Функція Ландау ( OEIS A000793 ) задає максимальний порядок елемента симетричної групи . Тут порядок перестановки є найменшим додатним цілим числом таким, що - тотожність - яка дорівнює найменш загальному кратному довжині циклів при розкладі циклу перестановки. Наприклад, що досягається, наприклад, (1,2,3) (4,5,6,7) (8,9,10,11,12,13,14).$g(n)$$S_n$$\pi$$k$$\pi^k$$g(14) = 84$

Тому $g(n)$ також дорівнює максимальному значенню $\operatorname{lcm}(a_1, \ldots, a_k)$ де $a_1 + \cdots + a_k = n$ з $a_1, \ldots, a_k$ додатними цілими числами.

Проблема

Напишіть функцію або програму, яка обчислює функцію Ландау.

Вхідні дані

Позитивне ціле .$n$

Вихідні дані

$g(n)$ - максимальний порядок елемента симетричної групи .$S_n$

Приклади

n    g(n)
1    1
2    2
3    3
4    4
5    6
6    6
7    12
8    15
9    20
10   30
11   30
12   60
13   60
14   84
15   105
16   140
17   210
18   210
19   420
20   420

Оцінка

Це код-гольф : найкоротша програма в байтах виграє. (Тим не менш, найкоротші реалізації на декількох мовах вітаються.)

Зауважте, що жодних вимог, що пред'являються до часу виконання; отже, для вашої реалізації не обов'язково потрібно мати можливість генерувати всі наведені вище приклади в будь-який розумний час.

Стандартні лазівки заборонені.

05AB1E , 6 байт

Åœ€.¿Z

Спробуйте в Інтернеті!

    Ŝ       # integer partitions of the input
      €.¿    # lcm of each
         Z   # maximum

Мова Вольфрама (Mathematica) , 44 байти

Max[PermutationOrder/@Permutations@Range@#]&

Спробуйте в Інтернеті!

Мова Вольфрама (Mathematica) , 31 байт

@DanielSchepler має краще рішення:

Max[LCM@@@IntegerPartitions@#]&

Спробуйте в Інтернеті!

Пітон , 87 байт

f=lambda n,d=1:max([f(m,min(range(d,d<<n,d),key=(n-m).__rmod__))for m in range(n)]+[d])

Спробуйте в Інтернеті!

Рекурсивна функція, яка відстежує решту nдо розділу та запущеного LCM d. Зауважте, що це означає, що нам не потрібно відслідковувати фактичні числа в розділі або скільки з них ми використовували. Ми намагаємось кожну можливу наступну частину, n-mзамінюючи nте, що залишилося m, і dна lcm(d,n-m). Ми беремо максимум цих рекурсивних результатів і dсебе. Коли нічого не залишається n=0, результат є просто d.

Найважливіша річ у тому, що Python не має вбудованих модулів LCM, GCD або основного факторизації. Для цього lcm(d,m-n)ми формуємо список кратних dі беремо значення, що досягають мінімального модуля n-m, тобто з key=(n-m).__rmod__. Оскільки minбуде дано більш раннє значення у випадку зрівняння, це завжди перший ненульовий кратний показник, dякий ділиться на n-m, тому їх LCM. Ми маємо лише кілька кращих dдо того, d*(n-m)щоб гарантувати потрапляння в LCM, але коротше написати d<<n(що є d*2**n), що достатньо, щоб верхні межі Python були ексклюзивними.

mathБібліотека Python 3 має gcd(але не lcm) після 3,5, що на кілька байт коротше. Завдяки @Joel за скорочення імпорту.

Python 3.5+ , 84 байти

import math
f=lambda n,d=1:max([f(m,d*(n-m)//math.gcd(n-m,d))for m in range(n)]+[d])

Спробуйте в Інтернеті!

Використання numpy's lcmще коротше.

Python з numpy , 77 байт

from numpy import*
f=lambda n,d=1:max([f(m,lcm(d,n-m))for m in range(n)]+[d])

Спробуйте в Інтернеті!

Haskell , 44 байти

(%1)
n%t=maximum$t:[(n-d)%lcm t d|d<-[1..n]]

Спробуйте в Інтернеті!

Желе , 7 байт

Œṗæl/€Ṁ

Спробуйте в Інтернеті!

Монадична посилання, яка приймає ціле число за свій аргумент і повертає ціле число.

Пояснення

Œṗ      | Integer partitions
  æl/€  | Reduce each using LCM
      Ṁ | Maximum

JavaScript (ES6), 92 байти

$\operatorname{lcm}(a_1,\ldots,a_k)$$a_1+\ldots+a_k$$n$

f=(n,i=1,l=m=0)=>n?i>n?m:f(n-i,i,l*i/(G=(a,b)=>b?G(b,a%b):a)(l,i)||i)&f(n,i+1,l)|m:m=l>m?l:m

Спробуйте в Інтернеті!

JavaScript (ES6), 95 байт

f=(n,i=1,m)=>i>>n?m:f(n,i+1,i<m|(g=(n,k=2,p=0)=>k>n?p:n%k?p+g(n,k+1):g(n/k,k,p*k||k))(i)>n?m:i)

Спробуйте в Інтернеті!

Як?

Ми визначаємо:

(це A008475 )

Тоді ми використовуємо формулу (від A000793 ):

Perl 6 , 50 байт

{max .map:{+(.[$_],{.[@^a]}...$_,)}}o&permutations

Спробуйте в Інтернеті!

Перевіряє всі перестановки безпосередньо, як рішення Ruby @ histocrat's.

Пояснення

                                     &permutations  # Permutations of [0;n)
{                                  }o  # Feed into block
     .map:{                       }  # Map permutations
                           ...  # Construct sequence
             .[$_]  # Start with permutation applied to itself [1]
                  ,{.[@^a]}  # Generate next item by applying permutation again
                              $_,  # Until it matches original permutation [2]
           +(                    )  # Length of sequence
 max  # Find maximum

¹ Ми можемо використовувати будь-яку послідовність із п яти різних елементів для перевірки, тому просто беремо перестановку.

² Якщо кінцевою точкою є контейнер, ...оператор послідовності розумно збігається з першим елементом. Отже, ми повинні пройти одноелементний список.

Рубін , 77 байт

f=->n{a=*0...n;a.permutation.map{|p|(1..).find{a.map!{|i|p[i]}==a.sort}}.max}

Спробуйте в Інтернеті!

(1..) Синтаксис нескінченного діапазону занадто новий для TIO, тому посилання встановлює довільну верхню межу.

Для цього використовується пряме визначення - перерахуйте всі можливі перестановки, а потім протестуйте кожну, мутуючи, aпоки вона не повернеться у вихідне положення (що також зручно означає, що я можу просто мутувати вихідний масив у кожному циклі).

Гая , 25 23 22 байт

,:Π¤d¦&⊢⌉/
1w&ḍΣ¦¦⇈⊢¦⌉

Спробуйте в Інтернеті!

Відсутність LCM або цілих розділів робить цей підхід досить тривалим.

,:Π¤d¦&⊢⌉/		;* helper function: LCM of 2 inputs


1w&ḍΣ¦¦			;* push integer partitions
         ¦		;* for each
       ⇈⊢		;* Reduce by helper function
	  ⌉		;* and take the max

Haskell, 70 67 байт

f n=maximum[foldl1 lcm a|k<-[1..n],a<-mapM id$[1..n]<$[1..k],sum a==n]

Спробуйте в Інтернеті!

Редагувати: -3 байти завдяки @xnor.

Python 3 + numpy, 115 102 99 байт

-13 байт завдяки @Daniel Shepler

Ще 3 байти від @Daniel Shepler

import numpy
c=lambda n:[n]+[numpy.lcm(i,j)for i in range(1,n)for j in c(n-i)]
l=lambda n:max(c(n))

Спробуйте в Інтернеті!

Метод грубої сили: знайдіть усі можливі послідовності a, b, c, ... де a + b + c + ... = n, а потім виберіть ту, яка має найбільший lcm.

Pyth , 24 15 байт

eSm.U/*bZibZd./

Спробуйте в Інтернеті!

             ./Q  # List of partitions of the input
  m               # map that over lambda d:
   .U       d     # reduce d (with starting value first element of the list) on lambda b,Z:
     /*bZgbZ      # (b * Z) / GCD(b, Z)
 S                # this gives the list of lcms of all partitions. Sort this
e                 # and take the last element (maximum)

-9 байт: звернули увагу і помітили, що Pyth насправді має вбудований GCD ( i).