Вступ (може бути проігноровано)

Розміщення всіх натуральних чисел у звичайному порядку (1, 2, 3, ...) трохи нудно, чи не так? Отже, ось низка викликів навколо перестановок (перестановок) усіх натуральних чисел. Це шостий виклик у цій серії (посилання на перший , другий , третій , четвертий та п’ятий виклики).

Цей виклик має м’яку великодню тему (адже це Великдень). Я взяв своє натхнення у цього дуже прикрашеного (і на мою особисту думку досить некрасивого) гусячого яйця.

Це нагадало мені спіраль Улама , де всі додатні цілі числа розміщені в спіралі проти годинникової стрілки. Ця спіраль має деякі цікаві особливості, пов’язані з простими числами, але це не актуально для цього завдання.

Ми переходимо до перестановки цього виклику додатних цілих чисел, якщо візьмемо числа у спіралі Улам і відстежимо всі цілі числа за спіраллю, що повертається за годинниковою стрілкою , починаючи з 1. Таким чином, ми отримуємо:

1, 6, 5, 4, 3, 2, 9, 8, 7, 20, 19, 18, 17, 16, 15, 14, 13, 12, 11, 10, 25, 24, 23, etc.

Якби ви намалювали обидві спіралі, ви отримаєте якусь нескінченну сітку (яєчної шкаралупи) спіралей ( зверніть увагу на посилання Нового порядку там ).

$a(n)$$n$$a(n)$

Завдання

$n$$a(n)$$a(n)$

$a(0) = 1; a(1) = 6$

Тестові справи

Input | Output
---------------
1     |  1
5     |  3
20    |  10
50    |  72
78    |  76
123   |  155
1234  |  1324
3000  |  2996
9999  |  9903
29890 |  29796

Правила

• Вхід і вихід - цілі числа.
• Ваша програма повинна хоча б підтримувати введення в межах від 1 до 32767).
• Неправильний вхід (0, плавці, рядки, негативні значення тощо) може призвести до непередбачуваного виводу, помилок або (не) визначеної поведінки.
• Застосовуються правила вводу / виводу за замовчуванням .
• Бійниці за замовчуванням заборонені.
• Це код-гольф , тому найкоротші відповіді в байтах виграють

Желе ,  16 14 11 10 9  8 байт

-1 завдяки Лінн (мод-2; логічне НЕ; додати до себе: Ḃ¬+-> побітовое АБО з 1: |1)

|1×r)ẎQi

Монадический Посилання приймає ціле число, n, що дає ціле число, a(n).

$\lceil\frac n2\rceil$

½‘|1×rƲ€ẎQi$\lceil\frac{\lfloor\sqrt n\rfloor+1}2\rceil$

Як?

Перестановка полягає в тому, щоб прийняти натуральні числа у зворотних відрізках довжини [1,5,3,11,5,17,7,23,9,29,11,35,13,...]- непарні додатні цілі числа, перемежовані з натуральними числами, що збігаються з п’ятьма модулем шість, тобто [1, 2*3-1, 3, 4*3-1, 5, 6*3-1, 7, 8*3-1, 9, ...].

Це те саме, що об'єднуючи, а потім дедублювати зворотні діапазони, [1..x]де xє кумулятивні суми цих довжин зрізу (тобто максимум кожного зрізу) [1,6,9,20,25,42,49,72,81,110,121,156,169,...], - це непарні цілі числа, що перетинаються з парними числами, помноженими на самі нарощені, тобто [1*1, 2*3, 3*3, 4*5, 5*5, 6*7, 7*7,...].

Оскільки відмінності є більшими за 1, ми можемо зберегти байт (реверсування), будуючи діапазони [x..k]безпосередньо, де kє 1-індексований індекс фрагмента.

$P(n) = v \iff P(v) = n$n|1×r)ẎQị@n|1×r)ẎQi

|1×r)ẎQi - Link: integer, n       e.g. 10
    )    - for each k in [1..n]:  vs = [ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10]
|1       -   bitwise-OR (k) with 1     [ 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 9,11]
  ×      -   multiply (by k)           [ 1, 6, 9,20,25,42,49,72,81,110]
   r     -   inclusive range (to k)    [[1],[6..2],[9..3],[20..4],...,[110..10]]
     Ẏ   - tighten                     [1,6,5,4,3,2,9,8,7,6,5,4,3,20,...,4,......,110,...,10]
      Q  - de-duplicate                [1,6,5,4,3,2,9,8,7,20,...,10,......,110,...82]
       i - first index with value (n)  20

JavaScript (ES7),  46 45  41 байт

0-індексований.

n=>((x=n**.5+1&~1)*2-(n<x*x+x)*4+3)*x+1-n

Спробуйте в Інтернеті!

Як?

Це засновано на 1-індексованій формулі, використаній у прикладних програмах A090861 .

$x_n$$0$

Спробуйте в Інтернеті!

$k_n$$6$$-2$

Спробуйте в Інтернеті!

$a_n$

Спробуйте в Інтернеті!

Що можна перекласти на:

n=>8*(x=(n-1)**.5+1>>1)*x+(n<=4*x*x+2*x?-2:6)*x+2-n

Здійснення 0-індексування економить 5 байт відразу:

n=>8*(x=n**.5+1>>1)*x+(n<4*x*x+2*x?-2:6)*x+1-n

Формулу можна додатково спростити, використовуючи:

який може бути виражений як:

x=n**.5+1&~1

призводить до:

n=>2*(x=n**.5+1&~1)*x+(n<x*x+x?-1:3)*x+1-n

і, нарешті:

n=>((x=n**.5+1&~1)*2-(n<x*x+x)*4+3)*x+1-n

Мова Вольфрама (Mathematica) , 60 байт

8(s=⌊(⌊Sqrt[#-1]⌋+1)/2⌋)^2-#+2+If[#<=4s^2+2s,-2,6]s&

Спробуйте в Інтернеті!

MATL , 12 11 байт

Eq1YL!tPG=)

Спробуйте в Інтернеті!

Дуже неефективна пам'ять. Попередження X^kробить його більш ефективним .

C # (Visual C # Interactive Compiler) , 67 байт

n=>8*(x=(int)Math.Sqrt(--n)+1>>1)*x+(n<4*x*x+2*x?-2:6)*x+1-n;int x;

Спробуйте в Інтернеті!

Python 3.8, 104 74 65 60 57 байт

lambda n:(-2,6)[n>4*(x:=(n**.5+1)//2)*x+2*x]*x+2+~n+8*x*x

Редагувати: Дякую Джонатану Аллану за те, що він отримав від 74 до 57 байт!

Це рішення використовує індексацію на основі 0.

Python 3.8 (передвипуск) , 53 байти

Прямий порт відповіді JavaScript на Арнаульді, перейдіть до цього, та / або відповідь Mathematica J42161217 та / або відповідь Python Kapocsi :)

lambda n:((x:=int(n**.5+1)&-2)*2-(n<x*x+x)*4+3)*x+1-n

0-індексований.

Спробуйте в Інтернеті!

Befunge, 67 57 байт

Це рішення передбачає індексацію на основі 0 для вхідних значень.

p&v-*8p00:+1g00:<
0:<@.-\+1*g00+*<|`
0g6*\`!8*2+00g4^>$:0

Спробуйте в Інтернеті!

Пояснення

Почнемо з обчислення "радіуса", на якому вхід n знайдеться циклом:

radius = 0
while n > 0
  radius += 1
  n -= radius*8

В кінці циклу попереднє значення n - зміщення в спіраль на цьому радіусі:

offset = n + radius*8

Тоді ми можемо визначити, чи перебуваємо ми на верхній або нижній частині спіралі так:

bottom = offset >= radius*6

І як тільки ми отримаємо всі ці деталі, значення спіралі обчислюється з:

value = ((bottom?10:2) + 4*radius)*radius + 1 - offset

Радіус - єдине значення, яке нам потрібно зберігати як "змінну", обмежуючи його максимальним значенням 127 в Befunge-93, тому цей алгоритм може обробляти входи до 65024.

Japt , 15 байт

Розчин желейного порту Джонатана. 1-індексований.

gUòȲ+X*v)õÃcÔâ

Спробуй це

gUòȲ+X*v)õÃcÔâ     :Implicit input of integer U
g                   :Index into
 Uò                 :  Range [0,U]
   È                :  Map each X
    ²               :    Square X
     +X*            :    Add X multiplied by
        v           :    1 if X is divisible by 2, 0 otherwise
         )          :    Group result
          õ         :    Range [1,result]
           Ã        :  End map
            c       :  Flatten
             Ô      :    After reversing each
              â     :  Deduplicate

C ++ (gcc) , 88 байт

#import<cmath>
int a(int n){int x=(sqrt(n-1)+1)/2;return x*(8*(x+(n>4*x*x+2*x))-2)+2-n;}

1-індексований; використовує формулу на сторінці OEIS, але маніпулює, щоб зберегти кілька байт.

Спробуйте в Інтернеті!