Блокування екрана Android

Вступ

Ви сидите в кімнаті правління в кінці довгого столу. Ви озираєтесь і бачите Тіма Кука, Раду директорів Apple, привид Стіва Джобса та Джека Донагі. Apple назвала цю зустріч, тому що вони зрозуміли, наскільки крутіший екран блокування Android, і хочуть їх 1-UP. Усі в кімнаті дивляться на вас, як привид Стіва кричить: "Допоможіть мені, CodeGolf Man! Ти єдина моя надія!"

Проблема

Екран блокування Android - це сітка 3 х 3 крапок, яку можна з'єднати, провевши пальцем від однієї точки до іншої, створюючи шлях. Паролем вважається будь-який можливий шлях, який включає будь-яку кількість крапок і виключає будь-яку кількість крапок. (На фактичному телефоні шлях повинен бути не менше 4 крапок. Для цього виклику ігноруйте це обмеження.) Apple планує замінити сітку 3 x 3 на сітку M x N, яка є (M * N) / 9 в рази краще!

Правила:

Наприклад, на сітці 3x3 з крапками, пронумерованими від 1 до 9:

1 2 3
4 5 6
7 8 9

Деякі дійсні шляхи:

1
3
7,2,3
1,5,9,2
1,8,6,5,4
4,2,3,5,6,7,8,9
5,9,6,4

І деякі недійсні шляхи:

1,3
1,9,5
7,5,4,7
4,6

Ваш вхід буде три числа:

(M,N,d)

Де сітка M x N, а d - довжина шляху

1 <= M <= 16
1 <= N <= 16
1 <= d <= M * N

Вашій програмі або функції буде надано вхід у вигляді рядка, розділеного комою, і він повинен повернути кількість можливих паролів такої довжини. Наприклад:

Input:  2,2,1 
Output: 4
Input:  2,2,2
Output: 12
Input:  7,4,1
Output: 28

Діють стандартні правила гольфу, найкоротший виграш коду!

//If I've made a mistake or the rules are unclear, please correct me!

Пітон - 170 байт

from fractions import*
p=lambda m,n,d,l=0,s=set():d<1or sum([p(m,n,d-1,i,s|{i})for i in range(m*n)if not(s and(s&{i}or set(range(l,i,abs(i-l)/gcd(i%n-l%n,i/n-l/n)))-s))])

Я усвідомлюю, що дужки всередині sum([...])не є суворо необхідними, але існує великий штраф за невиконання.

Вихід для всіх 3x3:

for i in range(4, 10):
  print p(3, 3, i)

Виробляє:

1624
7152
26016
72912
140704
140704

Для тестування / підтвердження перші 6 значень для плати 4x5:

20
262
3280
39644
459764
5101232

4x5 - цікавий випадок для перевірки, оскільки він має 2х2, 3х3 та 2х4 стрибки.

Коротке пояснення

Взагалі, це вичерпний пошук із кумулятивною обрізкою. Наприклад, оскільки p(3, 3, 4)це 1624, p(3, 3, 5)перевірятиме лише 8120 можливостей, а не наївно перевіряє всі 15120. Більшість логіки міститься в умові:

if not(s and(s&{i}or set(range(l,i,abs(i-l)/gcd(i%n-l%n,i/n-l/n)))-s))

У звичайній англійській мові це можна зрозуміти як:

If no pegs have been used yet
     OR
   the target peg has not yet been used
     AND
   each of the pegs directly between the target peg and the
   current peg (a.k.a. "jumped over") have already been used