Пропозиція з теорії чисел (для наших цілей) являє собою послідовність наступних символів:

• 0і '(наступник) - наступник означає +1, так0'''' = 0 + 1 + 1 + 1 + 1 = 4
• +(додавання) та *(множення)
• = (дорівнює)
• (і )(дужки)
• логічний оператор nand( a nand bє not (a and b))
• forall (універсальний кількісний показник)

• v0, v1, v2, І т.д. (змінні)

  Ось приклад речення:

forall v1 (forall v2 (forall v3 (not (v1*v1*v1 + v2*v2*v2 = v3*v3*v3))))

Ось not xскорочення x nand x- власне речення використовує (v1*v1*v1 + v2*v2*v2 = v3*v3*v3) nand (v1*v1*v1 + v2*v2*v2 = v3*v3*v3), тому що x nand x = not (x and x) = not x.

Це говорить про те, що для кожної комбінації трьох натуральних чисел v1, v2і v3, це не так, що v1 ³ + v2 ³ = v3 ³ (що було б істинним внаслідок останньої теореми Ферма, за винятком того факту, що воно отримає 0 ^ 3 + 0 ^ 3 = 0 ^ 3).

На жаль, як довів Гедель, неможливо визначити, чи є речення в теорії чисел вірним чи ні.

Це є можливим, однак, якщо ми обмежуємо безліч натуральних чисел для кінцевого безлічі.

Отже, ця задача полягає у визначенні того, чи є істинним речення теорії чисел, якщо прийняти модуль n , для якогось додатного цілого числа n. Наприклад, речення

forall v0 (v0 * v0 * v0 = v0)

(твердження, що для всіх чисел x, x ³ = x)

Чи не відноситься до звичайної арифметики (наприклад , 2 ³ = 8 ≠ 2), але це вірно , коли береться за модулю 3:

0 * 0 * 0 ≡ 0 (mod 3)
1 * 1 * 1 ≡ 1 (mod 3)
2 * 2 * 2 ≡ 8 ≡ 2 (mod 3)

Формат вводу та виводу

Вхід - це речення та додатне ціле число nв будь-якому "розумному" форматі. Ось кілька прикладів розумних форматів речення forall v0 (v0 * v0 * v0 = v0)в теорії чисел за модулем 3:

("forall v0 (v0 * v0 * v0 = v0)", 3)
"3:forall v0 (((v0 * v0) * v0) = v0)"
"(forall v0)(((v0 * v0) * v0) = v0) mod 3" 
[3, "forall", "v0", "(", "(", "(", "v0", "*", "v0", ")", "*", "v0", ")", "=", "v0", ")"]
(3, [8, 9, 5, 5, 5, 9, 3, 9, 6, 3, 9, 6, 4, 9, 6]) (the sentence above, but with each symbol replaced with a unique number)
"f v0 = * * v0 v0 v0 v0"
[3, ["forall", "v0", ["=", ["*", "v0", ["*", "v0", "v0"]], "v0"]]]
"3.v0((v0 * (v0 * v0)) = v0)"

Введення даних може бути із stdin, аргументу командного рядка, файлу тощо.

Програма може мати будь-які два різних виходи щодо того, чи є пропозиція істинним чи ні, наприклад, воно може вивести, yesякщо це правда, а noякщо ні.

Вам не потрібно підтримувати одну змінну, яка є об'єктом forallдвічі, наприклад (forall v0 (v0 = 0)) nand (forall v0 (v0 = 0)). Ви можете припустити, що ваш вхід має дійсний синтаксис.

Тестові справи

forall v0 (v0 * v0 * v0 = v0) mod 3
true

forall v0 (v0 * v0 * v0 = v0) mod 4
false (2 * 2 * 2 = 8 ≡ 0 mod 4)

forall v0 (v0 = 0) mod 1
true (all numbers are 0 modulo 1)

0 = 0 mod 8
true

0''' = 0 mod 3
true

0''' = 0 mod 4
false

forall v0 (v0' = v0') mod 1428374
true

forall v0 (v0 = 0) nand forall v1 (v1 = 0) mod 2
true (this is False nand False, which is true)

forall v0 ((v0 = 0 nand v0 = 0) nand ((forall v1 (v0 * v1 = 0' nand v0 * v1 = 0') nand forall v2 (v0 * v2 = 0' nand v0 * v2 = 0')) nand (forall v3 (v0 * v3 = 0' nand v0 * v3 = 0') nand forall v4 (v0 * v4 = 0' nand v0 * v4 = 0')))) mod 7
true
(equivalent to "forall v0 (v0 =/= 0 implies exists v1 (v0 * v1 = 0)), which states that every number has a multiplicative inverse modulo n, which is only true if n is 1 or prime)

forall v0 ((v0 = 0 nand v0 = 0) nand ((forall v1 (v0 * v1 = 0' nand v0 * v1 = 0') nand forall v2 (v0 * v2 = 0' nand v0 * v2 = 0')) nand (forall v3 (v0 * v3 = 0' nand v0 * v3 = 0') nand forall v4 (v0 * v4 = 0' nand v0 * v4 = 0')))) mod 4
false

Це код-гольф , тому постарайтеся зробити свою програму якомога коротшою!

Python 2 , 252 236 байт

def g(n,s):
 if str(s)==s:return s.replace("'","+1")
 o,l,r=map(g,[n]*3,s);return['all((%s)for %s in range(%d))'%(r,l,n),'not((%s)*(%s))'%(l,r),'(%s)%%%d==(%s)%%%d'%(l,n,r,n),'(%s)%s(%s)'%(l,o,r)]['fn=+'.find(o)]
print eval(g(*input()))

Спробуйте в Інтернеті!

Приймає введення як вкладений префікс-синтаксис, з fзамість forallі nзамість nand:

[3, ["f", "v0", ["=", ["*", "v0", ["*", "v0", "v0"]], "v0"]]]

APL (Dyalog Unicode) , 129 байт ^SBCS

{x y z←3↑⍵⋄7≤x:y×7<x⋄5≡x:∧/∇¨y{⍵≡⍺⍺:⍵⍺⋄x y z←3↑⍵⋄7≤x:⍵⋄6≡x:x(⍺∇y)⋄x(⍺∇⍣(5≢x)⊢y)(⍺∇z)}∘z¨⍳⍺⍺⋄y←∇y⋄6≡x:1+y⋄y(⍎x⊃'+×⍲',⊂'0=⍺⍺|-')∇z}

Спробуйте в Інтернеті!

Візьме дерево синтаксису префікса, як у відповіді python TFeld , але використовуючи ціле кодування. Кодування є

plus times nand eq forall succ zero ← 1 2 3 4 5 6 7

і кожній змінній присвоюється число, починаючи з 8. Це кодування трохи відрізняється від використовуваного у версії, що не використовується для гольфу нижче, оскільки я налаштував її під час гольф-коду.

Завдання включає лише два входи (AST і модуль), але записування його як оператора замість функції дозволяє уникнути згадування модуля багато разів (оскільки воно завжди передається через рекурсивні дзвінки).

Безголовка з коментарями

⍝ node types; anything ≥8 will be considered a var
plus times eq nand forall succ zero var←⍳8
⍝ AST nodes have 1~3 length, 1st being the node type
⍝ zero → zero, succ → succ arg, var → var | var value (respectively)

⍝ to (from replace) AST → transform AST so that 'from' var has the value 'to' attached
replace←{
  ⍵≡⍺⍺:⍵⍺             ⍝ variable found, attach the value
  x y z←3↑⍵
  zero≤x: ⍵           ⍝ zero or different variable: keep as is
  succ≡x: x(⍺∇y)      ⍝ succ: propagate to y
  forall≡x: x y(⍺∇z)  ⍝ forall: propagate to z
  x(⍺∇y)(⍺∇z)         ⍝ plus, times, eq, nand: propagate to both args
}
⍝ (mod eval) AST → evaluate AST with the given modulo
eval←{
  x y z←3↑⍵
  zero≡x:   0
  var≤x:    y                    ⍝ return attached value
  forall≡x: ∧/∇¨y replace∘z¨⍳⍺⍺  ⍝ check all replacements for given var
  succ≡x:   1+∇y
  plus≡x:   (∇y)+∇z
  times≡x:  (∇y)×∇z
  eq≡x:     0=⍺⍺|(∇y)-∇z         ⍝ modulo equality
  nand≡x:   (∇y)⍲∇z              ⍝ nand symbol does nand operation
}

Спробуйте в Інтернеті!