Мета

Мета цього завдання - створити функцію, nяка обчислює кількість способів розділити n X 1сітку на трикутники, де всі вершини трикутників знаходяться в точках сітки.

Приклад

Наприклад, існує 14 способів розділити сітку 2 х 1, тому f(2) = 14через наступні розділи, де перегородки мають 2, 2, 2, 2, 4 та 2 різних орієнтації відповідно.

Оцінка балів

Це код-гольф , тому найкоротший код виграє.

05AB1E , 13 байт

·LÉœÙεÅγo;P}O

Порт @Bubbler Jelly відповіді «s .

Дуже повільно через вбудовані перестановки.

Спробуйте в Інтернеті або перевірте перші чотири входи .

Пояснення:

·                # Double the (implicit) input
 L               # Create a list in the range [1, doubled_input]
  É              # Check for each if they're odd (1 if truthy, 0 is falsey)
                 # We now have a list of n 0s and n 1s (n being the input)
   œ             # Get all permutations of that list
    Ù            # Only leave the unique permutations
     ε     }     # Map each permutation to:
      Åγ         #  Run-length encode the current value (short for `γ€g`)
        o        #  Take 2 to the power for each
         ;       #  Halve each
          P      #  Take the product of the mapped permutation
            O    # Sum all mapped values together (and output implicitly)

Haskell , 60 55 54 52 байт

Після малювання та програмування безлічі прикладів у мене виникло, що це те саме, що проблема граків:

На шаховій дошці скільки способів, щоб грак перейшов з до , просто перемістившись вправо або вгору ?$(n+1) \times (n+1)$$(0,0)$$(n,n)$$+(1,0)$$+(0,1)$

В основному у вас є верхня і нижня лінія сітки . Тепер ви повинні заповнити не горизонтальну лінію. Кожен трикутник повинен мати дві не горизонтальні лінії. Незалежно від того, що одна з її сторін є частиною верхньої чи нижньої лінії, відповідає напрямку та довжині, яку ви хочете вирішити в проблемі граків. Це OEIS A051708 . В якості ілюстрації цього листування розглянемо наступні приклади. Тут верхній рядок відповідає вгору, а нижній - правому.$1 \times n$

Дякую @PeterTaylor за -6 байт та @PostLeftGarfHunter за -2 байти!

b 0=1
b 1=2
b n=div((10*n-6)*b(n-1)-9*(n-2)*b(n-2))n

Спробуйте в Інтернеті!

Хаскелл , 42 байти

0?0=1
a?b=sum[a?i+i?a|i<-[0..b-1]]
f n=n?n

Спробуйте в Інтернеті!

Досить пряма реалізація, яка повторюється понад 2 змінних.

Ось як ми можемо отримати це рішення. Почніть з коду, що реалізує пряму рекурсивну формулу:

54 байти

0%0=1
a%b=sum$map(a%)[0..b-1]++map(b%)[0..a-1]
f n=n%n

Спробуйте в Інтернеті!

Використовуючи інтерпретацію переміщення ладу flawr , a%b- це кількість шляхів, які отримують грак (a,b)до (0,0), використовуючи лише переміщення координати зменшення. Перший хід або зменшується, aабо зменшується b, зберігаючи другий таким же, звідси і рекурсивна формула.

49 байт

a?b=sum$map(a%)[0..b-1]
0%0=1
a%b=a?b+b?a
f n=n%n

Спробуйте в Інтернеті!

Ми можемо уникнути повторення map(a%)[0..b-1]++map(b%)[0..a-1], зазначивши, що дві половинки однакові aі bзамінені. Допоміжний виклик a?bпідраховує шляхи, де зменшується перший хід a, і так b?aрахує ті, де зменшується перший хід b. Вони взагалі різні, і вони додають a%b.

Підсумок у a?bтакож може бути записаний як розуміння списку a?b=sum[a%i|i<-[0..b-1]].

42 байти

0?0=1
a?b=sum[a?i+i?a|i<-[0..b-1]]
f n=n?n

Спробуйте в Інтернеті!

Нарешті, ми позбутися %і просто написати рекурсию з точки зору ?шляхом заміни a%iз a?i+i?aв рекурсивном виклик.

Новий базовий випадок призводить ?до того, що виходи вдвічі перевищують показники ?у 49-байтовій версії, оскільки у 0?0=1нас це буде 0%0=0?0+0?0=2. Це дозволяє використовувати визначення f n=n?nбез навпіл, що нам потрібно було б зробити.

CJam (24 байти)

{2,*e!{e`0f=:(1b2\#}%1b}

Демонстрація в Інтернеті

Для цього використовується підхід Bubbler для підсумовування перестановок n0s і n1s.

Розсічення

{         e# Define a block
  2,*     e#   Given input n, create an array of n 0s and n 1s
  e!      e#   Generate all permutations of that array
  {       e#   Map:
    e`    e#     Run-length encode
    0f=:( e#     Extract just the lengths and decrement them
    1b    e#     Sum
    2\#   e#     Raise 2 to the power of that sum
  }%
  1b      e#  Sum the mapped values
}

Альтернативний підхід (28 байт)

{_1aa{_2$,f{j}@@,f{j}+1b}2j}

Демонстрація в Інтернеті

Розсічення

Усі трикутники мають один горизонтальний край і два ребра, які з'єднують горизонтальні лінії. Позначте негоризонтальні ребра за допомогою куточка їх двох x-координат і відсортуйте лексикографічно. Тоді перший край є (0,0), останній край є (n,n), а два послідовних ребра відрізняються точно в одному з двох положень. Це спричинить просту рекурсію, яку я реалізував, використовуючи запам'ятований оператор рекурсії j:

{            e# Define a block
  _          e#   Duplicate the argument to get n n
  1aa        e#   Base case for recursion: 0 0 => 1
  {          e#   Recursive body taking args a b
    _2$,f{j} e#     Recurse on 0 b up to a-1 b
    @@,f{j}  e#     Recurse on a 0 up to a b-1
    +1b      e#     Combine and sum
  }2j        e#   Memoised recursion with 2 args
}

Примітка

Це не перший раз, коли я хотів fjотримати підтримку в CJam. Тут це також знизить бал до 24 байт. Можливо, я повинен спробувати написати патч ...

Желе , ₁₅ 14 байт

Ø.xŒ!QŒɠ€’§2*S

Спробуйте в Інтернеті!

-1 байт на основі коментаря Пітера Тейлора.

Використовує ілюстрацію flawr безпосередньо замість отриманої формули.

Як це працює

Ø.xŒ!QŒɠ€’§2*S    Main link (monad). Input: positive integer N.
Ø.x               Make an array containing N zeros and ones
   Œ!Q            All unique permutations
      Œɠ€         Run-length encode on each permutation
         ’§       Decrement and sum each
           2*S    Raise to power of 2 and sum

Проведіть кожен можливий маршрут на квадратній сітці. Кількість способів переміщення одиниць L в одну сторону як грак 2**(L-1). Застосовуйте це до кожного маршруту та підсумовуйте кількість способів проходу кожного маршруту.

Вугілля , 44 31 байт

перекреслений 44 все ще є регулярним 44

Ｆ⊕θ«≔⟦⟧ηＦ⊕θ⊞ηΣ∨⁺ηＥυ§λκ¹⊞υη»Ｉ⊟⊟υ

Спробуйте в Інтернеті! Пояснення: Працює шляхом обчислення кількості способів розділити трапецію протилежної довжини сторони m,nна трикутники, які лежать на цілих зміщеннях. Це просто загальний випадок прямокутника розміру nу питанні. Кількість розділів задається рекурсивно як суми чисел розділів для всіх сторін m,0..n-1і n,0..m-1. Це еквівалентно узагальненій проблемі граків, OEIS A035002 . Код просто обчислює кількість розділів, що працюють від 0,0до n,nвикористання раніше обчислених значень.

Ｆ⊕θ«

Петля над рядами 0..n.

≔⟦⟧η

Почніть з порожнього рядка.

Ｆ⊕θ

Проведіть петлю над стовпцями в ряд 0..n.

⊞ηΣ∨⁺ηＥυ§λκ¹

Візьміть рядок досі та значення у попередніх рядках у поточному стовпці та додайте загальну суму до поточного рядка. Однак якщо значення взагалі немає, то замініть 1суму замість суми.

⊞υη»

Додайте готовий рядок до списку рядків поки.

Ｉ⊟⊟υ

Виведіть обчислене кінцеве значення.

JavaScript (ES6),  45 44  42 байт

Використовується рекурсивна формула, знайдена Пітером Тейлором та недоліком .

f=n=>n<2?n+1:(10-6/n)*f(--n)+9/~n*f(--n)*n

Спробуйте в Інтернеті!

Парі / GP , 43 байти

За даними OEIS , генеруюча функція цієї послідовності є

n->Vec(sqrt((1-x)/(1-9*x)+O(x^n++))+1)[n]/2

Спробуйте в Інтернеті!

Python 3 , 51 байт

lambda n:-~n*(n<2)or(10-6/n)*f(n-1)-(9-18/n)*f(n-2)

Спробуйте в Інтернеті!

Порт відповіді недоліків