Темна чорна чорнила розбризнула по всьому білому аркуші паперу принтера! Очевидним рішенням є складання паперу так, щоб чорно-білі частини зустрічалися, і обидві ставали сірими, коли чорнило розповсюджується. Потім розгортайте і повторно розгортайте, поки папір не стане однаково сірою.

Пошук найкращого способу виготовлення цих складок є вашим завданням у цій проблемі кодування. Цей пастебін містить чотири сітки різних розмірів і нулів. Кожна сітка являє собою шматок фарби, обсипаного папером, який ви повинні сіріти. Нулі паперові, а чорнильні.

У цих сітках діють лише горизонтальні та вертикальні складки вздовж проміжків між рядками та стовпцями. Коли складено складку, пари значень, що перекриваються, усереднюються. Складки робляться по одному і завжди розгортаються. Складки змінюють лише розподіл чорнила, а не розмір паперу.

Rn позначає складання лівого краю сітки праворуч, починаючи після n-го стовпця. Dn позначає складання верхнього краю сітки вниз, починаючи після n-го ряду. (n - 1-індексований)

Приклад

З огляду на цю сітку

0 1 1 1
0 0 0 0
0 0 0 0

D-складка означає "скласти весь верхній ряд вниз, потім розгорнути".

0 0.5 0.5 0.5
0 0.5 0.5 0.5
0   0   0   0

Тоді буде вироблятися R2

0.25 0.5 0.5 0.25
0.25 0.5 0.5 0.25
   0   0   0    0

а інший R2 нічого не змінить.

Мета

Ваша мета - написати алгоритм, який знайде найкращу послідовність складання чорнила для кожної з чотирьох сіток, використовуючи щойно 8 разів. Складки можуть бути будь-якою комбінацією Rs або Ds.

Оцінка балів

Оцінка вашої подачі - це сума ваших балів за кожну сітку. Оцінка сітки - це сума абсолютних різниць між кожним її значенням та її середнім значенням (сума, поділена на площу). Нижчі бали кращі. Оцінка 0 досконала, але, ймовірно, неможливо лише у 8 разів.

Ви повинні повідомити про свої чотири 8-крокові складні послідовності з кодом у своїй відповіді. Це так, що ми можемо переконатися, що ваш алгоритм справді працює.

Будь ласка, введіть їх у форму:

20*20R1D2R3D4R5D6R7D8
40*20R1D2R3D4R5D6R7D8
40*40R1D2R3D4R5D6R7D8
20*80R1D2R3D4R5D6R7D8

Ось сценарій Python, який обчислить ваші бали з урахуванням складних послідовностей.

Природно, ви не повинні копіювати чужі подання послідовностей. Послідовності для кожної сітки належать лише тому, хто їх створив.

Роз'яснення

• В ідеалі ваш алгоритм буде добре працювати в будь-якій сітці, хоча ви можете налаштувати його під ці конкретні.

• Ви повинні подати код у своїй послідовності. Для перемоги вам потрібен набір найменших балів з 8-ступінчастих складних послідовностей, які ще не були опубліковані, а також алгоритм, який відповідає суспільному контролю. Поясніть свій код, не опустіть його.

• Сітка ніколи не повинна містити від’ємних цифр.

• Застосовуються стандартні лазівки.

Пітон

Вичерпно пробує різні комбінації складок протягом перших декількох складок, потім решту складок використовує жадібний підхід.

Вичерпний підхід обмежений у межах розумного діапазону складок у центрі, таким чином, що він не візьметься назавжди, не ігноруючи занадто багато можливих складок, щоб отримати хороший мінімум.

Побіг за допомогою pypy на моєму повітрі macbook.

Відповіді:

20*20D9R15R6D11R10R9D10R11
40*20D6D13D9R19R21R20D11D10
40*40D21R21R11D19R23R20D23D15
20*80D33D47D40R10D39D41R9R11

Виходи:

Exhaustive folds levels: 3
Percentage pruned from sides from exhaustive folds: 0.2
Time taken: 4.016076s
Score: 7.91125
20*20D9R15R6D11R10R9D10R11

Exhaustive folds levels: 3
Percentage pruned from sides from exhaustive folds: 0.2
Time taken: 28.529278s
Score: 16.34375
40*20D6D13D9R19R21R20D11D10

Exhaustive folds levels: 3
Percentage pruned from sides from exhaustive folds: 0.25
Time taken: 98.430465s
Score: 42.13
40*40D21R21R11D19R23R20D23D15

Exhaustive folds levels: 3
Percentage pruned from sides from exhaustive folds: 0.25
Time taken: 234.873787s
Score: 32.30875
20*80D33D47D40R10D39D41R9R11

Загальний бал: 7.91125 + 16.34375 + 42.13 + 32.30875 = 98.69375

Код:

import time, math
from collections import deque

numberOfFolds = 8 # Total number of folds

startTime = time.clock()

exec "grid = ("+"""
1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1
1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1
0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0
0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1
0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0
1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1
0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0
1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1
1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0
0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1
0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0
0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1
0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1
1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1
1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0
0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1
0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0
0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0
0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 
""".replace(" ",",").replace("\n","],[")[2:-2]+")"

def getAverage(grid):
    count = total = 0
    for j in grid:
        for i in j:
            count += 1
            total += i
    return total/float(count)

def getScore(grid, average):
    score = 0
    for j in grid:
        for i in j:
            score += abs(average-i)
    return score

def downFoldedGrid(grid, row, width, height, copy=True):
    if copy: grid = [r[:] for r in grid]
    foldRange = min(row, height-row)
    for j in xrange(foldRange):
        rowRef1 = grid[row+j]
        rowRef2 = grid[row-1-j]
        for i in xrange(width):
            rowRef1[i] = rowRef2[i] = (rowRef1[i] + rowRef2[i]) * .5
    return grid

def downFoldedScore(grid, score, average, row, width, height):
    foldRange = min(row, height-row)
    average2  = 2*average
    for j in xrange(foldRange):
        rowRef1 = grid[row+j]
        rowRef2 = grid[row-1-j]
        a = b = c = 0
        for i in xrange(width):
            a = rowRef1[i] 
            b = rowRef2[i]
            c = a+b
            score += abs(average2-c) - abs(average-a) - abs(average-b)
    return score

def rightFoldedGrid(grid, column, width, height, copy=True):
    if copy: grid = [r[:] for r in grid]
    foldRange = min(column, width-column)
    for j in xrange(height):
        rowRef = grid[j]
        for i in xrange(foldRange):
            a = column+i
            b = column-1-i
            rowRef[a] = rowRef[b] = (rowRef[a] + rowRef[b]) * .5
    return grid

def rightFoldedScore(grid, score, average, column, width, height):
    foldRange = min(column, width-column)
    average2 = 2*average
    for j in xrange(height):
        rowRef = grid[j]
        a = b = c = 0
        for i in xrange(foldRange):
            a = rowRef[column+i]
            b = rowRef[column-1-i]
            c = a+b
            score += abs(average2-c) - abs(average-a) - abs(average-b)
    return score

def bestFoldsGreedy(grid, average, maxFolds, width, height):
    score  = getScore(grid, average)
    folds  = []
    append = folds.append
    for z in xrange(maxFolds):
        bestFold      = 0
        bestFoldScore = score
        bestFoldGrid  = grid
        for i in xrange(1, width): #Try all right folds
            foldScore = rightFoldedScore(grid, score, average, i, width, height)
            if foldScore < bestFoldScore:
                bestFold      = i
                bestFoldScore = foldScore
        for i in xrange(1, height): #Try all down folds
            foldScore = downFoldedScore(grid, score, average, i, width, height)
            if foldScore < bestFoldScore:
                bestFold      = -i
                bestFoldScore = foldScore
        if bestFold:
            append(bestFold)
            score = bestFoldScore
            if bestFold > 0: rightFoldedGrid(grid, bestFold, width, height, False)
            else:            downFoldedGrid(grid, -bestFold, width, height, False)
    return score, folds


# Get the height and width
height  = len(grid)
width   = len(grid[0])

# Transpose the grid if height > width for better locality of reference
transposed = False
if height > width:
    grid = [[grid[i][j] for i in range(height)] for j in range(width)]
    transposed = True
    height, width = width, height

# The exhaustive grids and folds attempted
exhaustiveGridsAndFolds = deque([(grid,[])])
popleft = exhaustiveGridsAndFolds.popleft
append  = exhaustiveGridsAndFolds.append

# Set the bounds to exhaustively test for
exhaustiveLevels   = 3
prunePadding       = [0.2, 0.25][width*height > 1000]
leftBound          = int(max(width*prunePadding, 1))
rightBound         = int(width*(1.0-prunePadding))
topBound           = int(max(height*prunePadding, 1))
bottomBound        = int(height*(1.0-prunePadding))

# Populate the exhaustive grids and folds
while 1:
    grid, folds = popleft()
    if len(folds) == exhaustiveLevels:
        append((grid, folds))
        break
    for i in xrange(leftBound, rightBound):
        if i not in folds:
            append((rightFoldedGrid(grid, i, width, height), folds+[i]))
    for i in xrange(topBound, bottomBound):
        if -i not in folds:
            append((downFoldedGrid(grid, i, width, height), folds+[-i]))

# Test all the exhaustive grids and folds greedily
average             = getAverage(grid)
bestFinalScore      = getScore(grid, average)
bestFinalFolds      = []
numberOfGreedyFolds = numberOfFolds-exhaustiveLevels
while exhaustiveGridsAndFolds:
    grid, exhaustiveFolds = popleft()
    finalScore, greedyFolds = bestFoldsGreedy(grid, average, numberOfGreedyFolds, width, height)
    if finalScore <= bestFinalScore:
        bestFinalScore = finalScore
        bestFinalFolds = exhaustiveFolds + greedyFolds


# Repeat the last fold till the total number of folds if needed
if len(bestFinalFolds) < numberOfFolds:
    bestFinalFolds += [bestFinalFolds[-1]]*(numberOfFolds-len(bestFinalFolds))

# Print the best result
foldsString = ""
down  = "D"
right = "R"
if transposed:
    down,  right  = right,  down
    width, height = height, width
for fold in bestFinalFolds:
    if   fold > 0: foldsString += right+str(fold)
    elif fold < 0: foldsString += down+str(-fold)
print "Exhaustive folds levels: " + str(exhaustiveLevels)
print "Percentage pruned from sides from exhaustive folds: " + str(prunePadding)
print "Time taken: " + str(time.clock()-startTime) + "s"
print "Score: " + str(bestFinalScore)
print str(width) + "*" + str(height) + foldsString

C, 16.344 (4 хвилини 33 секунди)

Найкращі досі знайдені ходи: D6, D13, R19, D9, D11, R21, D10, R20

Використовує суміш Монте-Карло та альпінізму. Я впевнений, що можна бігти набагато швидше.

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

/*

Best result so far: 16.344
D6,D13,R19,D9,D11,R21,D10,R20

real    4m33.027s
user    4m12.787s
sys 0m1.334s

*/

#define GRID_WIDTH   40
#define GRID_HEIGHT  20
#define GRID_SIZE    (GRID_WIDTH * GRID_HEIGHT)
#define NUM_FOLDS    8
#define MAX_VALUE    (1 << NUM_FOLDS)
#define TARGET_VALUE (MAX_VALUE / 2)

double score_grid(short *g) {
  int i, sum;
  for (i=sum=0; i<GRID_SIZE; i++) sum += abs(*g++ - TARGET_VALUE);
  return sum * 1.0 / MAX_VALUE;
}

void h_fold(short *g, int fold_row) {
  int x, y0, y1;
  if (fold_row<1 || fold_row>=GRID_HEIGHT) return;
  y1 = fold_row * GRID_WIDTH;
  y0 = y1 - GRID_WIDTH;
  while (y0>=0 && y1<GRID_SIZE) {
    for (x=0; x<GRID_WIDTH; x++) {
      g[y0+x] = g[y1+x] = (g[y0+x] + g[y1+x]) >> 1;
    }
    y0 -= GRID_WIDTH;
    y1 += GRID_WIDTH;
  }
}

void v_fold(short *g, int fold_col) {
  int y, x0, x1;
  if (fold_col<1 || fold_col>=GRID_WIDTH) return;
  x1 = fold_col;
  x0 = x1 - 1;
  while (x0>=0 && x1<GRID_WIDTH) {
    for (y=0; y<GRID_SIZE; y+=GRID_WIDTH) {
      g[y+x0] = g[y+x1] = (g[y+x0] + g[y+x1]) >> 1;
    }
    x0--;
    x1++;
  }
}

void print_grid(short *g) {
  int i=0, checksum=0;
  while (i<GRID_SIZE) {
    checksum += *g;
    printf("%3X",*g++);
    if ((++i) % GRID_WIDTH == 0) putchar('\n');
  }
  if (checksum != GRID_SIZE * TARGET_VALUE) printf("Bad total: %d\n",checksum);
}

void init_grid(short *g) {
  int i;
  static short *start_grid=0, *sg;
  if (!start_grid) {
    char *src = "11010110100011100000001000110001001101010111000100100100000101100000101111000010"
                "10110011111011111101101011111001000010101010110111000101000001011111101000011001"
                "10000111111001111011100101101001101100001110001101001011010011011110101000011100"
                "00110010100010100010110101001100110001100100111010000110100110001000110000111101"
                "01000001110000101000110101011011101010111110101010110000001011010010000011101000"
                "11111011111100100100100010111010111111000101011110000100111111111000110101101101"
                "00110100010111101111000011011010000110001001101010010101110010110111101001011111"
                "10110001101100001110010100110100010011011110100110000100100111101101000010011001"
                "00011100110100111101000000001000010100001101001011000101101001000100111100011010"
                "00010110001110011111100011101111011100111001110011111011010010000100101111101001";
    start_grid = malloc(GRID_SIZE * sizeof(short));
    for (i=0; i<GRID_SIZE; i++) start_grid[i] = (src[i]&1)<<NUM_FOLDS;
  }
  sg = start_grid;
  for (i=0; i<GRID_SIZE; i++) *g++ = *sg++;
}

double evaluate(int *moves) {
  short *grid;
  double score;
  int i, f;
  grid = malloc(GRID_SIZE * sizeof(short));
  init_grid(grid);
  for (i=0; i<NUM_FOLDS; i++) {
    f = moves[i];
    if (f>0) v_fold(grid,f);
    else h_fold(grid,-f);
  }
  score = score_grid(grid);
  free(grid);
  return score;
}


double optimize_folding(int *moves, double score) {
  int opt_cycle, i, which_fold, new_move, f1, f2, t;
  double s;

  for (opt_cycle=0; opt_cycle<1000; opt_cycle++) {
    for (i=0; i<NUM_FOLDS; i++) {
      which_fold = random() % NUM_FOLDS;
      do {
        if (random()&1) new_move = random() % (GRID_WIDTH-1) + 1;
        else new_move = -(random() % (GRID_HEIGHT-1) + 1);
      } while (moves[which_fold]==new_move);
      t = moves[which_fold];
      moves[which_fold] = new_move;
      s = evaluate(moves);
      if (s>score) moves[which_fold] = t;
      else score = s;
    }
    for (i=0; i<NUM_FOLDS; i++) {
      f1 = random() % NUM_FOLDS;
      do {
        f2 = random() % NUM_FOLDS;
      } while (f2==f1);
      t = moves[f1];
      moves[f1] = moves[f2];
      moves[f2] = t;
      s = evaluate(moves);
      if (s>score) {
        t = moves[f1];
        moves[f1] = moves[f2];
        moves[f2] = t;
      }
      else score = s;
    }
  }

  return score;
}

void show_moves(int *moves) {
  int i, m;
  for (i=0; i<NUM_FOLDS; i++) {
    m = moves[i];
    printf("%c%d%c",(m>0)?'R':'D',abs(m),((i+1)%NUM_FOLDS)?',':'\n');
  }
}

int main() {
  int i, j, moves[NUM_FOLDS], save_moves[NUM_FOLDS];
  double score, best_score = 1.0E+99;

  srandomdev();
  for (i=0; i<400; i++) {
    for (j=0; j<NUM_FOLDS; j++) {
            if (random()&1) moves[j] = random() % (GRID_WIDTH-1) + 1;
            else moves[j] = -(random() % (GRID_HEIGHT-1) + 1);
        }
        score = optimize_folding(moves, 1.0E+99);
        if (score<best_score) {
            best_score = score;
            for (j=0; j<NUM_FOLDS; j++) save_moves[j]=moves[j];
        }
    }
  printf("%.3lf\n",best_score);
  show_moves(save_moves);
  return 0;
}