Напишіть програму, яка визначає, чи є таблиця множення даної кінцевої магми групою. Магма - це набір із двійковою операцією, яка закрита, це означає

• для всіх a, b в G, a * b знову в G (закритість)

Нехай (G, *) - магма. (G, *) - це група, якщо

• для всіх a, b, c в G, (a * b) * c = a * (b * c) (Асоціативність)
• існує елемент e в G такий, що e * a = a * e = a для всіх a в G (існування нейтрального елемента)
• для всіх a в G є ab в G таке, що a * b = b * a = e, де e нейтральний елемент (існування зворотного)

Технічні характеристики

Вхід складається з рядка з n ^ 2-1 символів (один символ для кожного елемента магми, дозволені 0-9, az) і просто представляє таблицю, прочитану рядок за рядком, опускаючи ім'я оператора. Можна припустити, що вхід представляє дійсну магму (це означає, що кожен з елементів з’являється рівно один раз у рядку / стовпчику заголовка).

Приклад: Тут у нас є таблиця Z_4

+ | 0 1 2 3
-----------
0 | 0 1 2 3
1 | 1 2 3 0
2 | 2 3 0 1
3 | 3 0 1 2

Вхідний рядок буде 012300123112302230133012. (Або якщо ми використовуємо символи, це теж може бути nezdnnezdeezdnzzdneddnez). Майте на увазі, що послідовність елементів у рядку та стовпці не повинна бути однаковою, тому таблиця Z_4 також може виглядати так:

+ | 1 3 2 0
-----------
1 | 2 0 3 1
0 | 1 3 2 0
2 | 3 1 0 2
3 | 0 2 1 3

Це також означає, що нейтральний елемент не обов'язково знаходиться в першому стовпчику чи першому рядку.

Якщо це група, програма повинна повернути символ, що представляє нейтральний елемент. Якщо ні, то він повинен повернути помилкове значення (відмінне від значень 0-9 az)

Тестові справи

Негрупи можна легко побудувати, просто змінивши одну цифру рядка або штучно змінивши таблиці, що визначають операцію, що суперечить одній із аксіом групи.

Групи

Тривіальне

* | x
-----
x | x

xxx

Neutral Element: x

Н (кватерніонова група)

* | p t d k g b n m 
-------------------
m | b d t g k p m n 
p | m k g d t n p b 
n | p t d k g b n m 
b | n g k t d m b p 
t | g m n p b k t d 
d | k n m b p g d t 
k | t b p m n d k g 
g | d p b n m t g k 

ptdkgbnmmbdtgkpmnpmkgdtnpbnptdkgbnmbngktdmbptgmnpbktddknmbpgdtktbpmndkggdpbnmtgk

Neutral Element: n

D_4

* | y r s t u v w x
-------------------
u | u x w v y t s r
v | v u x w r y t s
w | w v u x s r y t
x | x w v u t s r y
y | y r s t u v w x
r | r s t y v w x u
s | s t y r w x u v
t | t y r s x u v w


yrstuvwxuuxwvytsrvvuxwrytswwvuxsrytxxwvutsryyyrstuvwxrrstyvwxusstyrwxuvttyrsxuvw

Neutral Element: y

Z_6 x Z_2

x | 0 1 2 3 5 7 8 9 a b 4 6
---------------------------
0 | 0 1 2 3 5 7 8 9 a b 4 6 
1 | 1 2 3 4 0 8 9 a b 6 5 7 
2 | 2 3 4 5 1 9 a b 6 7 0 8 
7 | 7 8 9 a 6 2 3 4 5 0 b 1 
8 | 8 9 a b 7 3 4 5 0 1 6 2 
9 | 9 a b 6 8 4 5 0 1 2 7 3 
a | a b 6 7 9 5 0 1 2 3 8 4 
b | b 6 7 8 a 0 1 2 3 4 9 5 
3 | 3 4 5 0 2 a b 6 7 8 1 9 
4 | 4 5 0 1 3 b 6 7 8 9 2 a 
5 | 5 0 1 2 4 6 7 8 9 a 3 b 
6 | 6 7 8 9 b 1 2 3 4 5 a 0 

01235789ab46001235789ab4611234089ab6572234519ab67087789a623450b1889ab7345016299ab684501273aab6795012384bb678a0123495334502ab67819445013b67892a5501246789a3b66789b12345a0

Neutral Element: 0

A_4

* | i a b c d e f g h j k l
---------------------------
i | i a b c d e f g h j k l
a | a b i e c d g h f l j k
b | b i a d e c h f g k l j
c | c f j i g k a d l b e h
d | d h k b f l i e j a c g
e | e g l a h j b c k i d f
f | f j c k i g d l a h b e
g | g l e j a h c k b f i d
h | h k d l b f e j i g a c
j | j c f g k i l a d e h b
k | k d h f l b j i e c g a
l | l e g h j a k b c d f i

iabcdefghjkliiabcdefghjklaabiecdghfljkbbiadechfgkljccfjigkadlbehddhkbfliejacgeeglahjbckidfffjckigdlahbegglejahckbfidhhkdlbfejigacjjcfgkiladehbkkdhflbjiecgalleghjakbcdfi

Neutral Element: i

Негрупи

Цикл (група, яка відсутня асоціативність, або квазігрупа з нейтральним елементом)

* | 1 2 3 4 5
-------------
1 | 1 2 3 4 5 
2 | 2 4 1 5 3 
3 | 3 5 4 2 1 
4 | 4 1 5 3 2 
5 | 5 3 2 1 4

12345112345224153335421441532553214

Neutral Element: 1
(2*2)*3 = 4*3 = 5 != 2 = 2*1 = 2*(2*3)

IP-цикл (від http://www.quasigroups.eu/contents/download/2008/16_2.pdf )

* | 1 2 3 4 5 6 7
-----------------
1 | 1 2 3 4 5 6 7
2 | 2 3 1 6 7 5 4
3 | 3 1 2 7 6 4 5
4 | 4 7 6 5 1 2 3
5 | 5 6 7 1 4 3 2
6 | 6 4 5 3 2 7 1
7 | 7 5 4 2 3 1 6

123456711234567223167543312764544765123556714326645327177542316

Neutral Element: 1
2*(2*4) = 2*6 = 5 != 7 = 3*4 = (2*2)*4

Моноїд (Quincunx, спасибі!)

Моноїди - це Магми з асоціативністю та нейтральним елементом.

* | 0 1 2 3
-----------
0 | 0 1 2 3
1 | 1 3 1 3
2 | 2 1 0 3
3 | 3 3 3 3

012300123113132210333333

Neutral Element: 0

Ще один моноїд

(Мод множення 10, без 5) У нас, очевидно, немає зворотів, і асоціативність задається модулем множення 10.

* | 1 2 3 4 6 7 8 9
-------------------
1 | 1 2 3 4 6 7 8 9
2 | 2 4 6 8 2 4 6 8
3 | 3 6 9 2 8 1 4 7
4 | 4 8 2 6 4 8 2 6
6 | 6 2 8 4 6 2 8 4
7 | 7 4 1 8 2 9 6 3
8 | 8 6 4 2 8 6 4 2
9 | 9 8 7 6 4 3 2 1

Neutral Element: 1   12346789112346789224682468336928147448264826662846284774182963886428642998764321

Октава, 298 290 270 265 символів

function e=g(s)
c=@sortrows;d=a=c(c(reshape(a=[0 s],b=numel(a)^.5,b)')');
for i=2:b a(a==a(i))=i-1;end;
a=a(2:b,2:b--);u=1:b;
e=(isscalar(e=find(all(a==u')))&&a(e,:)==u&&sum(t=a==e)==1&&t==t')*e;
for x=u for y=u for z=u e*=a(a(x,y),z)==a(x,a(y,z));end;end;end;e=d(e+1);

265: Видалена непотрібна ручка функції.

270: Зрештою, перевірка того, що e==hдля e, завжди задовольняючих e · a = a і h, завжди задовольняючих a · h = a, не була необхідною. Це неможливо, щоб вони були різними ( e · h =? ).

Деталі з пояснення рішення нижче залишаються актуальними.

290:

function e=g(s)
c=@sortrows;d=a=c(c(reshape(a=[0 s],b=numel(a)^.5,b)')');
for i=2:b a(a==a(i))=i-1;end;
a=a(2:b,2:b--);u=1:b;
s=@isscalar;e=(s(e=find(all(a==u')))&&s(h=find(all(a'==u')'))&&sum(t=a==e)==1&&t==t')*e;
for x=u for y=u for z=u e*=a(a(x,y),z)==a(x,a(y,z));end;end;end;e=d(e+1);

Перший рядок

c=@sortrows;d=a=c(c(reshape(a=[0 s],b=numel(a)^.5,b)')'); просто зберігає вхід в таблицю nxn (з нульовим символом на місці позначки операції), а потім лексикографічно сортує стовпці та рядки, щоб рядки та стовпці отримували однаковий порядок:

+ | z a t b                        + | a b t z
-----------                        -----------
z | t b a z         becomes        a | t a z b
b | z a t b      ============>     b | a b t z
t | a z b t                        t | z t b a
a | b t z a                        z | b z a t

Тепер я переробляю "a","b","t","z"до стандартного 1, 2, 3, 4, щоб я міг ефективно індексувати таблицю. Це робиться лінією for i=2:b a(a==a(i))=i-1;end;. Він дає таблицю, як

0   1   2   3   4
1   3   1   4   2
2   1   2   3   4
3   4   3   2   1
4   2   4   1   3

, де ми можемо позбутися першого рядка та стовпця за допомогою a=a(2:b,2:b--);u=1:b;:

3  1  4  2
1  2  3  4
4  3  2  1
2  4  1  3

Ця таблиця має задані властивості:

• якщо нейтральний елемент e існує, точно один ( isscalar) рядок і один стовпець мають значення вектора рядків u=[1 2 3 ... number-of-elements]:

s=@isscalar;e=(s(e=find(all(a==u')))&&s(h=find(all(a'==u')'))&&...

• якщо кожен елемент має зворотний елемент а » , дві речі тримати: нейтральний елемент е відбувається тільки один раз кожного стовпчика і тільки один раз кожному рядку ( ) і, щоб задовольнити а" · а = а · а " , то входжень е є симетричний щодо перекладуsum(t=a==e)==1t==t'

• a · b можна отримати простим t(a,b)індексуванням. Потім перевіряємо асоціативність у нудному циклі:

for x=u for y=u for z=u e*=a(a(x,y),z)==a(x,a(y,z));end;end;end;

Функція повертає нейтральний елемент так, як він з'явився в оригінальній таблиці ( e=d(e+1)) або нульовому символі, якщо таблиця не описує групу.

Рубі, 401 ... 272

f=->s{n=(s.size+1)**0.5
w=n.to_i-1
e=s[0,w].split''
s=s[w,n*n]
m={}
w.times{(1..w).each{|i|m[s[0]+e[i-1]]=s[i]}
s=s[n,n*n]}
s=e.find{|a|e.all?{|b|x=m[a+b]
x==m[b+a]&&x==b}}
e.all?{|a|t=!0
e.all?{|b|x=m[a+b]
t||=x==m[b+a]&&x==s
e.all?{|c|m[m[a+b]+c]==m[a+m[b+c]]}}&&t}&&s}

Це моя перша рубінова програма! Це визначає лямбда-функцію, яку ми можемо перевірити, виконуючи puts f[gets.chomp]. Я повертаюся falseза свою помилкову цінність. Перша половина функції просто розбирає вхід у карту, потім друга половина перевіряє можливості.

f=->s{
    n=((s.size+1)**0.5).to_i
    w=n-1
    e=s[0,w].split'' # create an array of elements of the potential group
    s=s[w,n*n]
    m={} # this map is what defines our operation
    w.times{
        (1..w).each{               # for each element in the row of the table
            |i|m[s[0]+e[i-1]]=s[i] # put the value into the map
        }
        s=s[n,n*n]
    }
    s=e.find{|a| # s is the identity
        e.all?{|b|
            x=m[a+b]
            x==m[b+a]&&x==b # is a the identity?
        }
    }
    e.all?{|a| # implicit return statement
        t = !0 # t = false
        e.all?{|b| # check for inverses
            x=m[a+b]
            t ||= x==m[b+a]&&x==s # t is now true if b was a's inverse
            e.all?{|c|
                m[m[a+b]+c]==m[a+m[b+c]] # check associativity
            }
        } && t
    }&&s
}

JavaScript (ES6) 285 243 278

Запустіть фрагмент для тестування (будучи ES6, він працює лише у Firefox)

Редагуйте 2 виправлення помилок. Я неправильно знаходив нейтральний елемент, перевіряючи лише один спосіб. (Потрібні кращі тестові справи !!!)

Редагувати Використовуючи більш просту конкатенацію рядків замість подвійного індексу (наприклад, @Quincunx), я не знаю, про що думав. Крім того, спрощена зворотна перевірка, вона все одно повинна працювати.

F=t=>(
  e=t.slice(0,d=Math.sqrt(t.length)|0),
  t=t.slice(d).match('.'.repeat(d+1),'g'),
  t.map(r=>{
    for(v=r[i=0],
        j=e.search(v)+1, // column for current row  element
        r!=v+e|t.some(r=>r[j]!=r[0])?0:n=v; // find neutral
        c=r[++i];
       )h[v+e[i-1]]=c
  },h={},n=''),
  e=[...e],!e.some(a=>e.some(b=>(
    h[a+b]==n&&--d, // inverse
    e.some(c=>h[h[a+b]+c]!=h[a+h[b+c]]) // associativity
  )
  ))&&!d&&n
)

input { width: 400px; font-size:10px }

Click on textbox to test - Result : <span id=O></span><br>
<input value='...' onclick='O.innerHTML=F(this.value)'> (?)
<br>Groups<br>
<input value='nezdnnezdeezdnzzdneddnez' onclick='O.innerHTML=F(this.value)'> (n)<br>
<input value='ptdkgbnmmbdtgkpmnpmkgdtnpbnptdkgbnmbngktdmbptgmnpbktddknmbpgdtktbpmndkggdpbnmtgk' onclick='O.innerHTML=F(this.value)'> (n)<br>
<input value='yrstuvwxuuxwvytsrvvuxwrytswwvuxsrytxxwvutsryyyrstuvwxrrstyvwxusstyrwxuvttyrsxuvw' onclick='O.innerHTML=F(this.value)'> (y)<br>
<input value='01235789ab46001235789ab4611234089ab6572234519ab67087789a623450b1889ab7345016299ab684501273aab6795012384bb678a0123495334502ab67819445013b67892a5501246789a3b66789b12345a0'onclick='O.innerHTML=F(this.value)'> (0)<br>
Non groups <br>
<input value='12345112345224153335421441532553214' onclick='O.innerHTML=F(this.value)'> (FAIL)<br>
<input value='123456711234567223167543312764544765123556714326645327177542316' onclick='O.innerHTML=F(this.value)'> (FAIL)<br>
<input value='012300123113132210333333' onclick='O.innerHTML=F(this.value)'> (FAIL)<br>

Haskell 391B

import Data.Maybe
import Data.List
o a b=elemIndex b a
l£a=fromJust.o a$l
a§b=[a!!i|i<-b]
f s|isJust j&&and(map(isJust.o h)s)&&and[or[p%q==e|q<-h]&&and[p%(q%r)==(p%q)%r|q<-h,r<-h]|p<-h]=[e]|True="!"where n=floor$(sqrt(fromIntegral$length s+1))-1;h=take n s;g=[s§[a..b]|(a,b)<-zip[1+n,2+n+n..][n+n,3*n+1..(n+1)^2]];v=s§[n,1+2*n..n+n*n];a%b=g!!(b£v)!!(a£h);j=o g h;e=v!!fromJust j

Проклинайте тих import !

import Data.Maybe
import Data.List

{- rename elemIndex to save characters -}
o a b=elemIndex b a

{- get the index of l in a -}
l£a=fromJust.o a$l

{- extract a sublist of a with indices b -}
a§b=[a!!i|i<-b]

f s |isJust j {-Identity-}
     &&and (map (isJust.o h) s) {-Closure-}
     &&and[
        or [p%q==e|q<-h] {-Inverse-}
        && and [ p%(q%r)==(p%q)%r | q<-h,r<-h ] {-Associativity-}
     |
        p<-h
     ]=[e]
    |True="!"
    where
    {-size-}    n=floor$(sqrt(fromIntegral$length s+1))-1
    {-horiz-}   h=take n s
    {-table-}   g=[s§[a..b]|(a,b)<-zip[1+n,2+n+n..][n+n,3*n+1..(n+1)^2]]
    {-vert-}    v=s§[n,1+2*n..n+n*n]
    {-operate-} a%b=g!!(b£v)!!(a£h)
                j=o g h {-index of the first row identical to the top-}
    {-ident-}   e=v!!fromJust j

Пояснення

f::String->String відображає рядок в будь-який e::Char , елемент ідентифікації, або !.

whereПоложення створює купу змінних і функцій, які я коментував;v::[Int]- вертикальний перелік елементів, h::[Int]горизонтальний.

%::Char->Char->Char застосовує групову операцію до своїх аргументів.

g::[[Int]]є груповою таблицею (для використання з перенаправленням %)

j::Maybe Intмістить індекс ідентичності, vякщо він існує, в іншому випадку Nothing, саме тому isJust jє умовою fдля ідентичності.