9

Проблема

Давши значення n, уявіть гірський пейзаж, вписаний у посиланнях (0, 0) до (2n, 0). Між схилами не повинно бути білих проміжків, а також гірський мус не опускається нижче осі x. Проблема, яку слід вирішити, є: задані n (що визначає розмір ландшафту) та кількість k вершин (k завжди менше або дорівнює n), скільки комбінацій гір можливі з k вершинами?

Вхідні дані

n, який представляє ширину ландшафту, і k - кількість вершин.

Вихідні дані

Просто кількість можливих комбінацій.

Приклад

З огляду на n = 3 і k = 2, відповідь - 3 комбінації.

Просто для наочного прикладу вони є такими:

   /\     /\      /\/\
/\/  \   /  \/\  /    \

3 можливі комбінації з використанням 6 (3 * 2) позицій та 2 піків.

Редагувати: - більше прикладів -

n  k  result
2  1  1
4  1  1
4  3  6
5  2  10

Умова виграшу

Стандартний код-гольфдіють правила. Виграє найкоротше подання в байтах.

code-golf combinatorics recursion

— комбінаціїD
джерело

4

Чи це те саме, що "знайти кількість виразів nзіставлених парних дужок, які містять саме kекземпляри ()"?

— xnor

4

https://oeis.org/A001263 ?

— xnor

@xnor так, це так.

— Джонатан Аллан

4

Ви можете оновити виклик більш чітким заголовком, таким як Compute Narayana Numbers .

— Арнольд

Чи можете ви підтвердити, чи kпотрібно обробляти вхід з нулем? Якщо так, чи слід обробляти вхід, nрівний нулю ( kтакож за нульовим визначенням)?

— Джонатан Аллан

7

Пітон, 40 байт

f=lambda n,k:k<2or~-n*n*f(n-1,k-1)/~-k/k

Спробуйте в Інтернеті!

Використовує рецидив $a_{n,1} = 1$ , $a_{n,k} = \frac{n(n-1)}{k(k-1)}a_{n-1,k-1}$ .

— Андерс Касеорг
джерело

6

Желе , 7 байт

cⱮṫ-P÷⁸

Спробуйте в Інтернеті!

Приймає введення як nтоді k. Використовує формулу

$N(n,k)=\frac{1}{n}\binom{n}{k}\binom{n}{k-1}$

яку я знайшов у Вікіпедії .

cⱮṫ-P÷⁸
c        Binomial coefficient of n and...
 Ɱ       each of 1..k
  ṫ-     Keep the last two. ṫ is tail, - is -1.
    P    Product of the two numbers.
     ÷   Divide by
      ⁸  n.

7 байт

Кожен рядок працює самостійно.

,’$c@P÷
c@€ṫ-P÷

Приймає введення як kтоді n.

7 байт

cⱮ×ƝṪ÷⁸

Дякую Джонатану Аллану за це.

— ділнан
джерело

Зачекайте ... хвіст автоматично визначається як 2 числа? (Джелі взагалі не знаю, лише дурне запитання)

— Квінтек

@Quintec Є дві функції хвоста. Один ( Ṫ), який бере лише останній елемент одного аргументу, і той, який я використав ( ṫ), який бере два аргументи. Аргумент кулака - це список, а другий - це число (у моєму випадку -1представлене -кодом у коді), який вказує, скільки елементів потрібно зберегти. Маючи -1ДАЙ два елементи був golfiest спосіб визначитиṫ

— dylnan

Потрапив, спасибі! Я бачу, як будували желе для гольфу ... hehe

— Квінтек

1

Ще один варіант для 7 f (n, k):cⱮ×ƝṪ÷⁸

— Джонатан Аллан

4

JavaScript (ES6), 33 30 байт

Збережено 3 байти завдяки @Shaggy

Вводиться як " (n)(k).

n=>g=k=>--k?n*--n/-~k/k*g(k):1

Спробуйте в Інтернеті!

Реалізує рекурсивне визначення, яке використовує Андерс Касеорг .

JavaScript (ES7), 59 58 49 45 байт

Вводиться як " (n)(k).

n=>k=>k/n/(n-k+1)*(g=_=>k?n--/k--*g():1)()**2

Спробуйте в Інтернеті!

Обчислення:

а_{н, к} = \frac{1}{к} (\binom{н - 1}{к - 1}) (\binom{н}{к - 1}) = \frac{1}{н} (\binom{н}{к}) (\binom{н}{к - 1}) = \frac{1}{н} {(\binom{н}{к})}^{2} \times \frac{к}{н - к + 1}

$a_{n,k}=\frac{1}{k}\binom{n-1}{k-1}\binom{n}{k-1}=\frac{1}{n}\binom{n}{k}\binom{n}{k-1}=\frac{1}{n}\binom{n}{k}^2\times\frac{k}{n-k+1}$

Похідне від A001263 (перша формула).

— Арнольд
джерело

-3 байти із завивкою.

— Кудлатий

@Shaggy Doh ... Дякую. Редакція №7 нарешті виглядає так, як повинна бути переглянута №1. : p

— Арнольд

3

Мова Вольфрама (Mathematica) , 27 байт

Три версії, однакової довжини:

(b=Binomial)@##b[#,#2-1]/#&

Binomial@##^2#2/(#-#2+1)/#&

1/(Beta[#2,d=#-#2+1]^2d##)&

Спробуйте в Інтернеті! (Просто перша версія, але ви можете скопіювати та вставити, щоб спробувати інші.)

Все це - якийсь варіант на

\frac{н! (н - 1)!}{к! (к - 1)! (н - к)! (н - к - 1)!}

$\frac{n!(n-1)!}{k!(k-1)!(n-k)!(n-k-1)!}$ яка формула, яка рухається. Я сподівався десь потрапити з функцією Beta, яка є своєрідною двочленною зворотною реакцією, але тоді відбулося занадто багато поділу.

— Міша Лавров
джерело

2

J , 17 11 байт

]%~!*<:@[!]

Спробуйте в Інтернеті!

Приймає nяк правильний аргумент, kяк лівий. Використовується та ж формула, як відповідь Jelly від ділнана та рішення APL Quintec.

Пояснення:

            ] - n  
           !  - choose
       <:@[   - k-1
      *       - multiplied by
     !        - n choose k
   %~         - divided by
  ]           - n

— Гален Іванов
джерело

2

APL (Dyalog), 19 18 16 12 байт

⊢÷⍨!×⊢!⍨¯1+⊣

Дякую @Galen Ivanov за -4 байти

Використовує ідентичність у послідовності OEIS. Бере k ліворуч і n праворуч.

ТІО

— Квінтек
джерело

⊢÷⍨!×⊢!⍨¯1+⊣на 12 байт , аргумент зворотний

— Гален Іванов

@GalenIvanov Дякую, моя мовчазна APL надзвичайно слабка

— Quintec

Мій APL як не гарний, я просто скористався можливістю спробувати це після свого рішення J :)

— Гален Іванов

1

Рубін , 50 байт

->l,n{eval [[*n..l]*2*?*,l,n,[*1..l-=n]*2,l+1]*?/}

Спробуйте в Інтернеті!

— ГБ
джерело

1

Лист звичайний , 76 байт

(defun x(n k)(cond((= k 1)1)(t(*(/(* n(1- n))(* k(1- k)))(x(1- n)(1- k))))))

Спробуйте в Інтернеті!

— JRowan
джерело

Ви можете зберегти 2 байти, видаливши пробіли після \ і після х

— Гален Іванов

1

Щойно оновлена подяка

— JRowan

Запропонувати (*(1- x)x)замість(* x(1- x))

— roofcat

1

Perl 6 , 33 байти

{[*] ($^n-$^k X/(2..$k X-^2))X+1}

Спробуйте в Інтернеті!

Використовує формулу

а_{н, к} = (\binom{н - 1}{к - 1}) \times \frac{1}{к} (\binom{н}{к - 1}) = \prod_{i = 1}^{к - 1} (\frac{н - к}{i} + 1) \times \prod_{i = 2}^{к} (\frac{н - к}{i} + 1)

$a_{n,k}=\binom{n-1}{k-1}\times\frac{1}{k}\binom{n}{k-1}=\prod_{i=1}^{k-1}(\frac{n-k}{i}+1)\times\prod_{i=2}^{k}(\frac{n-k}{i}+1)$

Пояснення

{[*]                            }  # Product of
     ($^n-$^k X/                   # n-k divided by
                (2..$k X-^2))      # numbers in ranges [1,k-1], [2,k]
                             X+1   # plus one.

Альтернативна версія, 39 байт

{combinations(|@_)²/(1+[-] @_)/[/] @_}

Спробуйте в Інтернеті!

Використовує формулу з відповіді Арнальда:

а_{н, к} = \frac{1}{н} {(\binom{н}{к})}^{2} \times \frac{к}{н - к + 1}

$a_{n,k}=\frac{1}{n}\binom{n}{k}^2\times\frac{k}{n-k+1}$

— nwellnhof
джерело

0

Желе , 8 байт

,’$c’}P:

Діадичне Посилання, що приймає nзліва і kсправа, що дає рахунок.

Спробуйте в Інтернеті!

— Джонатан Аллан
джерело

0

Стакс , 9 байт

ÇäO╪∙╜5‼O

Запустіть і налагоджуйте його

Я використовую формулу dylnan у stax.

Розпакована, нерозроблена та коментована програма виглядає приблизно так.

        program begins with `n` and `k` on input stack
{       begin block for mapping
  [     duplicate 2nd element from top of stack (duplicates n)
  |C    combinatorial choose operation
m       map block over array, input k is implicitly converted to [1..k]
O       push integer one *underneath* mapped array
E       explode array onto stack
*       multiply top two elements - if array had only element, then the pushed one is used
,/      pop `n` from input stack and divide

Виконати цей

— рекурсивний
джерело

0

APL (NARS), 17 символів, 34 байти

{⍺÷⍨(⍵!⍺)×⍺!⍨⍵-1}

тест:

  f←{⍺÷⍨(⍵!⍺)×⍺!⍨⍵-1}
  (2 f 1)(4 f 1)(4 f 3)(5 f 2)    
1 1 6 10

— РосЛуП
джерело

Можливі різні комбінації

Пітон, 40 байт

Желе , 7 байт

JavaScript (ES6), 33 30 байт

JavaScript (ES7), 59 58 49 45 байт

Мова Вольфрама (Mathematica) , 27 байт

J , 17 11 байт

Пояснення:

APL (Dyalog), 19 18 16 12 байт

Рубін , 50 байт

Лист звичайний , 76 байт

Perl 6 , 33 байти

Пояснення

Альтернативна версія, 39 байт

Желе , 8 байт

Стакс , 9 байт

APL (NARS), 17 символів, 34 байти