Напишіть програму, яка виводить усі хороші раціональні наближення pi з знаменником <1000000, збільшуючи порядок знаменника. a/bє "хорошим раціональним наближенням" pi, якщо воно ближче до pi, ніж будь-яке інше раціональне з знаменником не більше b.

Вихід повинен мати 167 рядків, і починати і закінчувати так:

3/1
13/4
16/5
19/6
22/7
179/57
...
833719/265381
1146408/364913
3126535/995207

Найкоротша програма виграє.

Гольфскрипт, 71 70 69 символів

2\!:^2^..292^15.2/3]{(.)2/.9>+{\+.((}*;.}do;;]-1%{^0@{2$*+\}/"/"\n}/;

(Передбачає, що ви нічого не передаєте на stdin)

Я не хочу більше чути, як лунають люди, які не мають вбудованих констант для пі. У мене навіть немає чисел з плаваючою комою!

Див. Http://en.wikipedia.org/wiki/Continued_fraction#Best_rational_approximations для фону.

# No input, so the stack contains ""
2\!:^2^..292^15.2/3]
# ^ is used to store 1 because that saves a char by allowing the elimination of whitespace
# Otherwise straightforward: stack now contains [2 1 2 1 1 1 292 1 15 7 3]
# Pi as a continued fraction is 3+1/(7+1/(15+1/(...)))
# If you reverse the array now on the stack you get the first 10 continuants followed by 2
# (rather than 3)
# That's a little hack to avoid passing the denominator 1000000

{
    # Stack holds: ... [c_n c_{n-1} ... c_0]
    (.)2/.9>+
    # Stack holds ... [c_{n-1} ... c_0] c_n (1+c_n)/2+((1+c_n)/2 > 9 ? 1 : 0)
    # (1+c_n)/2 > 9 is an ad-hoc approximation of the "half rule"
    # which works in this case but not in general
    # Let k = (1+c_n)/2+((1+c_n)/2 > 9 ? 1 : 0)
    # We execute the next block k times
    {
        # ... [c_{n-1} ... c_0] z
        \+.((
        # ... [z c_{n-1} ... c_0] [c_{n-1} ... c_0] z-1
    }*
    # So we now have ... [c_n c_{n-1} ... c_0] [(c_n)-1 c_{n-1} ... c_0] ...
    #                    [(c_n)-k+1 c_{n-1} ... c_0] [c_{n-1} ... c_0] c_n-k
    ;
    # Go round the loop until the array runs out
    .
}do

# Stack now contains all the solutions as CFs in reverse order, plus two surplus:
# [2 1 2 1 1 1 292 1 15 7 3] [1 2 1 1 1 292 1 15 7 3] ... [6 3] [5 3] [4 3] [3] [2] []
# Ditch the two surplus ones, bundle everything up in an array, and reverse it
;;]-1%

# For each CF...
{
    # Stack holds ... [(c_n)-j c_{n-1} ... c_0]
    # We now need to convert the CF into a rational in canonical form
    # We unwind from the inside out starting with (c_n)-j + 1/infinity,
    # representing infinity as 1/0
    ^0@
    # ... 1 0 [c_n-j c_{n-1} ... c_0]
    # Loop over the terms of the CF
    {
        # ... numerator denominator term-of-CF
        2$*+\
        # ... (term-of-CF * numerator + denominator) numerator
    }/

    # Presentation
    "/"\n
    # ... numerator "/" denominator newline
}/

# Pop that final newline to avoid a trailing blank line which isn't in the spec
;

Математика, 67 63

Це не буде швидко, але я вважаю, що це технічно правильно.

Round[π,1/Range@1*^6]//.x_:>First/@Split[x,#2≥#&@@Abs[π-{##}]&]

Round[π, x]дає найближчий дріб до π за кроками x. Це "список", так Round[π,1/Range@1*^6]це робиться для всіх фракцій 1/10^6в порядку. Отриманий список з багатьма «поганими» раціональними наближеннями потім повторно ( //.) обробляється, видаляючи будь-які елементи, що знаходяться далі від π, ніж попередній.

Перл, 77 ч

$e=$p=atan2 0,-1;($f=abs$p-($==$p*$_+.5)/$_)<$e&&($e=$f,say"$=/$_")for 1..1e6

Невелика проблема полягає в тому, що Perl не має вбудованої π постійної, тому я спершу повинен був обчислити це як atan2(0,-1). Я впевнений, що це буде побито мовами, більш підходящими для роботи, але це не погано для мови, призначеної переважно для обробки тексту.

Пітон, 96 93 89 символів

a=b=d=1.
while b<=1e6:
 e=3.14159265359-a/b;x=abs(e)
 if x<d:print a,b;d=x
 a+=e>0;b+=e<0

Python, 95 93 символів, різний алгоритм

p=3.14159265359;d=1
for a in range(3,p*1e6):
 b=round(a/p);e=abs(p-a/b)
 if e<d:print a,b;d=e

Примітка: Для написання було менше символів, p=3.14159265359;ніж from math import*. Прокляйте ці багатолітні імпорти!

JS (95 символів)

for(i=k=1,m=Math;i<1e6;i++)if((j=m.abs((x=m.round(m.PI*i))/i-m.PI))<k)k=j,console.log(x+'/'+i)

Він друкує 167 рядків.

Рубін 1,9, 84 символів

m=1;(1..1e6).map{|d|n=(d*q=Math::PI).round;k=(n-q*d).abs/d;k<m&&(m=k;puts [n,d]*?/)}

C99, 113 символів

main(d,n){double e=9,p=2*asin(1),c,a=1;for(;n=d*p+.5,c=fabsl(p-a*n/d),d<1e6;++d)c<e&&printf("%d/%d\n",n,d,e=c);}

Потрібно компілювати з -lm, і, ймовірно, повним невизначеного поведінки, але це працює для мене.

Scala - 180 символів

import math._
def p(z:Int,n:Int,s:Double):Unit=
if(n==1e6)0 else{val q=1.0*z/n
val x=if(abs(Pi-q)<s){println(z+"/"+n)
abs(Pi-q)}else s
if(Pi-q<0)p(z,n+1,x)else p(z+1,n,x)}
p(3,1,1)

// необійний: 457

val pi=math.Pi
@annotation.tailrec
def toPi (zaehler: Int = 3, nenner: Int = 1, sofar: Double=1): Unit = {
  if (nenner == 1000000) () 
  else {
    val quotient = 1.0*zaehler/nenner
    val diff = (pi - quotient)
    val adiff= math.abs (diff)
    val next = if (adiff < sofar) {
      println (zaehler + "/" + nenner) 
      adiff 
    }
    else sofar
    if (diff < 0) toPi (zaehler, nenner + 1, next) 
    else toPi (zaehler + 1, nenner, next) 
  }  
}

Анотація tailrec - це лише перевірка, щоб переконатися, що вона є рекурсивною, що часто є покращенням продуктивності.

Математика 18 17 символів

Я вирішив використовувати, як міру "найкращого", кількість термінів у поданому дробовому поданні π. За цим критерієм найкращі раціональні наближення π - це його конвергенти.

Існує 10 конвергентів π з знаменником менше одного мільйона. Це менше запитуваних 167 термінів, але я включаю їх сюди, тому що це може зацікавити інших.

Convergents[π, 10] 

(* out *)
{3, 22/7, 333/106, 355/113, 103993/33102, 104348/33215, 208341/66317,
312689/99532, 833719/265381, 1146408/364913}

Якщо ви дійсно хочете побачити знаменник першого конвергента, це коштуватиме додаткові 11 символів:

Convergents[π, 10] /. {3 -> "3/1"}
(* out *)
{"3/1", 22/7, 333/106, 355/113, 103993/33102, 104348/33215,
208341/66317, 312689/99532, 833719/265381, 1146408/364913}

Для тих, хто цікавиться, наведено нижче відношення між конвергентами, частковими частниками та вираженням тривалості фракцій конвергентів π:

Table[ContinuedFraction[π, k], {k, 10}]
w[frac_] := Row[{Fold[(#1^-1 + #2) &, Last[#], Rest[Reverse[#]]] &[Text@Style[#, Blue, Bold, 14] & /@ ToString /@ ContinuedFraction[frac]]}];
w /@ FromContinuedFraction /@ ContinuedFraction /@ Convergents[π, 10]

Прошу вибачити непослідовне форматування продовжених дробів.

C # 140 129 символів

double n=3,d=1,e=d;while(n<4e5){double w=n/d-Math.PI,a=Math.Abs(w);if(a<e){e=a;Console.WriteLine(n+"/"+d);}if(w>0)d++;else n++;}

Нестиснений код

var numerator = 3d;
var denominator = 1d;
var delta = 4d;
while (numerator < 4e5) 
{
    var newDelta = (numerator / denominator) - Math.PI;
    var absNewDelta = Math.Abs(newDelta);
    if (absNewDelta < delta)
    {
        delta = absNewDelta;
        Console.WriteLine(string.Format("{0}/{1}", numerator, denominator));
    }

    if (newDelta > 0)
    {
        denominator++;
    }
    else
    {
        numerator++;
    }
}

J, ⁶⁹ 65

Нові

]`,@.(<&j{.)/({~(i.<./)@j=.|@-l)@(%~(i:3x)+<.@*l=.1p1&)"0>:_i.1e3

І все-таки жорстокий підхід, але набагато швидше і коротше.

Старий

Проста "груба сила":

(#~({:<<./@}:)\@j)({~(i.<./)@j=.|@-l)@(%~(i:6x)+<.@*l=.1p1&)"0>:i.1e3

складіть список a/bs, а потім відкиньте ті, які для деяких віддалені від π b'<b.

Примітка: Змініть 1e3на 1e6повний список. Іди, роби щось інше і повертайся пізніше.