input
    s = "=IF(ROW()>A$1,"                ''  Hold the start of formulas
    [B1:B40] = s + "1,ROW())"           ''  Get series of numbers 1 to N, trailing 1s
    l = [LCM(B1:B40)]                   ''  Get LCM
    [C1:C40] = s & "0," & l & "/B1)"    ''  Get LCM/M for M in 1 to N
    g = [GCD(LCM(B1:B40),SUM(C1:C40))]  ''  Get GCD
                                        ''  Format and print output
    Debug.Print Format([Sum(C1:C40)] / g, 0); "\"; Format(l / g, 0)
End Sub

постійного струму , 87 байт

?sn1dsNsD[lndlDdlNln*+sN*sD1-dsn1<M]sMln1<MlDsAlNsB[lAlB%sTlBsAlTsBlB0<G]dsGxlDlA/lNlA/

Спробуйте в Інтернеті!

Це залишає чисельник і знаменник на вершині стека в тому порядку, як це дозволено цим вихідним типом. Оскільки dcвін не має gcdвбудованого, це використовує алгоритм Евкліда для обчислення gcd.

Стакс , 11 байт

ó╢Δ'åç4}ú┌7

Запустіть і налагоджуйте його

Пояснення:

Ми хочемо розрахувати:

Зараз нам потрібен знаменник $b$ і список чисельників $a_i$:

Ми можемо зробити $b=n!$, то у нас є:

Отже, у нас є:

|Fx{[/m|+L:_m Full program
|F            Factorial
  x           Push input again
   {  m       Map over range [1, n]
    [           Copy the factorial
     /          Divide factorial by current value
       |+     Sum
         L    Listify stack, top gets first element
          :_  Divide both values by gcd
            m Print each followed by newline

APL (NARS), 56 символів, 112 байт

{⍵=1:⊂1 1⋄{(r s)←⍺⋄(i j)←⍵⋄m÷∨/m←((r×j)+s×i),s×j}/1,¨⍳⍵}

тест:

  f←{⍵=1:⊂1 1⋄{(r s)←⍺⋄(i j)←⍵⋄m÷∨/m←((r×j)+s×i),s×j}/1,¨⍳⍵}
  f 1
1 1 
  f 2
3 2 
  f 3
11 6 
  f 20
55835135 15519504 

Кілька слів зменшіть "функцію суми на 2 числа дробів" (одне число дробу - це список цілих чисел) на множині:

1 2, 1 3,..., 1 n

це нижче здається неправильним:

 f 56
74359641471727289 16124934538402170

але якщо я зміню тип введення, ніж:

  f 56x
252476961434436524654789 54749786241679275146400 
  f 226x
31741146384418617995319820836410246588253008380307063166243468230254437801429301078323028997161 529022507845189
  3176693594241665890914638817631063334447389979640757204083936351078274058192000

APL (Dyalog Unicode) , 15 12 байт

⌽!(,÷∨)1⊥!÷⍳

Спробуйте в Інтернеті!

Мовчазна функція, приймаючи єдиний аргумент ⍵. Зберігає байт, видаляючи, ⌽якщо нам дозволено спочатку надрукувати знаменник.

Дякую @dzaima за 3 байти.

Як:

⌽!(,÷∨)1⊥!÷⍳ ⍝ Tacit function, argument will be called ⍵.
           ⍳ ⍝ Range 1..⍵ 
          ÷  ⍝ Dividing
         !   ⍝ the factorial of ⍵
       1⊥    ⍝ Base-1 decode, aka sum;
 !(   )      ⍝ Using that sum and the factorial of ⍵ as arguments, fork:
     ∨       ⍝ (GCD
    ÷        ⍝ dividing
   ,         ⍝ the vector with both arguments)
⌽            ⍝ reversed.