Ви повинні написати програму або функцію, яка приймає невід'ємне ціле число Nяк вхід і вихід або повертає два цілих числа (від'ємне, нульове або додатне) Xі Y.

Цілі цілі мають на увазі математичний сенс, оскільки їх нескінченно багато.

Реалізована функція повинна бути біективною . Це означає, що для кожної з Nних повинна виводитися інша X Yпара, і кожна X Yпара повинна виводитися на деякий вхід, Nтобто всі наступні пари повинні бути виведені для деяких N:

                 ...
    ┌─────┬─────┬────┬────┬────┐
    │-2 -2│-2 -1│-2 0│-2 1│-2 2│
    ├─────┼─────┼────┼────┼────┤
    │-1 -2│-1 -1│-1 0│-1 1│-1 2│
    ├─────┼─────┼────┼────┼────┤
... │0 -2 │0 -1 │0 0 │0 1 │0 2 │ ...
    ├─────┼─────┼────┼────┼────┤
    │1 -2 │1 -1 │1 0 │1 1 │1 2 │
    ├─────┼─────┼────┼────┼────┤
    │2 -2 │2 -1 │2 0 │2 1 │2 2 │
    └─────┴─────┴────┴────┴────┘
                 ...

Зауважте, що U Vі V Uє різні пари, якщо U!=V.

Деталі

• Якщо ваша мова не підтримує довільно великих цілих чисел, це добре, але ваш алгоритм повинен працювати з довільно великим цілим типом даних. Ваш код все одно повинен підтримувати вхідні значення принаймні 2^31-1.
• Якщо ви вирішили надрукувати або повернути вихід у вигляді рядка, то жодні провідні знаки 0та +знаки заборонені. Інакше стандартне ціле представлення вашої мови добре.

Приклад

Якщо завдання полягатиме в тому, щоб зробити біективну функцію, приймаючи невід'ємне ціле число Nі вивести одне ціле число, Xрішенням може бути функція

if (input mod 2 == 0) return N/2 else return -(N+1)/2,

реалізовані якоюсь мовою. Ця функція повертається X = 0 -1 1 -2 2...для N = 0 1 2 3 4....

Піт, 15

u,-HyeGhGjQ2,ZZ

Спробуйте в Інтернеті.

u             reduce
                lambda G,H:    [implicit]
  ,-HyeGhG         (H-2*G[-1],G[0])
  jQ2           base(input(),2)
  ,ZZ           (0,0)
              print result     [implicit]

Переклад Python:

g=lambda Z,n:(n-2*Z[1],Z[0])
print reduce(g,binlist(input()),(0,0))

або повторно:

(x,y)=(0,0)
for b in binlist(input()):
    (x,y)=(b-2*y,x)
print (x,y)

де binlistперетворює число в список подібних цифр binlist(4) = [1,0,0].

Отже, як це працює? Він інтерпретує двійкові цифри числа $n$ як два переплетених числа в базових від’ємних двох, як у моєму рішенні Python .

Двійкове число відповідає парі ( x , y ) = ( b 0 - 2 b 2 + 4 b 4 - 8 b 6 + ⋯ , b 1 - 2 b 3 + 4 b 5 - 8 b 7 + ⋯

$$n=\dots b_5 b_4 b_3 b_2 b_1 b_0$$ $$(x,y) = (b_0 - 2 b_2 + 4 b_4 - 8 b_6 + \cdots, b_1 - 2 b_3 + 4 b_5 - 8 b_7 + \cdots).$$

Якби ми ще не обробили останню цифру з n , у нас були б усі індекси вищі на $ 1 $, n ' = ... b 5 b 4 b 3 b 2 b 1, що відповідають пари ( x ′ , y ′ ) = ( b 1 - 2 b 3 + 4 b 5 - 8 b 7 + ⋯ , b 2 - 2 b $b_0$$n$

$$n'=\dots b_5 b_4 b_3 b_2 b_1$$ $$(x',y') = (b_1 - 2 b_3 + 4 b_5 - 8 b_7 + \cdots, b_2 - 2 b_4 + 4 b_6 - 8 b_8 + \cdots).$$

$b_0$

$$(x,y) = (b_0 - 2y', x').$$

$(x,y) \to (b - 2y, x)$$b$$n$$(x,y)$ яка походить від вилучення її цифр.

CJam, 24 22 21 байт

Мій мозок має проблеми з розумінням математики, яку використовують інші рішення. Але мій мозок напевно розуміє бінарне, тож ось думка, заснована на бітовій маніпуляції!

li4b2fmd2/z{)(\2b^}%p

Спробуйте в Інтернеті.

Пояснення

Цей підхід розглядає вхід як два переплетених двійкових значення, по одному для кожного вихідного числа. Всі, окрім найменш значущого біта кожного кодують величину, і найменш значущий біт сигналізує про те, приймати чи ні бітовий доповнення цієї величини. У цій реалізації непарні позиції бітів відповідають першому вихідному номеру (а парні біти відповідають другому) та LSB 0сигналів для прийому комплементу.

Наприклад, якщо введення 73, uninterleaving його двійкове подання 1001001bвиробляє 0 1|0(непарні біти розташовані) і 1 0 0|1(навіть позиціонування біт). Перше значення має величину 01b = 1і має бути доповнене для кінцевого значення ~1 = -2, а друге значення має величину 100b = 4і не повинно доповнюватися.

Неформальна демонстрація правильності

Я зробив програму тестування, яка розміщує кожен вхід від нуля до вказаного користувачем числа мінус один у його вихідному місці на 2D сітці. Ви можете спробувати і в Інтернеті . Ось результат цієї програми, який показує, як алгоритм відображає 0-99:

      -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1  0  1  2  3  4  5  6  7  8

-8                      92 84 86 94                     
-7                      88 80 82 90                     
-6                      76 68 70 78                     
-5                   96 72 64 66 74 98                  
-4                60 52 28 20 22 30 54 62               
-3                56 48 24 16 18 26 50 58               
-2                44 36 12  4  6 14 38 46               
-1                40 32  8  0  2 10 34 42               
 0                41 33  9  1  3 11 35 43               
 1                45 37 13  5  7 15 39 47               
 2                57 49 25 17 19 27 51 59               
 3                61 53 29 21 23 31 55 63               
 4                   97 73 65 67 75 99                  
 5                      77 69 71 79                     
 6                      89 81 83 91                     
 7                      93 85 87 95                     
 8                                                      

Шаблон заливки виглядає дещо дивно, але насправді це бієктично! З кожною наступною потужністю 4, вона заповнює квадрат, подвійний попередній бічній довжині. Наприклад, ось як алгоритм відображає 0-15:

      -2 -1  0  1  2

-2    12  4  6 14   
-1     8  0  2 10   
 0     9  1  3 11   
 1    13  5  7 15   
 2                  

Це становить 4х4 квадрат посередині 8х8 квадрата 0-63:

      -4 -3 -2 -1  0  1  2  3  4

-4    60 52 28 20 22 30 54 62   
-3    56 48 24 16 18 26 50 58   
-2    44 36 12  4  6 14 38 46   
-1    40 32  8  0  2 10 34 42   
 0    41 33  9  1  3 11 35 43   
 1    45 37 13  5  7 15 39 47   
 2    57 49 25 17 19 27 51 59   
 3    61 53 29 21 23 31 55 63   
 4                              

Який складає 8х8 квадрат посередині 16х16 квадрата 0-255:

         -8  -7  -6  -5  -4  -3  -2  -1   0   1   2   3   4   5   6   7   8

 -8     252 244 220 212 124 116  92  84  86  94 118 126 214 222 246 254    
 -7     248 240 216 208 120 112  88  80  82  90 114 122 210 218 242 250    
 -6     236 228 204 196 108 100  76  68  70  78 102 110 198 206 230 238    
 -5     232 224 200 192 104  96  72  64  66  74  98 106 194 202 226 234    
 -4     188 180 156 148  60  52  28  20  22  30  54  62 150 158 182 190    
 -3     184 176 152 144  56  48  24  16  18  26  50  58 146 154 178 186    
 -2     172 164 140 132  44  36  12   4   6  14  38  46 134 142 166 174    
 -1     168 160 136 128  40  32   8   0   2  10  34  42 130 138 162 170    
  0     169 161 137 129  41  33   9   1   3  11  35  43 131 139 163 171    
  1     173 165 141 133  45  37  13   5   7  15  39  47 135 143 167 175    
  2     185 177 153 145  57  49  25  17  19  27  51  59 147 155 179 187    
  3     189 181 157 149  61  53  29  21  23  31  55  63 151 159 183 191    
  4     233 225 201 193 105  97  73  65  67  75  99 107 195 203 227 235    
  5     237 229 205 197 109 101  77  69  71  79 103 111 199 207 231 239    
  6     249 241 217 209 121 113  89  81  83  91 115 123 211 219 243 251    
  7     253 245 221 213 125 117  93  85  87  95 119 127 215 223 247 255    
  8                                                                        

Пітон 2, 49

Редагування: Покращено до 49 за допомогою кращої одноетапної рекурсії для бази -2.

def f(n):x,y=n and f(n/2)or(0,0);return n%2-2*y,x

Ось версія з використанням Pythreduce .

Редагування: Покращено до 52 шляхом переходу на базу -2 із збалансованого потрійного .

Пітон 2, 52

h=lambda n:n and n%2-2*h(n/4)
lambda n:(h(n),h(n/2))

---

Пітон 2, 54

h=lambda n:n and-~n%3-1+3*h(n/9)
lambda n:(h(n),h(n/3))

Для цього використовується перемежування цифр, як рішення Runer112 , але з збалансованим потрійним, а не підписаним двійковим. У Python немає вбудованої базової конверсії, тому код реалізує це рекурсивно.

Функція помічника h (з 3замість цього 9) приймає натуральне число і перетворює її з потрійного у врівноважене потрійне з цифровими підмінами

0 -> 0 
1 -> +1
2 -> -1

Так, наприклад, 19, що становить 201 в основі, стає (-1) (0) (+ 1) в збалансованому потрійному, що є (-1) * 3 ^ 2 + (0) * 3 ^ 1 + (+ 1) * 3 ^ 0 = -8.

Збалансованого потрійного достатньо для кодування кожного цілого числа, і таким чином дає відображення від натуральних чисел до цілих чисел.

Щоб відобразити пари на цілі числа, переплутаємо цифри n. Для цього ми hрозглядаємо кожну іншу цифру, роблячи n/9скоріше рекурсивний крок, а неn/3 . Потім по одній координаті зміщуємо nна поділ підлоги на 3.

Ось перші 81 виходи, які охоплюють область [-4,4] ^ 2.

0 (0, 0)
1 (1, 0)
2 (-1, 0)
3 (0, 1)
4 (1, 1)
5 (-1, 1)
6 (0, -1)
7 (1, -1)
8 (-1, -1)
9 (3, 0)
10 (4, 0)
11 (2, 0)
12 (3, 1)
13 (4, 1)
14 (2, 1)
15 (3, -1)
16 (4, -1)
17 (2, -1)
18 (-3, 0)
19 (-2, 0)
20 (-4, 0)
21 (-3, 1)
22 (-2, 1)
23 (-4, 1)
24 (-3, -1)
25 (-2, -1)
26 (-4, -1)
27 (0, 3)
28 (1, 3)
29 (-1, 3)
30 (0, 4)
31 (1, 4)
32 (-1, 4)
33 (0, 2)
34 (1, 2)
35 (-1, 2)
36 (3, 3)
37 (4, 3)
38 (2, 3)
39 (3, 4)
40 (4, 4)
41 (2, 4)
42 (3, 2)
43 (4, 2)
44 (2, 2)
45 (-3, 3)
46 (-2, 3)
47 (-4, 3)
48 (-3, 4)
49 (-2, 4)
50 (-4, 4)
51 (-3, 2)
52 (-2, 2)
53 (-4, 2)
54 (0, -3)
55 (1, -3)
56 (-1, -3)
57 (0, -2)
58 (1, -2)
59 (-1, -2)
60 (0, -4)
61 (1, -4)
62 (-1, -4)
63 (3, -3)
64 (4, -3)
65 (2, -3)
66 (3, -2)
67 (4, -2)
68 (2, -2)
69 (3, -4)
70 (4, -4)
71 (2, -4)
72 (-3, -3)
73 (-2, -3)
74 (-4, -3)
75 (-3, -2)
76 (-2, -2)
77 (-4, -2)
78 (-3, -4)
79 (-2, -4)
80 (-4, -4)

Альтернативне кодування з чверть уявним виявилося довше, хоча воно дуже гарне.

Пітон 2, 63

h=lambda n:n and n%4+2j*h(n/4)
lambda n:(h(n).real,h(n).imag/2)

Мовою з менш химерною обробкою складного перетворення, це, мабуть, буде кращим підходом. Якби ми могли вивести складні числа, ми могли б зробити:

Пітон 2, 38

f=lambda n:n and n%2+n/2%2*1j-2*f(n/4)

Python 2, 98 байт

Почнемо з простого підходу:

def f(N):
 x=a=0;b=2
 while N:x+=1j**b;b+=a<1;a=a or b/2;N-=1;a-=1
 return int(x.real),int(x.imag)

Він просто утворює прямокутну спіраль N одиниці довгою на 2d сітці, починаючи від початку, і повертає координати останньої точки.

Ця функція бієктивна, оскільки:

• Кожну точку можна прикрити, задавши досить довгу спіраль
• Кожна точка буде перетинатися спіраллю лише один раз

Спіраль виглядає приблизно так (за винятком того, що починається з 0, а не 1):

постійний струм, 49

[1+2~2*1-*n]sm?dsa8*1+v1-2/dd1+*2/lar-dlmx32P-lmx

Це починається з упорядкування нерегулярних цілих чисел у сітці таким чином:

..| 
4 | 14
3 |  9 13
2 |  5  8 12
1 |  2  4  7 11
0 |  0  1  3  6 10
Y +-----------------
  X  0  1  2  3  4 ...

Зауважте, що, як позиції сітки заповнюються по діагоналі зі збільшенням N. Зауважте, рядок Y = 0 містить трикутну послідовність чисел, задану виразом N = X(X+1)/2 . Це квадратичне рівняння, яке розв’язується за звичайною формулою, використовуючи лише корінь + ve, щоб ми могли визначити X з N, коли Y = 0. Далі - кілька простих арифметичних перетасовок, щоб дати унікальні {X, Y} для кожного N.

Це забезпечує необхідну біективну якість, але X і Y є лише негативними, але питання вимагає всіх можливих цілих чисел. Тож X і Y відображаються за допомогою ((t+1)/2)*((t+1)~2*2-1)давання всіх можливих цілих чисел.

dcмає довільні цифри точності, тому діапазон введення для сигналу не 2^31-1є проблемою. Слід також зазначити , що точність по умовчанням 0 десяткових цифр, а sqrt()й /цілий вниз , що це поведінка потрібно тут.

Вихід:

$ for i in {0..10}; do dc biject.dc <<< $i; echo; done
0 0
0 -1
-1 0
0 1
-1 -1
1 0
0 -2
-1 1
1 -1
-2 0
0 2
$

Матлаб, 54 байти

n=input('')+1;[i,j]=find(spiral(2*n)==n);disp([i,j]-n)

Ключовим тут є те spiral, що це створює спіральну матрицю довільного розміру.

spiral(3)

повертає

ans =

 7     8     9
 6     1     2
 5     4     3

У Matlab це працює для цілих чисел, але ви отримаєте проблеми з пам’яттю до цього, (ну, я вважаю вас командою spiral створює спочатку повну матрицю, яка має розмір приблизно$4n^2$. Навколо$n \simeq 10^4$ця матриця займає більше 1 Гб місця. Тож з 1 ТБ оперативної пам’яті ви зможете обійтись$n \simeq 10^5$, і о $2.9\cdot 10^{11}$ Гбайт оперативної пам’яті допоможе вам $n=2^{32}$.

Haskell, 78 74 байт

(concat[[(x,i-x),(x,x-1-i),(-1-x,x-1-i),(-1-x,i-x)]|i<-[0..],x<-[0..i]]!!)

Пробіг:

*Main> mapM_ (print . (concat[[(x,i-x),(x,x-1-i),(-1-x,x-1-i),(-1-x,i-x)]|i<-[0..],x<-[0..i]]!!) ) [0..20]
(0,0)
(0,-1)
(-1,-1)
(-1,0)
(0,1)
(0,-2)
(-1,-2)
(-1,1)
(1,0)
(1,-1)
(-2,-1)
(-2,0)
(0,2)
(0,-3)
(-1,-3)
(-1,2)
(1,1)
(1,-2)
(-2,-2)
(-2,1)
(2,0)

Як це працює: перерахуйте всі пари в першому квадранті в наступному порядку

  |
 2| #4
  |
 1| #2  #5
  | 
 0| #1  #3  #6
  +---------------
     0   1   2   3 

відобразити кожну точку в інші квадрати, щоб скласти список із 4-х списків елементів. Об’єднайте всі в один список і візьміть nth елемент.

Редагувати: функція не потребує імені, перепорядкованої математики. вирази.

Haskell , 50 байт

(0!).succ
l!n=(last$(!).succ:[(,)|odd n])l$div n 2

Спробуйте в Інтернеті або спробуйте з його зворотним!

Безумовно

ntoN2 n = 0 ! (n + 1)

xCounter ! remainingNum
  | odd remainingNum = (xCounter, div remainingNum 2)
  | otherwise        = (xCounter + 1) ! div remainingNum 2

Пояснення

Для цього використовується той факт, що кожен $(x,y) \in \mathbb{N}^2$ може бути відображено з 1 по 1 $2^x \cdot (2\cdot y + 1) - 1 \in \mathbb{N}$. Вищеописаний оператор (!)обчислює$x$розділивши вхід до тих пір, поки він є рівним, відстежуючи нульову ініціалізовану змінну l( xCounter). Як тільки ми дійшли до парного числа, обчислюється ціле ділення y.

Зауважте, що фактична функція f( ntoN2) збільшує вхід перед початком процедури.

05AB1E , 35 байт

>©DÝʒo®sÖ}àsÅÉʒ®sÖ}à<2÷‚εDÈi2÷ë>2÷(

Спробуйте в Інтернеті! або як Тестовий набір

Пояснення

Розглянемо

$$\begin{align*} f: \mathbb{N} &\longrightarrow \mathbb{N} \times \mathbb{N} \\ n&\longmapsto (x,y)\, , \end{align*}$$ де $x$ є найбільшою кількістю, так що $2^x$ розділяє $n+1$, і де $2y+1$ - найбільше непарне число, яке ділиться $n+1$. Зворотне$f$ є відомим біекція $f^{-1}(x,y) = 2^x(2y+1)-1$.

Тоді розглянемо

$$\begin{align*} g: \mathbb{N} \times \mathbb{N} &\longrightarrow \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \\ (m,n)&\longmapsto (h(m),h(n))\, , \end{align*}$$ де $$\begin{align*} h: \mathbb{N} &\longrightarrow \mathbb{Z} \\ n&\longmapsto \begin{cases}\frac n2, & n \text{ even}\\ -\frac{n+1}2, & n \text{ odd}\end{cases}\, . \end{align*}$$ З тих пір $f$, $g$ і $h$ все це біекція, композиція $g\circ f:\mathbb{N} \longrightarrow \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ є біекція.

Програма просто обчислює $g\circ f$.

>©DÝʒo®sÖ}àsÅÉʒ®sÖ}à<2÷‚εDÈi2÷ë>2÷( # Full program

                                    # Implicit input: Integer n
>©                                  # Compute n+1 and save it to the register
  DÝ                                # Duplicate n+1 and push the list [0,...,n+1]
    ʒo®sÖ}                          # Only keep those numbers x so that 2^x divides n+1
          à                         # Get maximum element in the list.
           sÅÉ                      # Swap so that n+1 is on top and push [1,3,5,...,n+1]
              ʒ®sÖ}                 # Only keep those numbers z which divides n+1
                   à<2÷             # Compute y = (z-1)/2
                       ‚            # Push the pair [x,y]
                        ε           # Apply the function h to x (and y):
                           i        # if...
                         DÈ         # x is even
                            2÷      # then compute x/2
                              ë>2÷( # else compute -(x+1)/2
                                    # Implicit output: [h(x),h(y)]

Математика, 46

SortBy[Tuples[Range[2#]-#,2],Norm][[#]]&[#+1]&

Сортуйте вектори за їхньою нормою, а потім приймайте nго.

JavaScript, 166 168 байт / символів

Новий підхід із використанням прямокутної спіралі, як і інші.

function f(n){return b=Math,k=b.ceil((b.sqrt(n)-1)/2),t=2*k+1,m=b.pow(t,2),t+=4,m-t>n?(m-=t,m-t>n?(m-=t,m-t>n?[k,k-(m-n-t)]:[-k+(m-n),k]):[-k,-k+(m-n)]):[k-(m-n),-k]}

Я використав цю відповідь на Math.SE, переклав її на JS і стиснув її за допомогою UglifyJS .

Цей підхід не використовує жодних циклів, а також не створює спіраль жодним чином.

Оскільки координати спіралі охоплюють усі цілі числа, функція є бієктивною в сенсі $f:\mathbb{N}^0\rightarrow \mathbb{Z}^2$.

Оновлення: Збережено 2 символи на зберігання Mathв b.

Update 2: Замінено t-=1з t+=4вирішити проблему, що викликала$f(0)=f(8)$. Це більше не генерує спіраль, але працює для всіх негативних чисел$\mathbb{N}^0$ (усі натуральні числа, включаючи $0$).