C 468
#include <stdlib.h>
#include <stdio.h>
#define a(s)fputs(s,stdout);
#define b(c)putchar(c);
int r;int z(char*s,int m){for(int i=0;i++<=m;)a(s)b(47)b(r+48)b(61)char*t=s;
while(*++t==48);a(t)while(m--)a(s)b(*s)b(10)}char x[10][60];
int main(int c,char**v){r=atoi(v[1]);int n=atoi(v[2]),q=10*r-1,d=0,p;
while(d++<9){p=r*d;char*y=x[d];do{p*=10;*y++=p/q+48;p%=q;}while(p!=r*d);}
d=1;p=q=0;while(n--){r==5&p<6?z(x[7],7*q+p++):(z(x[d],(r==5&d==7)?7*q+6:q),
++d>9?q+=d=1,p=0:0);}}
(Деякі нові рядки, які не враховуються в кількості байтів, додані вище, щоб усунути смуги прокрутки. Так, підсумковий новий рядок зараховується.)
Очікує аргументів у командному рядку та передбачає, що стандартний вихід приймає ASCII. Час виконання - O (кількість байтів) = O (n * n).
Ні, я не можу використовувати printf. Це займає занадто багато часу і підштовхує програму до обмеження хвилин на моєму робочому столі. Наразі деякі тестові випадки займають близько 30 секунд.
Алгоритм трактує вихід як рядки, а не числа, оскільки вони швидко отримують величезний характер, і у виході є сильні зразки.
Дещо незворушний:
#include <stdlib.h>
#include <stdio.h>
/* r is as in the problem description */
int r;
void show_line(const char* num, int repeats) {
for (int i=0; i <= repeats; ++i)
fputs(num, stdout);
printf("/%c=", '0'+r);
/* Assume the repeated num is a solution. Just move the first
digit and skip any resulting leading zeros. */
const char* num_tail = num;
++num_tail;
while (*num_tail=='0')
++num_tail;
fputs(num_tail, stdout);
while (repeats--)
fputs(num, stdout);
printf("%c\n", *num);
}
/* sol[0] is unused. Otherwise, sol[d] is the repeating digits in the
decimal representation of (r*d)/(10*r-1). */
char sol[10][60];
int main(int argc, char** argv) {
r = atoi(argv[1]);
int n = atoi(argv[2]);
int q = 10*r-1;
int d = 0;
/* Populate the strings in sol[]. */
while (d++<9) {
int p = r*d;
char* sol_str = sol[d];
/* Do the long division p/q in decimal, stopping when the remainder
is the original dividend. The integer part is always zero. */
do {
p *= 10;
*sol_str++ = p/q + '0';
p %= q;
} while (p != r*d);
}
/* Output the answers. */
d = 1;
int repeats = 0;
int r5x7_repeats = 0;
while (n--) {
if (r==5 && r5x7_repeats<6) {
show_line(x[7], 7*repeats + r5x7_repeats);
} else {
if (r==5 && d==7)
show_line(x[d], 7*repeats + 6);
else
show_line(x[d], repeats);
if (++d > 9) {
d = 1;
++repeats;
r5x7_repeats = 0;
}
}
}
}
Доказ
що програма вирішує проблему:
(У доказі візьміть усі оператори та функції справжніми математичними функціями, а не комп'ютерними операціями, які їх наближають. ^Позначає експоненцію, а не порозрядне xor.)
Для наочності я використовую функцію, ToDecщоб описати звичайний процес запису числа у вигляді послідовності десяткових цифр. Його асортимент - це набір упорядкованих кортежів {0...9}. Наприклад,
ToDec(2014) = (2, 0, 1, 4).
Для додатного цілого числа nвизначте L(n)кількість цифр у десятковому поданні n; або,
L(n) = 1+floor(log10(n)).
Для позитивного цілого числа kі невід'ємного цілого числа nз L(n)<k, визначаємо Rep_k(n)як реальне число , отримане шляхом додавання нулів перед десятковими цифрами n, якщо це необхідно , щоб отримати в kцілому цифри, а потім нескінченно повторювати ці kцифри після коми. Напр
Rep_4(2014) = .201420142014...
Rep_5(2014) = .020140201402...
Множення Rep_k(n) * 10^kдає цифри nдо десяткової крапки, а цифри (нульові) nнескінченно повторюваних після десяткових знаків. Так
Rep_k(n) * 10^k = n + Rep_k(n)
Rep_k(n) = n / (10^k - 1)
Давши додатне ціле число r, припустимо x, це рішення проблеми, і
ToDec(x) = ( x_1, x_2, ..., x_k )
де x_1 != 0і k = L(x).
Щоб бути рішенням, xє кратним rі
ToDec(x/r) : ( x_2, x_3, ..., x_k, x_1 ).
Застосування Rep_kфункції дає приємне рівняння:
10*Rep_k(x) = x_1 + Rep_k(x/r)
Використовуючи закриту форму зверху,
10x / (10^k - 1) = x_1 + x / r / (10^k - 1)
x = x_1 * r * (10^k-1) / (10r - 1)
x_1повинні бути в наборі {1 ... 9}. rбуло вказано, щоб бути у наборі {2 ... 9}. Тепер питання лише в тому, для яких значень kнаведена вище формула xдає додатне ціле число? Ми розглянемо кожне можливе значення rокремо.
Коли r= 2, 3, 6, 8 або 9 10r-1дорівнює 19, 29, 59, 79 або 89 відповідно. У всіх випадках знаменник p = 10r-1є простим. У чисельнику 10^k-1може бути лише кратне число p, що відбувається, коли
10^k = 1 (mod p)
Сукупність розв’язків закривається під додаванням і відніманням, що не призводить до від’ємного числа. Таким чином, набір містить усі кратні деякого загального фактора, що також є найменш позитивним рішенням k.
Коли r = 4і 10r-1 = 39; або коли r = 7і 10r-1 = 69, знаменник у 3 рази більше простого p=(10r-1)/3. 10^k-1завжди кратне 3, і знову жоден фактор чисельника не може бути кратним p, тому знову проблема зменшується до
10^k = 1 (mod p)
і знову рішення - це кратні найменш позитивні рішення для k.
[Не закінчено ...]
gprof, один випадок введення для моєї програми витрачає менше пів секунди в моєму коді, але займає близько 80 секунд, що, на вашу думку, повинно в основному блокувати на виході.