Давши многочлен, визначте, чи він простий.

Поліномом є ax^n + bx^(n-1) + ... + dx^3 + ex^2 + fx + g, де кожен доданок є постійним числом (коефіцієнтом), помноженим на невід'ємну цілу силу на x. Найвища потужність з ненульовим коефіцієнтом називається ступенем. Для цього виклику ми розглядаємо лише поліноми принаймні ступеня 1. Тобто кожен многочлен містить деякі x. Також ми використовуємо лише многочлени з цілими коефіцієнтами.

Поліноми можна множити. Наприклад, (x+3)(2x^2-2x+3)дорівнює 2x^3+4x^2-3x+9. Таким чином, 2x^3+4x^2-3x+9можна враховувати x+3і 2x^2-2x+3, таким чином, він є складовим.

Інші многочлени не можуть бути враховані. Наприклад, 2x^2-2x+3не є добутком жодного двох многочленів (ігнорування постійних многочленів або тих, що мають не цілі коефіцієнти). Отже, він є простим (також відомим як незнижуваний).

Правила

• Введення та виведення можна будь-яким стандартним способом.
• Введення може бути таким, як рядок 2x^2-2x+3, список подібних коефіцієнтів {2,-2,3}або будь-який подібний засіб.
• Вихід - або триєдине значення, якщо воно є простим, або значення фальси, якщо воно складене. Ви повинні отримати однакове значення триути для всіх прайменів і те саме значення фальси для всіх складених многочленів.
• Вхід буде щонайменше 1 ступеня і максимум 10 ступеня.
• Ви не можете використовувати вбудовані інструменти для факторизації (цілих чисел чи виразів) або розв’язання рівнянь.

Приклади

Правда - прем'єр

x+3
-2x
x^2+x+1
x^3-3x-1
-2x^6-3x^4+2
3x^9-8x^8-3x^7+2x^3-10

Хибний - складений

x^2
x^2+2x+1
x^4+2x^3+3x^2+2x+1
-3x^7+5x^6-2x
x^9-8x^8+7x^7+19x^6-10x^5-35x^4-14x^3+36x^2+16x-12

Математика, 224 байти

f@p_:=(e=p~Exponent~x;r=Range[⌈e/-4⌉,(e+2)/4];e<2||FreeQ[PolynomialRemainder[p,Thread@{r,#}~InterpolatingPolynomial~x,x]&/@Tuples[#~Join~-#&[Join@@Position[#/Range@Abs@#,_Integer]]&/@#]~DeleteCases~{(a_)..},0|{}]&[p/.x->r])

Пояснення :

Тут використовується метод Кронекера . Цей метод породжує певні поліноми нижчого ступеня і перевіряє, чи існує фактор початкового многочлена.

Тестові приклади :

f/@{x+3, -2x, x^2+x+1, x^3-3x-1, -2x^6-3x^4+2, 3x^9-8x^8-3x^7+2x^3-10}
(* {True, True, True, True, True, True} *)

f/@{x^2, x^2+2x+1, x^4+2x^3+3x^2+2x+1, -3x^7+5x^6-2x, x^9-8x^8+7x^7+19x^6-10x^5-35x^4-14x^3+36x^2+16x-12}
(* {True, True, True, True, True} *)

На моєму ноутбуці потрібно 14 годин, щоб зробити висновок, що 3x^9-8x^8-3x^7+2x^3-10це прем'єр.

PARI / GP, 16 байт, дешево, як пекло

Чомусь це не було заборонено (зазначивши, що команда не розв'язує коефіцієнт чи рівняння):

polisirreducible

Тестовий випадок

%(x^2+x+1)

повертає 1(правда). Інші приклади працюють аналогічно.

Але щоб показати, що це важко вирішимо, ось повне рішення.

Менш дешево, але sloooooooooow

Тут справді немає сенсу займатися гольфом.

Beauzamy(P)=
{
  my(d=poldegree(P),s,c);
  s=sum(i=0,d,polcoeff(P,i)^2/binomial(d,i));
  c = 3^(3/2 + d);
  c *= s / (4*d*Pi);
  abs(c * pollead(P))
}
factorpol(P)=
{
  my(B=Beauzamy(P)\1, t=B*2+1, d=poldegree(P)\2, Q);
  for(i=0,t^(d+1)-1,
    Q=Pol(apply(n->n-B, digits(i,t)));
    if(Q && poldegree(Q) && P%Q==0, return(Q))
  );
  0
}
irr(P)=
{
  factorpol(P)==0
}

Редагувати: коментатори зазначили, що перший метод може бути заборонений добрим смаком, духом правил, Женевською конвенцією, стандартними правилами лазівки тощо. Я не згоден, але в будь-якому випадку я опублікував другу версію разом із перше і, звичайно, здається прийнятним.