24

Враховуючи двовимірні положення та швидкості пари більярдних кульок безпосередньо перед ударом, обчисліть їх швидкості після ідеально пружного зіткнення . Кульки вважаються ідеальними сферами (або рівнозначно: кола) з однаковим радіусом, однаковою масою, рівномірною щільністю і без тертя.

Введення складається з 8 чисел: p0x,p0y,v0x,v0y,p1x,p1y,v1x,v1yде p0x,p0yзнаходиться центр першого кулі, v0x,v0yйого швидкість і аналогічно p1x,p1y,v1x,v1yдля другого кулі. Ви можете приймати введення в будь-якому порядку та структурувати будь-яким зручним способом, наприклад, як масив 2x2x2 або, можливо, масив 2x2 для pта два масиви довжиною-2 для v0і v1. Також добре приймати складні числа (якщо ваша мова їх підтримує) замість пар xy. Однак вам не слід приймати дані в системі координат, відмінній від декартової, тобто полярна заборонена.

Зауважте, що радіус більярдного кулі дорівнює половині відстані між p0x,p0yі p1x,p1y, тому він не задається як явна частина вводу.

Напишіть програму або функцію, яка виводить або повертає 4 числа в будь-якому зручному декартовому поданні: значення після зіткнення v0x,v0y,v1x,v1y.

Можливий алгоритм:

знайти нормальну лінію, яка проходить через обидва центри
знайдіть дотичну лінію, яка проходить через середину між двома центрами і перпендикулярна до нормальної лінії
змінюється в системі координат і ламаються v0x,v0yі v1x,v1yв їх тангенціальні і нормальні компоненти v0t,v0nіv1t,v1n
поміняти звичайні компоненти v0та v1, зберігаючи їх дотичні компоненти
повернутися до початкової системи координат

Тести (результати округлені до 5 знаків після коми):

   p0x   p0y   v0x   v0y   p1x   p1y   v1x   v1y ->      v0x'       v0y'       v1x'       v1y'
[-34.5,-81.8, 34.7,-76.1, 96.2,-25.2, 59.2,-93.3] [  49.05873, -69.88191,  44.84127, -99.51809]
[ 36.9, 77.7,-13.6,-80.8, -7.4, 34.4, 15.1,-71.8] [   5.57641, -62.05647,  -4.07641, -90.54353]
[-51.0, 17.6, 46.1,-80.1, 68.6, 54.0,-35.1,-73.9] [ -26.48927,-102.19239,  37.48927, -51.80761]
[-21.1,-52.6,-77.7, 91.5, 46.0, 94.1, 83.8, 93.7] [ -48.92598, 154.40834,  55.02598,  30.79166]
[ 91.3, -5.3, 72.6, 89.0, 97.8, 50.5, 36.2, 85.7] [  71.73343,  81.56080,  37.06657,  93.13920]
[-79.9, 54.9, 92.5,-40.7,-20.8,-46.9,-16.4, -0.9] [  47.76727,  36.35232,  28.33273, -77.95232]
[ 29.1, 80.7, 76.9,-85.1,-29.3,-49.5,-29.0,-13.0] [  86.08581, -64.62067, -38.18581, -33.47933]
[ 97.7,-89.0, 72.5, 12.4, 77.8,-88.2, 31.5,-34.0] [  33.42847,  13.97071,  70.57153, -35.57071]
[-22.2, 22.6,-61.3, 87.1, 67.0, 57.6,-15.3,-23.1] [ -58.90816,  88.03850, -17.69184, -24.03850]
[-95.4, 15.0,  5.3, 39.5,-54.7,-28.5, -0.7,  0.8] [  21.80656,  21.85786, -17.20656,  18.44214]
[ 84.0,-26.8,-98.6,-85.6,-90.1, 30.9,-48.1, 37.2] [ -89.76828, -88.52700, -56.93172,  40.12700]
[ 57.8, 90.4, 53.2,-74.1, 76.4,-94.4,-68.1,-69.3] [  51.50525, -57.26181, -66.40525, -86.13819]
[ 92.9, 69.8,-31.3, 72.6,-49.1,-78.8,-62.3,-81.6] [-123.11680, -23.48435,  29.51680,  14.48435]
[-10.3,-84.5,-93.5,-95.6, 35.0, 22.6, 44.8, 75.5] [ -11.12485,  99.15449, -37.57515,-119.25449]
[ -3.9, 55.8,-83.3,  9.1, -2.7,-95.6, 37.7,-47.8] [ -82.84144, -48.75541,  37.24144,  10.05541]
[-76.5,-88.4,-76.7,-49.9, 84.5, 38.0,  4.2, 18.4] [   6.52461,  15.43907, -79.02461, -46.93907]
[ 64.2,-19.3, 67.2, 45.4,-27.1,-28.7, 64.7, -4.3] [  59.66292,  44.62400,  72.23708,  -3.52400]
[  9.8, 70.7,-66.2, 63.0,-58.7, 59.5, 83.7,-10.6] [  68.07646,  84.95469, -50.57646, -32.55469]
[ 62.9, 46.4, 85.0, 87.4, 36.3,-29.0,-63.0,-56.3] [  23.53487, -86.82822,  -1.53487, 117.92822]
[ -5.5, 35.6, 17.6,-54.3, -2.2, 66.8,-15.2, 11.8] [  24.15112,   7.63786, -21.75112, -50.13786]

Найкоротші виграші. Без лазівки

дякуємо @Anush за допомогу виправити колір тла діаграми

— ngn
джерело

16

Python 3 , 67 66 байт, 53 байт

def f(p,v,q,w):p-=q;d=((v-w)/p).real*p;return v-d,w+d

Спробуйте в Інтернеті!

-1 байт завдяки @ngn

-13 байт завдяки @Neil

Ця функція fприймає чотири складні числа як вхідні дані і повертає два складних числа. Версія без вогків показана нижче.

Безумовно

def elastic_collision_complex(p1, v1, p2, v2):
    p12 = p1 - p2
    d = ((v1 - v2) / p12).real * p12
    return v1 - d, v2 + d

Спробуйте в Інтернеті!

Формула обчислення виведена на основі 2D-векторної формули на wiki . Оскільки $m_1=m_2$ , формулу можна спростити до

{\begin{cases} v_{1}^{'} = v_{1} - d v \\ v_{2}^{'} = v_{2} + d v \end{cases}

$\left\{\begin{array}{l} v_1'=v_1-dv \\ v_2'=v_2+dv\end{array}\right.$

Нехай $x_{12}=x_1-x_2$ і $v_{12}=v_1-v_2$ , маємо

d v = \frac{⟨ v_{12}, x_{12} ⟩}{‖ x_{12} ‖^{2}} x_{12} = \frac{R e (v_{12} \cdot \bar{x_{12}})}{x_{12} \cdot \bar{x_{12}}} x_{12} = R e (\frac{v_{12} \cdot \bar{x_{12}}}{x_{12} \cdot \bar{x_{12}}}) x_{12} = R e (\frac{v_{12}}{x_{12}}) x_{12}

$dv=\frac{\langle v_{12}, x_{12}\rangle}{\|x_{12}\|^2}x_{12} = \frac{Re(v_{12}\cdot\overline{x_{12}})}{x_{12}\cdot \overline{x_{12}}}x_{12}=Re\left(\frac{v_{12}\cdot\overline{x_{12}}}{x_{12}\cdot \overline{x_{12}}}\right)x_{12}=Re\left(\frac{v_{12}}{x_{12}}\right)x_{12}$

У програмі, що не має волі, p12 , v1 - v2, dвідповідають $x_{12}$ , $y_{12}$ , і $dv$ , відповідно.

— Джоель
джерело

1

молодець! такий підхід виглядає інакше , ніж відповідь Раміллі perl6, який також використовує складні числа. ви можете зберегти байт , якщо замінити r=p-qз p-=qі в подальшому використовувати pзамість r, як в відповідь Нейла розшарування щільної

— СПП

1

@ngn, це виглядає інакше, але це те саме, що правильно зазначає Джоел. Я написав формулу у формі, яка була добрею для гри в гольф Perl 6, і Джоел, імовірно, використовував ту, яка була кращою для Python. У всякому разі, я не думав, що хтось інший самостійно придумає рішення, використовуючи складні числа. Хороша робота!

— Рамілли

3

Добре, але якщо ви використали алгоритм у питанні, він займе лише 53 байти ...

— Ніл,

1

@Neil Дякую за підказку. Зараз обчислення значно спрощено.

— Джоель

3

Мені дуже подобаються всі ваші чудові рішення та детальні пояснення!

— xnor

11

JavaScript (Node.js) , 90 88 байт

(m,n,o,p,q,r,s,t,u=(q-=m)*q+(r-=n)*r,v=o*q+p*r-s*q-t*r)=>[o-(q*=v/u),p-(v*=r/u),s+q,t+v]

Спробуйте в Інтернеті! Посилання включає тестовий набір. Пояснення: q,rпереставляються як вектор різниці між центрами, і uце квадрат його довжини.v- різниця в крапкових добутках від o,pі s,tдо q,r, тому v/uкоефіцієнт масштабування q,rдає величину швидкості, переданої з o,pна s,t. Редагувати: збережено 2 байти завдяки @Arnauld.

— Ніл
джерело

Я не очікував, що хтось так швидко спростить алгоритм, молодець! ось візуалізація вашого рішення (з поліпшенням

— Арнальда

@ngn Неправильне посилання?

— Ніл

Журнал трубопроводів @Neil gitlab каже, що він повинен бути там. ctrl + f5? стрілки керують червоною кулькою. зміна прискорюється. перевірено на firefox та хром. попередження: звук.

— ngn

@ngn Ах, зараз працюю, дякую! (У мене раніше було 404. Крім того, я використовував приватну вкладку, тому у мене не було звуку за замовчуванням, хоча я не вважав його нав'язливим. І я не потрібний астероїдам, інакше я б попросив "стріляти" "ключ ...)

— Ніл

8

Perl 6 ,75 64 63 61 байт

11 байтів, збережених при переході mapдо forпункту, не потребують розміщення речей у проміжні змінні, mapщоб побачити.

1 байт збережено, змінивши ($^a-$^c)².&{$_/abs}на ($^a-$^c).&{$_/.conj}.

2 байти збережено завдяки @nwellnhof.

{(.($^b+$^d,{$_/.conj}($^a-$^c)*($b-$d).conj)/2 for *-*,*+*)}

Спробуйте в Інтернеті!

Пояснення

Коли в початковому дописі було сказано, що вхідними даними можуть бути складні числа, протистояти було занадто важко ... Отже, це займає 4 складних числа (позиція 1, швидкість 1, позиція 2, швидкість 2) і повертає швидкості як складні числа.

$d = p_1 - p_0$

$v_0/d$ $v_1/d$ $d$

\begin{aligned} v_{0}^{'} & = d (ℜ \frac{v_{1}}{d} + i ℑ \frac{v_{0}}{d}), \\ v_{1}^{'} & = d (ℜ \frac{v_{0}}{d} + i ℑ \frac{v_{1}}{d}) \end{aligned}

$\begin{align*} v_0' &= d \left( \Re \frac{v_1}{d} + \mathrm{i} \Im \frac{v_0}{d} \right), \\ v_1' &= d \left( \Re \frac{v_0}{d} + \mathrm{i} \Im \frac{v_1}{d} \right) \end{align*}$

ℜ

$\Re$

ℑ

$\Im$

⋆

$\star$

v_{0}^{'} = d (ℜ \frac{v_{1}}{d} + i ℑ \frac{v_{0}}{d}) = d [\frac{1}{2} (\frac{v_{1}}{d} + \frac{v_{1}^{⋆}}{d^{⋆}}) + \frac{1}{2} (\frac{v_{0}}{d} - \frac{v_{0}^{⋆}}{d^{⋆}})] = = \frac{d}{2} (\frac{v_{0} + v_{1}}{d} - \frac{v_{0}^{⋆} - v_{1}^{⋆}}{d^{⋆}}) = \frac{1}{2} (v_{0} + v_{1} - \frac{d}{d^{⋆}} (v_{0}^{⋆} - v_{1}^{⋆})) .

$v_0' = d \left( \Re \frac{v_1}{d} + \mathrm{i} \Im \frac{v_0}{d} \right) = d \left[ \frac 1 2 \left( \frac{v_1}{d} + \frac{v_1^\star}{d^\star} \right) + \frac 1 2 \left( \frac{v_0}{d} - \frac{v_0^\star}{d^\star} \right) \right] =\ = \frac d 2 \left( \frac{v_0 + v_1}{d} - \frac{v_0^\star - v_1^\star}{d^\star} \right) = \frac 1 2 \left( v_0 + v_1 - \frac{d}{d^\star} (v_0^\star - v_1^\star) \right).$ The result for

v_{1}^{'}

$v_1'$ can be obtained just by switching

v_{0} \leftrightarrow v_{1}

$v_0 \leftrightarrow v_1$ . All that does is changing a sign:

v_{1}^{'} = \frac{1}{2} [v_{0} + v_{1} + \frac{d}{d^{⋆}} (v_{0}^{⋆} - v_{1}^{⋆})] .

$v_1' = \frac 1 2 \left[ v_0 + v_1 + \frac{d}{d^\star} \left(v_0^\star - v_1^\star\right) \right].$

And that's it. All the program does is just this calculation, golfed a bit.

— Ramillies
джерело

very cool!

— ngn

I don't know much about Perl, but I think you could merge the two conjugate computations into one to save some bytes.

— Joel

1

@Joel — Sadly, I'm pretty sure I can't. The first conjugate is acting on ($^a-$^c) (and only inside a lambda that normalizes this number), the second acts on ($b-$d). So they can't really be reconciled. I could make a function that would just call .conj, but that would only add bytes (because I heavily use the $_ variable, which has the nice property that you can call methods on it without specifying it: .conj instead of $_.conj).

— Ramillies

@Ramillies Thanks for the explanation.

— Joel

How is the δ's magnitude relevant? You're just dividing by δ, switching the real components, and then multiplying by δ again.

— Neil

3

Jelly, 16 bytes

_/×ḋ÷²S¥_/ʋ¥N,$+

Try it online!

A dyadic link taking as its left argument a list of the initial positions [[p0x, p0y], [p1x, p1y]] and its right argument the initial velocities [[v0x, v0y], [v1x, v2y]]. Returns a list of the final velocities [[v0x', v0y'], [v1x', v2y']]

Based on the algorithm used by @Neil’s JavaScript answer so be sure to upvote that one too!

— Nick Kennedy
джерело

3

C (gcc), 140 132 bytes

f(m,n,o,p,q,r,s,t,a)float*a,m,n,o,p,q,r,s,t;{q-=m;r-=n;m=q*q+r*r,n=o*q+p*r-s*q-t*r;q*=n/m;*a++=o-q;n*=r/m;*a++=p-n;*a++=s+q;*a=t+n;}

Try it online!

Basically a port of @Neil's JavaScript answer, but then @ceilingcat shaved off 8 bytes by cleverly reusing m and n to store temporaries.

— G. Sliepen
джерело

2

Python 2, 97 92 bytes

m,n,o,p,q,r,s,t=input()
q-=m
r-=n
a=o*q+p*r-s*q-t*r
a/=q*q+r*r
print o-a*q,p-a*r,s+a*q,t+a*r

Try it online!

Modified version of Neil's approach.

— Erik the Outgolfer
джерело

1

C (gcc), 77 72 bytes

f(p,v,q,w,a)_Complex*a,p,v,q,w;{p-=q;p*=creal((v-w)/p);*a=v-p;a[1]=w+p;}

Try it online!

Based on the python implementation of @Joel

— ceilingcat
джерело

0

APL (Dyalog Classic), 21 bytes

⊢/-{,∘-⍨×/(9○÷⍨)\-⌿⍵}

Try it online!

based on @Joel's answer

in: 2x2 complex matrix, out: complex pair

— ngn
джерело

Зіткнення більярдних куль

Python 3 , 67 66 байт, 53 байт

Безумовно

JavaScript (Node.js) , 90 88 байт

Perl 6 ,75 64 63 61 байт

Пояснення

Jelly, 16 bytes

C (gcc), 140 132 bytes

Python 2, 97 92 bytes

C (gcc), 77 72 bytes

APL (Dyalog Classic), 21 bytes