Днями я придумав серію номерів і вирішив перевірити, що це за номер OEIS. На мій подив, ця послідовність виявилася не в базі даних OEIS, тому я вирішив назвати послідовність після себе (зауважте, хтось інший, який набагато розумніший за мене, напевно, вже придумав це, і якщо хтось знайде фактична назва цієї послідовності, будь ласка, прокоментуйте, і я зміню назву питання). Оскільки я не міг ніде знайти послідовності, я вирішив назвати його після себе, звідси "Числа Грифона". EDIT: Завдяки @Surb за те, що він звернув до мене увагу на те, що ця послідовність дорівнює OEIS-послідовності A053696 - 1.

Число Грифона - це число форми , де обидва і - цілі числа, більші або рівні два, а послідовність Грифона - це набір усіх чисел Грифона в зростанні замовлення. Якщо існує кілька способів утворення числа Грифона (перший приклад - 30 , що є і 2 + 2 ^ 2 + 2 ^ 3 + 2 ^ 4, і 5 + 5 ^ 2 ), число підраховується лише один раз у послідовності. Перші кілька грифонових чисел: 6, 12, 14, 20, 30, 39, 42, 56, 62, 72 .$a+a^2+...+a^x$$a$$x$$30$$2+2^2+2^3+2^4$$5+5^2$$6, 12, 14, 20, 30, 39, 42, 56, 62, 72$

Ваше завдання:

Напишіть програму або функцію, яка отримує ціле число $n$ як вхід і виводить $n$ е число грифона.

Вхід:

Ціле число від 0 до 10000 (включно). Ви можете трактувати послідовність як 0-індексованою, так і 1-індексованою, залежно від того, що вам зручніше. Будь ласка, вкажіть, яку систему індексації ви використовуєте у своїй відповіді, щоб уникнути плутанини.

Вихід:

Число Грифона, що відповідає входу.

Випробування:

Зверніть увагу, що це передбачає, що послідовність є 0-індексованою. Якщо ваша програма передбачає 1-індексовану послідовність, не забудьте збільшити всі вхідні номери.

Input:    Output:
0   --->  6
3   --->  20
4   --->  30
10  --->  84
99  --->  4692
9999 -->  87525380

Оцінка:

Це код-гольф , тому найнижча оцінка в байтах виграє.

Желе , 9 байт

bṖ’ḅi-µ#Ṫ

Повна програма, яка читає (1-індексоване) ціле число з STDIN і друкує результат.

Спробуйте в Інтернеті!

Як?

Число Грифона - це число, яке може бути вираженим у базі, меншій від самого себе, таким, що всі цифри є одними, крім найменш значущих, що дорівнює нулю. Наприклад:

$30=1\times 2^4+1\times 2^3+1\times2^2+1\times2^1+0\times2^0 \rightarrow 30_2 = 11110$

$84=1\times 4^3+1\times 4^2+1\times 4^1+0\times 4^0 \rightarrow 84_4 = 1110$

Ця програма бере n, потім запускає v=0і тестує цю властивість і прирости, vпоки не знайде nтакі числа, а потім виводить остаточне.

Для перевірки базового bчисла він віднімає по одній з кожної цифри, перетворює з базової v, а потім перевіряє, чи є результат $-1$ . (Зверніть увагу, що bменше v)

$30_2 \rightarrow 0\times 30^4+0\times 30^3+0\times30^2+0\times30^1+(-1)\times30^0 = -1$

$84_4 \rightarrow 0\times 84^3+0\times 84^2+0\times 84^1+(-1)\times 84^0 = -1$

bṖ’ḅi-µ#Ṫ - Main Link: no arguments
       #  - set v=0 then count up collecting n=STDIN matches of:
      µ   -  the monadic link -- i.e. f(v):  e.g. v=6
 Ṗ        -    pop (implicit range of v)            [1,2,3,4,5]
b         -    to base (vectorises)                 [[1,1,1,1,1,1],[1,1,0],[2,0],[1,2],[1,1]]
  ’       -    decrement (vectorises)               [[0,0,0,0,0,0],[0,0,-1],[1,-1],[0,1],[0,0]]
   ḅ      -    from base (v) (vectorises)           [0,-1,5,1,0]
     -    -    literal -1                           -1
    i     -    first index of (zero if not found)   2
          - }  e.g. n=11 -> [6,12,14,20,30,39,42,56,62,72,84]
        Ṫ - tail         -> 84
          - implicit print

MATL , 16 13 байт

:Qtt!^Ys+uSG)

1-основа.

Спробуйте в Інтернеті!

Пояснення

Розглянемо вклад n = 3як приклад.

:    % Implicit input: n. Range
     % STACK: [1 2 3]
Q    % Add 1, element-wise
     % STACK: [2 3 4]
tt   % Duplicate twice, transpose
     % STACK: [2 3 4], [2 3 4], [2;
                                 3;
                                 4]
^    % Power, element-wise with broadcast
     % STACK: [2 3 4], [ 4   9  16;
                         8  27  64;
                        16  81 256]
Ys   % Cumulative sum of each column
     % STACK: [2 3 4], [ 4    9  16;
                         12  36  80;
                         28 117 336]
+    % Add, element-wise with broadcast (*)
     % STACK: [ 6  12  20;
               14  39  84
               30 120 340]
u    % Unique elements. Gives a column vector
     % STACK: [  6;
                14;
                30;
                12;
               ···
               340]
S    % Sort
     % STACK: [  6;
                12
                14;
                20;
               ···
               340]
G)   % Push input again, index. This gets the n-th element. Implicit display
     % STACK: 14

Матриця, отримана на етапі (*), містить, можливо, повторювані числа Грифона. Зокрема, він містить nвиразні номери грифона в першому ряду. Це не обов'язково nнайменші грифонові числа. Однак нижній лівий запис 2+2^+···+2^n перевищує верхній правий запис n+n^2, і тому всі числа в останньому рядку перевищують цифри в першому рядку. Це означає, що розширення матриці вправо або вниз не сприяло б будь-якому номеру Грифона, нижчому за найменші nчисла в матриці. Таким чином, матриця гарантовано містить nнайменші номери грифона. Отже, її nнайнижчим унікальним елементом є рішення.

Haskell , 53 байти

([n|n<-[6..],or[a^y+n==n*a+a|a<-[2..n],y<-[3..n]]]!!)

Спробуйте в Інтернеті!

$\newcommand{\ta}{{a}}\newcommand{\ti}{{i}}\newcommand{\tx}{{x}}\newcommand{\tn}{{n}}\newcommand{\ty}{{y}}$Число $\tn$ - Грифон, якщо існують цілі числа і такі, що .$\ta \geq 2$$\tx \geq 2$$\tn=\sum_{i=1}^\tx \ta^i$

Ми генеруємо нескінченний список всіх таким чином, що пошук грубої сили показує, що це так.$\tn \geq 6$

Відповідь - функція індексу (нульова індексація) цього списку, позначена в Haskell як (list!!).

Чому це a^y+n==n*a+aправильно?

З формули підсумовування геометричної прогресії :

$$\sum_{i=1}^\nu \alpha \rho^{i-1} = \frac{\alpha(1-\rho^\nu)}{1-\rho}$$

ми маємо, пускаючи :$(\alpha, \rho, \nu) = (\ta, \ta, \tx)$

Переставляючи рівняння, отримуємо $n(1-a) = a - a^{x+1}$ .

Перестановка , що ще далі, ми отримаємо х + 1 + п = п + .$\ta^{\tx+1}+n = \tn \ta + \ta$

Заміна у пошуку грубої сили дає остаточний вираз .$\ty = \tx+1$a^y+n=n*a+a

Шукаєте, поки nдостатньо?

• Якщо (іншими словами, ), то що доводить . Тому немає сенсу перевіряти будь-яке значення .$\ta > \tn$$\ta \geq \tn+1$

  $$\ta^\ty + \tn > \ta^2 \geq (\tn+1)\ta = \tn\ta + \ta$$ $\ta^\ty+\tn \neq \tn\ta+\ta$$\ta > \tn$

• $\ty > \tn$

  $$\ta^\ty + \tn > \ta^\tn = \ta^{\tn-1}\ta \geq 2^{\tn-1}\ta \stackrel{\color{red}*}> (\tn+1)\ta = \tn\ta + \ta,$$ $\ta^\ty + \tn \neq \tn\ta + \ta$

  ^{$\color{red}{{}^{*}}$$2^{n-1}>n+1$$n \geq 6$}

Python 3.8 (попередній випуск) , 98 92 89 78 71 байт

lambda n:sorted({a*~-a**x//~-a for a in(r:=range(2,n+3))for x in r})[n]

Спробуйте в Інтернеті!

0-індексований. Тут слід використовувати ціле поділ, оскільки плавці f (10000) плавають.

$2 \leq a \leq n+2$$2 \leq x \leq n+2$$n$

-6 байт завдяки Джонатану Аллану

-3 байти завдяки ArBo. Я майже робив так, як він запропонував, але спробував використати те, {*(...)}що все одно не економило місце

-11 байт завдяки математиці

-7 байт завдяки ArBo

Математичне підтвердження достовірності

Використовуючи 0-індексацію заради цього доказу, навіть незважаючи на те, що математична умова є 1-індексованою.

• $G_n$$n$
• $g(a,x) = a + a^2 + ... + a^x$$a$$x$
• $A_n$$2 \leq a \leq n+2$$2 \leq x \leq n+2$
• $A_0 = \{ g(2,2) \} = \{ 6 \} = \{ G_0 \}$
• $A_{n+1} = \{ g(a, x), g(a+1, x), g(a, x+1), g(a+1, x+1) | g(a, x) \in A_n \}$
• $g(a+1, x) < g(a+1, x+1)$$a$$x$
• $g(a, x+1) < g(a+1, x+1)$$a$$x$
• $G_{n+1} \neq g(a+1, x+1)$$G_n = g(a, x)$
• $g(a+1, x) < g(a+2, x)$$a$$x$
• $g(a, x+1) < g(a, x+2)$$a$$x$
• $G_{n+1}$$g(a+1, x)$$g(a, x+1)$$G_n = g(a, x)$
• $G_{n+1} \in A_{n+1}$$G_n \in A_n$
• $G_0 \in A_0$$G_n \in A_n$$n$
• $G_0$$G_n$$G_n$$n$$A_n$$A_n$

J , ³⁵ 32 байти

-3 байти завдяки FrownyFrog

3 :'y{/:~~.,}.+/\(^~/>:)1+i.y+2'

Спробуйте в Інтернеті!

Пояснення таке ж, як оригінал. Просто використовує явну форму для збереження байтів, видаляючи кілька @.

оригінальна відповідь, негласна, з поясненням: 35 байт

{[:/:~@~.@,@}.[:+/\@(^~/>:)1+i.@+&2

Спробуйте в Інтернеті!

Аналогічно підходу Луїса Мендо, ми створюємо "таблицю потужності" (як таблицю часу) з верхнього рядка 2 3 ... nта лівого стовпця, в 1 2 ... nрезультаті чого:

 2   3    4     5     6      7
 4   9   16    25    36     49
 8  27   64   125   216    343
16  81  256   625  1296   2401
32 243 1024  3125  7776  16807
64 729 4096 15625 46656 117649

^~/ >:створює таблицю і 1+i.@+&2створює 1... nпослідовності, і ми додаємо 2 ( +&2) до вводу, щоб гарантувати, що у нас завжди достатньо елементів для створення таблиці навіть для 0 або 1 входів.

Після того, як у нас з’явиться таблиця над рішенням, це тривіально. Ми просто скануємо суму рядків +/\, а потім видаляємо перший рядок, вирівнюємо, беремо унікальний і сортуємо /:~@~.@,@}.. Нарешті, {використовує оригінальний вхід, щоб індексувати цей результат, виробляючи відповідь.

Гая , 18 байт

)┅:1D¤*‡+⊣¦tv<_uȯE

Спробуйте в Інтернеті!

Індекс на основі 1.

Це досить сумна відповідь з довгим носом: )┅:Напевно, хочеться, щоб його можна було покатати далі.

Копіює алгоритм, заданий відповіддю Луїса Мендо

R , 65 62 байти

-1 байт завдяки Джузеппе.

n=scan();unique(sort(diffinv(t(outer(2:n,1:n,"^")))[3:n,]))[n]

Спробуйте в Інтернеті!

1-індексований.

$a^i$$x=1$

Зауважте, що sort(unique(...))це не спрацювало, як uniqueдало б унікальні рядки матриці, а не унікальні записи. Використання unique(sort(...))робіт, оскільки sortперетворюється у векторний.

JavaScript (ES7), 76 байт

1-індексований.

f=(n,a=[i=2])=>(n-=a.some(j=>a.some(k=>(s+=j**k)==i,s=j)))?f(n,[...a,++i]):i

Спробуйте в Інтернеті!

JavaScript (ES7), 89 байт

1-індексований.

n=>eval('for(a=[i=1e4];--i>1;)for(s=1e8+i,x=1;a[s+=i**++x]=x<26;);Object.keys(a)[n]-1e8')

Спробуйте в Інтернеті!

Мова Вольфрама (Mathematica) , 51 байт

(Union@@Array[Sum[(#2+1)^k,{k,#+1}]&,{30,#}])[[#]]&

Спробуйте в Інтернеті!

1-індексований

-8 байт від @attinat

Вугілля деревне , 36 байт

ＮθＦθＦθ⊞υ÷⁻Ｘ⁺²ι⁺³κ⁺²ι⊕ιＦ⊖θ≔Φυ›κ⌊υυＩ⌊υ

Спробуйте в Інтернеті! Посилання на багатослівну версію коду. 1-індексований. Використовує алгоритм Луїса Мендо. Пояснення:

Ｎθ

$n$

ＦθＦθ⊞υ

$n$$n$

÷⁻Ｘ⁺²ι⁺³κ⁺²ι⊕ι

$\sum_1^x a^i = \frac{a^{x+1}-a}{a-1}$

Ｆ⊖θ≔Φυ›κ⌊υυ

$n-1$

Ｉ⌊υ

Роздрукуйте найменший залишився номер грифона.

Japt , 23 байти

Шановний Джебус! Або я справді забув, як грати в гольф, або випивка нарешті приймає свою справу!

Не прямий порт рішення Джонатана, але дуже натхненний його спостереженням.

@ÈÇXìZ mÉ ìZÃeÄ}fXÄ}gNÅ

Спробуй це

05AB1E , 12 байт

L¦ãε`LmO}êIè

0-індексований

$n$

Пояснення:

L             # Create a list in the range [1, (implicit) input-integer]
              #  i.e. 4 → [1,2,3,4]
 ¦            # Remove the first item to make the range [2, input-integer]
              #  i.e. [1,2,3,4] → [2,3,4]
  ã           # Create each possible pair of this list by using the cartesian product
              #  i.e. [2,3,4] → [[2,2],[2,3],[2,4],[3,2],[3,3],[3,4],[4,2],[4,3],[4,4]]
   ε          # Map each pair to:
    `         #  Push the values of the pair separately to the stack
              #   i.e. [4,3] → 4 and 3
     L        #  Take the list [1, value] for the second value of the two
              #   i.e. 3 → [1,2,3]
      m       #  And then take the first value to the power of each integer in this list
              #   i.e. 4 and [1,2,3] → [4,16,64]
       O      #  After which we sum the list
              #   i.e. [4,16,64] → 84
        }ê    # After the map: uniquify and sort the values
              #  i.e. [6,14,30,12,39,120,20,84,340] → [6,12,14,20,30,39,84,120,340]
          Iè  # And index the input-integer into it
              #  i.e. [6,12,14,20,30,39,84,120,340] and 4 → 30
              # (after which the result is output implicitly)