Згортка Дирихле є особливим видом згортка , який виглядає як дуже корисним інструмент в теорії чисел. Він діє на безлічі арифметичних функцій .

Виклик

Враховуючи дві арифметичні функції (тобто функції ), обчислимо згортку Діріхле як визначено нижче. $f,g$ $f,g: \mathbb N \to \mathbb R$ $(f * g): \mathbb N \to \mathbb R$

Деталі

Ми використовуємо конвенцію . $0 \notin \mathbb N = \{1,2,3,\ldots \}$
Згортання Діріхле двох арифметичних функцій знову є арифметичною функцією, і вона визначається як(Обидві суми еквівалентні експресії. означає ділить , отже , підсумовування ведеться по природним подільників з Аналогічно можна subsitute. $f*g$ $f,g$ $(f * g) (n) = \sum_{d | n} f (\frac{n}{d}) \cdot g (d) = \sum_{i \cdot j = n} f (i) \cdot g (j) .$ $(f * g)(n) = \sum_\limits{d|n} f\left(\frac{n}{d}\right)\cdot g(d) = \sum_{i\cdot j = n} f(i)\cdot g(j).$ $d|n$ $d \in \mathbb N$ $n$ $n$ $i = \frac{n}{d} \in \mathbb N, j =d \in \mathbb N$ і ми отримуємо другий еквівалентний препарат. Якщо ви не звикли до цієї позначення, є покроковий приклад нижче.) Просто для детальної розробки (це не має прямого значення для цього завдання): Визначення походить від обчислення продукту серії Діріхле : $(\sum_{n \in N} \frac{f (n)}{n^{s}}) \cdot (\sum_{n \in N} \frac{g (n)}{n^{s}}) = \sum_{n \in N} \frac{(f * g) (n)}{n^{s}}$ $\left(\sum_{n\in\mathbb N}\frac{f(n)}{n^s}\right)\cdot \left(\sum_{n\in\mathbb N}\frac{g(n)}{n^s}\right) = \sum_{n\in\mathbb N}\frac{(f * g)(n)}{n^s}$
Вхід подається у вигляді двох функцій чорного поля . Крім того, ви також можете використовувати нескінченний список, генератор, потік або щось подібне, що може створювати необмежену кількість значень.
Є два способи виведення: або повертається функція , або ви можете взяти додатковий вхід та повернути безпосередньо. $f*g$ $n \in \mathbb N$ $(f*g)(n)$
Для простоти можна припустити, що кожен елемент може бути представлений, наприклад, позитивним 32-бітовим int. $\mathbb N$
Для простоти можна також припустити, що кожен запис може бути представлений, наприклад, єдиним реальним номером з плаваючою комою. $\mathbb R$

Приклади

Давайте спочатку визначимо кілька функцій. Зауважте, що список чисел під кожним визначенням представляє перші кілька значень цієї функції.

мультиплікативна ідентичність ( A000007 ) $ϵ (n) = {\begin{cases} 1 & n = 1 \\ 0 & n > 1 \end{cases}$ $\epsilon(n) = \begin{cases}1 & n=1 \\ 0 & n>1 \end{cases}$ 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...
функція постійної одиниці ( A000012 ) $1 (n) = 1 \forall n$ $\mathbb 1(n) = 1 \: \forall n$ 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...
функція ідентичності ( A000027 ) $i d (n) = n \forall n$ $id(n) = n \: \forall n$ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, ...
функція Мебіуса ( A008683 ) $μ (n) = {\begin{cases} (- 1)^{k} & if n is squarefree and k is the number of Primefactors of n \\ 0 & otherwise \end{cases}$ $\mu(n) = \begin{cases} (-1)^k & \text{ if } n \text{ is squarefree and } k \text{ is the number of Primefactors of } n \\ 0 & \text{ otherwise } \end{cases}$ 1, -1, -1, 0, -1, 1, -1, 0, 0, 1, -1, 0, -1, 1, 1, 0, -1, 0, -1, ...
функція туйєнта Ейлера ( A000010 ) $φ (n) = n \prod_{p | n} (1 - \frac{1}{p})$ $\varphi(n) = n\prod_{p|n} \left( 1 - \frac{1}{p}\right)$ 1, 1, 2, 2, 4, 2, 6, 4, 6, 4, 10, 4, 12, 6, 8, 8, 16, 6, 18, 8, ...
функція Ліувілля ( A008836 ) де - число простих факторів підраховане з кратністю $λ (n) = (- 1)^{k}$ $\lambda (n) = (-1)^k$ $k$ $n$ 1, -1, -1, 1, -1, 1, -1, -1, 1, 1, -1, -1, -1, 1, 1, 1, -1, -1, -1, ...
функція суми дільника ( A000203 ) $σ (n) = \sum_{d | n} d$ $\sigma(n) = \sum_{d | n} d$ 1, 3, 4, 7, 6, 12, 8, 15, 13, 18, 12, 28, 14, 24, 24, 31, 18, 39, 20, ...
функція підрахунку дільника ( A000005 ) $τ (n) = \sum_{d | n} 1$ $\tau(n) = \sum_{d | n} 1$ 1, 2, 2, 3, 2, 4, 2, 4, 3, 4, 2, 6, 2, 4, 4, 5, 2, 6, 2, 6, 4, 4, 2, 8, ...
характерна функція квадратних чисел ( A010052 ) $s q (n) = {\begin{cases} 1 & if n is a square number \\ 0 & otherwise \end{cases}$ $sq(n) = \begin{cases} 1 & \text{ if } n \text{ is a square number} \\ 0 & \text{otherwise}\end{cases}$ 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...

Тоді ми маємо наступні приклади:

$\epsilon = \mathbb 1 * \mu$
$f = \epsilon * f \: \forall f$
$\epsilon = \lambda * \vert \mu \vert$
$\sigma = \varphi * \tau$
$id = \sigma * \mu$ та $\sigma = id * \mathbb 1$
$sq = \lambda * \mathbb 1$ і $\lambda = \mu * sq$
$\tau = \mathbb 1 * \mathbb 1$ та $\mathbb 1 = \tau * \mu$
$id = \varphi * \mathbb 1$ і $\varphi = id * \mu$

Останні для є наслідком інверсії Мебіуса : Для будь-якого рівняння еквівалентно . $f,g$ $g = f * 1$ $f = g * \mu$

Покроковий приклад

Це приклад, який обчислюється поетапно для тих, хто не знайомий з позначеннями, які використовуються у визначенні. Розглянемо функції та . Тепер будемо оцінювати їх згортання в . Їх перші кілька термінів наведені в таблиці нижче. $f = \mu$ $g = \sigma$ $\mu * \sigma$ $n=12$

\begin{array}{cccccccccccccc} f & f (1) & f (2) & f (3) & f (4) & f (5) & f (6) & f (7) & f (8) & f (9) & f (10) & f (11) & f (12) \\ μ & 1 & - 1 & - 1 & 0 & - 1 & 1 & - 1 & 0 & 0 & 1 & - 1 & 0 \\ σ & 1 & 3 & 4 & 7 & 6 & 12 & 8 & 15 & 13 & 18 & 12 & 28 \end{array}

$\begin{array}{c|ccccccccccccc} f & f(1) & f(2) & f(3) & f(4) & f(5) & f(6) & f(7) & f(8) & f(9) & f(10) & f(11) & f(12) \\ \hline \mu & 1 & -1 & -1 & 0 & -1 & 1 & -1 & 0 & 0 & 1 & -1 & 0 \\ \sigma & 1 & 3 & 4 & 7 & 6 & 12 & 8 & 15 & 13 & 18 & 12 & 28 \\ \end{array}$

Сума повторюється над усіма натуральними числами які ділять , таким чином передбачає всі природні дільники . Це . У кожному підсумку ми оцінюємо при і множимо його на оцінене на . Тепер ми можемо зробити висновок $d \in \mathbb N$ $n=12$ $d$ $n=12 = 2^2\cdot 3$ $d =1,2,3,4,6,12$ $g= \sigma$ $d$ $f = \mu$ $\frac{n}{d}$

\begin{aligned} (μ * σ) (12) & = μ (12) σ (1) & + μ (6) σ (2) & + μ (4) σ (3) & + μ (3) σ (4) & + μ (2) σ (6) & + μ (1) σ (12) \\ = 0 \cdot 1 & + 1 \cdot 3 & + 0 \cdot 4 & + (- 1) \cdot 7 & + (- 1) \cdot 12 & + 1 \cdot 28 \\ = 0 & + 3 & 10 & - 7 & - 12 & + 28 \\ = 12 \\ = i d (12) \end{aligned}

$\begin{array}{rlccccc} (\mu * \sigma)(12) &= \mu(12)\sigma(1) &+\mu(6)\sigma(2) &+\mu(4)\sigma(3) &+\mu(3)\sigma(4) &+\mu(2)\sigma(6) &+\mu(1)\sigma(12) \\ &= 0\cdot 1 &+ 1\cdot 3 &+ 0 \cdot 4 &+ (-1)\cdot 7 &+ (-1) \cdot 12 &+ 1 \cdot 28 \\ &= 0 & + 3 & 1 0 & -7 & - 12 & + 28 \\ &= 12 \\ & = id(12) \end{array}$

— недолік
джерело

5

Lean , 108 100 95 78 75 байт

def d(f g:_->int)(n):=(list.iota n).foldr(λd s,ite(n%d=0)(s+f d*g(n/d))s)0

Спробуйте в Інтернеті!

Більше тестів з усіма функціями.

— Лина монахиня
джерело

чи справді лямбда дорожча чотирьох байтів fun ?

— Маріо Карнейро

лямбда - три байти, я гадаю

— Leaky Nun

Я думаю, що це два в UTF8 (грецький досить низький унікод)

— Маріо Карнейро

Ти маєш рацію. Я також гольф імпорту

— Leaky Nun

Я також condзаощаджував 5 байт

— Leaky Nun

4

Haskell , 46 байт

(f!g)n=sum[f i*g(div n i)|i<-[1..n],mod n i<1]

Спробуйте в Інтернеті!

Завдяки недостатності на -6 байтів та великому виклику! І завдяки H.PWiz за ще -6!

— Мего
джерело

Тут простіше коротше

— H.PWiz

@ H.PWiz Це досить розумно - я навіть не думав робити це так!

— Мего

3

Python 3 , 59 байт

lambda f,g,n:sum(f(d)*g(n//d)for d in range(1,n+1)if 1>n%d)

Спробуйте в Інтернеті!

— Лина монахиня
джерело

Чи //справді потрібно замість цього /?

— Містер Xcoder

/випускає поплавці правильно?

— Leaky Nun

Оскільки dподіл nза визначенням є дробовою частиною n/dнуля, тому з арифметикою з плаваючою комою не повинно виникати жодних питань. Поплавці з дробовою частиною нуль досить близькі до входів для пітонічних цілей, і вихід функції є реальним числом, тому робити n/dзамість цього n//dслід добре.

— Мего

3

Мова Вольфрама (Mathematica) , 17 байт

Звичайно, у Mathematica є вбудований. Також трапляється знати багато прикладних функцій. Я включив кілька робочих прикладів.

DirichletConvolve

Спробуйте в Інтернеті!

— Келлі Лоудер
джерело

2

Додайте ++ , 51 байт

D,g,@~,$z€¦~¦*
D,f,@@@,@b[VdF#B]dbRzGb]$dbL$@*z€g¦+

Спробуйте в Інтернеті!

$n$ $(f * g)(n)$

Як це працює

D,g,		; Define a helper function, $g
	@~,	; $g takes a single argument, an array, and splats that array to the stack
		; $g takes the argument e.g. [[τ(x) φ(x)] [3 4]]
		; STACK : 			[[τ(x) φ(x)] [3 4]]
	$z	; Swap and zip:			[[3 τ(x)] [4 φ(x)]]
	€¦~	; Reduce each by execution:	[[τ(3) φ(4)]]
	¦*	; Take the product and return:	τ(3)⋅φ(4) = 4

D,f,		; Define the main function, $f
	@@@,	; $f takes three arguments: φ(x), τ(x) and n (Let n = 12)
		; STACK:			[φ(x) τ(x) 12]
	@	; Reverse the stack:		[12 τ(x) φ(x)]
	b[V	; Pair and save:		[12]			Saved: [τ(x) φ(x)]
	dF#B]	; List of factors:		[[1 2 3 4 6 12]]
	dbR	; Copy and reverse:		[[1 2 3 4 6 12] [12 6 4 3 2 1]]
	z	; Zip together:			[[[1 12] [2 6] [3 4] [4 3] [6 2] [12 1]]]
	Gb]	; Push Saved:			[[[1 12] [2 6] [3 4] [4 3] [6 2] [12 1]] [[τ(x) φ(x)]]]
	$dbL	; Number of dividors:		[[[τ(x) φ(x)]] [[1 12] [2 6] [3 4] [4 3] [6 2] [12 1]] 6]
	$@*	; Repeat:			[[[1 12] [2 6] [3 4] [4 3] [6 2] [12 1]] [[τ(x) φ(x)] [τ(x) φ(x)] [τ(x) φ(x)] [τ(x) φ(x)] [τ(x) φ(x)] [τ(x) φ(x)]]]
	z	; Zip:				[[[τ(x) φ(x)] [1 12]] [[τ(x) φ(x)] [2 6]] [[τ(x) φ(x)] [3 4]] [[τ(x) φ(x)] [4 3]] [[τ(x) φ(x)] [6 2]] [[τ(x) φ(x)] [12 1]]]
	€g	; Run $g over each subarray:	[[4 4 4 6 4 6]]
	¦+	; Take the sum and return:	28

— птахів coinheringaahing
джерело

2

R , 58 байт

function(n,f,g){for(i in (1:n)[!n%%1:n])F=F+f(i)*g(n/i)
F}

Спробуйте в Інтернеті!

Приймає n, fі g. На щастя, numbersпакет має досить багато функцій, які вже реалізовані.

Якщо були доступні векторні версії, що можливо, обернувши кожну Vectorize, можлива наступна 45-байтна версія:

R , 45 байт

function(n,f,g,x=1:n,i=x[!n%%x])f(i)%*%g(n/i)

Спробуйте в Інтернеті!

— Джузеппе
джерело

2

APL (Dyalog Classic) , 20 байт

{(⍺⍺¨∘⌽+.×⍵⍵¨)∪⍵∨⍳⍵}

з ⎕IO←1

Спробуйте в Інтернеті!

Легко вирішити, важко перевірити - як правило, це не мій виклик. Та все ж мені дуже сподобалось це!

{ }визначає діадичний оператор, операнди якого ⍺⍺і ⍵⍵дві функції, що з'єднуються; ⍵є числовим аргументом

∪⍵∨⍳⍵є дільниками ⍵у порядку зростання, тобто унікальні ( ∪) LCMs ( ∨) ⍵з усіма натуральними числами до нього ( ⍳)

⍵⍵¨ застосувати правильний операнд до кожного

⍺⍺¨∘⌽ застосувати лівий операнд до кожного зворотно

+.× внутрішній добуток - множте відповідні елементи та суму

Те саме в ngn / apl виглядає краще через ідентифікатори Unicode, але займає 2 додаткові байти через 1-індексацію.

— ngn
джерело

Досить впевнений, що він займає 27 додаткових байтів у ngn / apl ...

— Ерік the Outgolfer

1

Желе , 9 байт

ÆDṚÇ€ḋÑ€Ʋ

Спробуйте в Інтернеті!

$f$ $g$ $n$

— Ерік Аутгольфер
джерело

1

Швидкий 4 , 74 70 54 байт

{n in(1...n).map{n%$0<1 ?f(n/$0)*g($0):0}.reduce(0,+)}

Спробуйте в Інтернеті!

— Містер Xcoder
джерело

1

JavaScript (ES6), 47 байт

Вводиться як " (f)(g)(n).

f=>g=>h=(n,d=n)=>d&&!(n%d)*f(n/d)*g(d)+h(n,d-1)

Спробуйте в Інтернеті!

Приклади

liouville =
n => (-1) ** (D = (n, k = 2) => k > n ? 0 : (n % k ? D(n, k + 1) : 1 + D(n / k, k)))(n)

mobius =
n => (M = (n, k = 1) => n % ++k ? k > n || M(n, k) : n / k % k && -M(n / k, k))(n)

sq =
n => +!((n ** 0.5) % 1)

identity =
n => 1

// sq = liouville * identity
console.log([...Array(25)].map((_, n) => F(liouville)(identity)(n + 1)))

// liouville = mobius * sq
console.log([...Array(20)].map((_, n) => F(mobius)(sq)(n + 1)))

— Арнольд
джерело

1

C (gcc) , 108 байт

#define F float
F c(F(*f)(int),F(*g)(int),int n){F s=0;for(int d=0;d++<n;)if(n%d<1)s+=f(n/d)*g(d);return s;}

Безпосередня реалізація, безсоромно вкрадена з відповіді Leaky Nun's Python .

Безголівки:

float c(float (*f)(int), float (*g)(int), int n) {
    float s = 0;
    for(int d = 1; d <= n;++d) {
        if(n % d == 0) {
            s += f(n / d) * g(d);
        }
    }
    return s;
}

Спробуйте в Інтернеті!

— joH1
джерело

1

F #, 72 байти

let x f g n=Seq.filter(fun d->n%d=0){1..n}|>Seq.sumBy(fun d->f(n/d)*g d)

Бере дві функції fі gі натуральне число n. Фільтрує значення d, які природним чином не поділяються n. Потім оцінює f(n/d) і g(d), множивши їх разом, підсумовує результати.

— Ciaran_McCarthy
джерело

0

Парі / GP , 32 байти

(f,g,n)->sumdiv(n,d,f(n/d)*g(d))

Спробуйте в Інтернеті!

Є вбудована dirmulфункція, але вона підтримує лише кінцеві послідовності.

— алефальфа
джерело

0

APL (NARS), 47 символів, 94 байти

{(m⍵[1])×n⍵[2]}{+/⍺⍺¨{k←⍳⍵⋄(⍵÷b),¨b←k/⍨0=k∣⍵}⍵}

де m і n - функція, яку потрібно використовувати (це тому, що я не знаю, як викликати один масив функції в одній функції в APL). На наведеному вище прикладі множення функції Мобіуса (тут це 12π) та суми дільницької функції (тут це 11π) для значення 12 таке множення було б:

  {(12π⍵[1])×11π⍵[2]}{+/⍺⍺¨{k←⍳⍵⋄(⍵÷b),¨b←k/⍨0=k∣⍵}⍵}12
12

якщо треба обчислити якесь інше значення:

  {(12π⍵[1])×11π⍵[2]}{+/⍺⍺¨{k←⍳⍵⋄(⍵÷b),¨b←k/⍨0=k∣⍵}⍵}1002
1002
  {(12π⍵[1])×11π⍵[2]}{+/⍺⍺¨{k←⍳⍵⋄(⍵÷b),¨b←k/⍨0=k∣⍵}⍵}1001
1001
  {(12π⍵[1])×11π⍵[2]}{+/⍺⍺¨{k←⍳⍵⋄(⍵÷b),¨b←k/⍨0=k∣⍵}⍵}20000x
20000

Можна побачити, якщо, наприклад, перший номер 2000, результатом функції є ідентичність

  (⍳2000)≡{(12π⍵[1])×11π⍵[2]}{+/⍺⍺¨{k←⍳⍵⋄(⍵÷b),¨b←k/⍨0=k∣⍵}⍵}¨⍳2000
1

— РосЛуП
джерело

Конверт Діріхле

Виклик

Деталі

Приклади

Покроковий приклад

Lean , 108 100 95 78 75 байт

Haskell , 46 байт

Python 3 , 59 байт

Мова Вольфрама (Mathematica) , 17 байт

Додайте ++ , 51 байт

Як це працює

R , 58 байт

R , 45 байт

APL (Dyalog Classic) , 20 байт

Желе , 9 байт

Швидкий 4 , 74 70 54 байт

JavaScript (ES6), 47 байт

Приклади

C (gcc) , 108 байт

F #, 72 байти

Парі / GP , 32 байти

APL (NARS), 47 символів, 94 байти