Починаючи з Евкліда, ми знали, що нескінченно багато праймів. Аргумент від противного: якщо існує лише кінцеве число, скажімо , $p_1,p_2,...,p_n$ , то точно $m:=p_1\cdot p_2\cdot...\cdot p_n+1$ не ділиться жодним із цих праймес, тому його основна факторизація повинна дати новий прайм, який не був у списку. Тож припущення, що існують лише кінцеві прости, є хибним.

Тепер припустимо, що $2$ є єдиним простим. Метод зверху дає $2+1=3$ як новий (можливий) прайм. Застосовуючи метод знову, виходить $2\cdot 3+1=7$ , а потім $2\cdot 3\cdot 7+1=43$ , потім $2\cdot 3\cdot 7\cdot 43+1=13\cdot 139$ , тому і $13$ і $139$- це нові праймери тощо. У випадку, коли ми отримуємо складене число, ми просто беремо найменше нове просте число. Це призводить до A000945 .

Виклик

Дано просте $p_1$ і ціле $n$ число обчислити$n$ -й член$p_n$ послідовності, визначеної наступним чином:

Ці послідовності відомі як наслідки Евкліда- Малліна.

Приклади

Для $p_1 = 2$ :

1 2
2 3
3 7
4 43
5 13
6 53
7 5
8 6221671
9 38709183810571

Для $p_1 = 5$ ( A051308 ):

1 5
2 2
3 11
4 3
5 331
6 19
7 199
8 53
9 21888927391

Для $p_1 = 97$ ( A051330 )

1 97
2 2
3 3
4 11
5 19
6 7
7 461
8 719
9 5

JavaScript (ES6),  45  44 байт

Приймає введення як (n)(p1), де $n$ - індексовано 0.

n=>g=(p,d=2)=>n?~p%d?g(p,d+1):--n?g(p*d):d:p

Спробуйте в Інтернеті!

Прокоментував

n =>                // n = 0-based index of the requested term
  g = (             // g is a recursive function taking:
    p,              //   p = current prime product
    d = 2           //   d = current divisor
  ) =>              //
    n ?             // if n is not equal to 0:
      ~p % d ?      //   if d is not a divisor of ~p (i.e. not a divisor of p + 1):
        g(p, d + 1) //     increment d until it is
      :             //   else:
        --n ?       //     decrement n; if it's still not equal to 0:
          g(p * d)  //       do a recursive call with the updated prime product
        :           //     else:
          d         //       stop recursion and return d
    :               // else:
      p             //   don't do any recursion and return p right away

05AB1E , 6 байт

Це створює і нескінченний вихідний потік.

λλP>fW

Спробуйте в Інтернеті! (посилання включає дещо змінену версію λ£λP>fW, яка замість цього виводить першу $n$ термінів)

Пояснення

Дуже прямо. Враховуючи $p_1$ і $n$ , програма виконує наступні дії:

• Починається з $p_1$ як початковий параметр для нескінченного потоку (який генерується за допомогою першого λ) і починає рекурсивне середовище, яке генерує новий термін після кожного наміру і додає його до потоку.
• Другий λ, що зараз використовується всередині рекурсивного середовища, змінює свою функціональність: тепер він витягує всі створені раніше елементи (тобто список $[\lambda_0, \lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_{n-1}]$ ), де $n$ являє собою поточний номер ітерації.
• P$\lambda_0\lambda_1\lambda_2 \cdots \lambda_{n-1}$>fW

J , 15 байт

-10 байт завдяки милям!

Повернення послідовності до n (нульове значення) - завдяки @miles

(,0({q:)1+*/)^:

Спробуйте в Інтернеті!

J , 25 байт

Повертає nth елемент

_2{((],0{[:q:1+*/@])^:[])

Спробуйте в Інтернеті!

Python 2 , 56 байт

i=input();k=1
while 1:
 k*=i;print i;i=2
 while~k%i:i+=1

Спробуйте в Інтернеті!

Прокоментував

i=input() # the initial prime
k=1       # the product of all previous primes
while 1:  # infinite loop
 k*=i     # update the product of primes
 print i  # output the last prime
 i=2      # starting at two ...
 while~k%i: # find the lowest number that divides k+1
  i+=1
            # this our new prime

Спробуйте в Інтернеті!

Желе , 8 байт

P‘ÆfṂṭµ¡

Повна програма (з використанням нульової індексації), яка приймає $P_0$ і $n$ який друкує представлення списку желе $P_0$ до $P_n$включно. (Як діадичне посилання, n=0нам буде повернуто ціле число, а не список.)

Спробуйте в Інтернеті!

Як?

P‘ÆfṂṭµ¡ - Link: integer, p0; integer n
      µ¡ - repeat the monadic chain to the left n times, starting with x=p0:
P        -   product of x (p0->p0 or [p0,...,pm]->pm*...*p0)
 ‘       -   increment
  Æf     -   prime factors
    Ṃ    -   minimum
     ṭ   -   tack
         - implicit print

05AB1E , 8 байт

GDˆ¯P>fß

Перший вхід - $n$, друге - просте $p$.

Спробуйте в Інтернеті або в деяких інших тестових випадках (у тест-наборі відсутні тестові випадки$n\geq9$, бо для $p=2$ і $p=5$вбудований fзаймає занадто багато часу).

Пояснення:

G         # Loop (implicit input) n-1 amount of times:
 Dˆ       #  Add a copy of the number at the top of the stack to the global array
          #  (which will take the second input p implicitly the first iteration)
   ¯      #  Push the entire global array
    P     #  Take the product of this list
     >    #  Increase it by 1
      f   #  Get the prime factors of this number (without counting duplicates)
       ß  #  Pop and only leave the smallest prime factor
          # (after the loop: implicitly output the top of the stack as result)

Japt , 12 11 байт

Напружився, щоб виправити це право, так що, можливо, пропустив щось, що можна пограти в гольф.

Приймає nяк перший вхід і p1як однотонний масив як другий. Повертає перші nдоданки. Змініть, hщоб gповернути замість цього n0-індексований термін.

@Z×Ä k Î}hV

Спробуй це

@Z×Ä k Î}hV     :Implicit input of integer U=n & array V=[p1]
@               :Function taking an array as an argument via parameter Z
 Z×             :  Reduce Z by multiplication
   Ä            :  Add 1
     k          :  Prime factors
       Î        :  First element
        }       :End function
         hV     :Run that function, passing V as Z, and
                : push the result to V.
                : Repeat until V is of length U

Сітківка , 56 байт

,|$
$*
"$&"{~`.+¶
$$¶_
)`\b(__+?)\1*$
$.1$*
1A`
.$

\*
,

Спробуйте в Інтернеті! Вводиться як кількість нових термінів, які потрібно додати в першому рядку, і початкові терміни (и) у другому рядку. Примітка: отримує дуже повільно, оскільки використовує одинарну факторизацію, тому їй потрібно створити рядок відповідної довжини. Пояснення:

,|$
$*

Замініть коми в насіннєвих термінах на *s та додайте a *. Це створює вираз Retina для рядка довжини добутку значень.

"$&"{
)`

Повторіть цикл кількість разів, заданих першим входом.

~`.+¶
$$¶_

Тимчасово замініть число в першому рядку на a $і додайте _до другого рядка, а потім оцініть результат як програму Retina, додавши таким чином рядок _s довжиною на 1 більше, ніж добуток значень.

\b(__+?)\1*$
$.1$*

Знайдіть найменший нетривіальний коефіцієнт числа в десяткових і додайте *готовий для наступного циклу.

1A`

Видаліть вхід ітерації.

.$

Видаліть останню *.

\*
,

Замініть решту *s на ,s.

JavaScript (Node.js) , 54 байти

f=(p,n,P=p,F=n=>-~P%n?F(n+1):n)=>--n?f(p=F(2),n,P*p):p

Спробуйте в Інтернеті!

Безумовно

F=(p,n=2)=>            // Helper function F for finding the smallest prime factor
  p%n                  //   If n (starting at 2) doesn't divide p:
    ?F(n+1)            //     Test n+1 instead
    :n                 //   Otherwise, return n
f=(p,n,P=p)=>          // Main function f:
  --n                  //   Repeat n - 1 times:
    ?f(p=F(P+1),n,P*p) //     Find the next prime factor and update the product
    :p                 //   Return the last prime

bash + GNU coreutils, 89 байт

IFS=\*;n=$1;shift;for((;++i<n;));{ set $@ `factor $["$*+1"]|cut -d\  -f2`;};echo ${@: -1}

ТІО

Рубін 2,6, 51 байт

f=->s,n{[s,l=(2..).find{|d|~s%d<1}][n]||f[l*s,n-1]}

(2..), нескінченний діапазон починаючи з 2, ще не підтримується в TIO.

Це рекурсивна функція, яка приймає початкове значення s(може бути простим або складеним), повертає її, коли n = 0 (редагувати: зауважте, що це означає, що це нульове значення), повертає найменше число, lяке перевищує 1, і ділиться, -(s+1)коли n = 1, інакше повторюється з s=l*sі n=n-1.

APL (розширений діалог) , 15 байт

Це досить проста реалізація алгоритму , який використовує розширені дуже корисні прості множники вбудований, ⍭. Спробуйте в Інтернеті!

{⍵,⊃⍭1+×/⍵}⍣⎕⊢⎕

Пояснення

{⍵,⊃⍭1+×/⍵}⍣⎕⊢⎕

             ⊢⎕  First get the first prime of the sequence S from input.
{         }⍣⎕    Then we repeat the code another input number of times.
     1+×/⍵       We take the product of S and add 1.
    ⍭            Get the prime factors of product(S)+1.
   ⊃             Get the first element, the smallest prime factor of prod(S)+1.
 ⍵,              And append it to S.

Парі / GP , 47 байт

(p,n)->s=1;for(i=2,n,s*=p;p=divisors(s+1)[2]);p

Спробуйте в Інтернеті!

Стакс , 9 байт

é|G╝╓c£¼_

Запустіть і налагоджуйте його

Бере та (нульове значення) для введення. Виробляє .p0npn

C (gcc) , 54 53 байти

p;f(x,n){for(p=x;--n;p*=x)for(x=1;~p%++x;);return x;}

Спробуйте в Інтернеті!

-1 байт завдяки стельовій коті

Perl 6 , 33 32 байти

-1 байт завдяки nwellnhof

{$_,{1+(2...-+^[*](@_)%%*)}...*}

Спробуйте в Інтернеті!

Блок анонімного коду, який приймає номер і повертає лінивий список.

Пояснення:

{                              }  # Anonymous codeblock
                           ...*   # That returns an infinite list
 $_,                              # Starting with the input
    {                     }       # Where each element is
     1+(2...             )          # The first number above 2
                      %%*           # That cleanly divides
               [*](@_)                # The product of all numbers so far
            -+^                       # Plus one

Хаскелл , 49 байт

g 1
g a b=b:g(a*b)([c|c<-[2..],1>mod(a*b+1)c]!!0)

Спробуйте в Інтернеті!

Повертає нескінченну послідовність у вигляді лінивого списку.

Пояснення:

g 1                                            -- Initialise the product as 1
g a b=                                         -- Given the product and the current number
       b:                                      -- Return the current number, followed by
         g                                     -- Recursively calliong the function with
          (a*b)                                -- The new product
               (                             ) -- And get the next number as
                [c|c<-[2..],             ]!!0  -- The first number above 2
                            1>mod       c      -- That cleanly divides
                                 (a*b+1)       -- The product plus one