Ви власник ресторану. Ви відкриваєтесь у новому районі Картезії, де є лише одна головна дорога, відома як вісь y. Ви хочете розмістити ресторан таким чином, щоб ви мінімізували загальну відстань від вашого ресторану та кожного з будинків у цьому районі.

Вхід :

Вхід буде

n, the number of houses
house1
house2
house3
...
houseN

де кожен будинок є координатою за формою x y. Кожна одиниця представляє один кілометр.

Ви можете взяти введення як рядок або надати функцію, яка приймає вхід у будь-якому форматі як аргументи.

Вихід : координата y вашого ресторану (пам’ятайте, що він буде розташований на осі y). Насправді він буде розташований збоку від дороги, але різниця незначна.

По суті, якщо n-й будинок є h_nі Dфункцією відстані, то ви хочете знайти kтакеD(h_0, (0, k)) + D(h_1, (0, k)) + D(h_2, (0, k)) + ... + D(h_n, (0, k)) зведена до мінімуму.

Зауважте, що відстань обчислюється так, ніби замовник подорожує точно по прямій лінії від свого будинку до ресторану. Це відстань (x, y)до вашого ресторануsqrt(x^2 + (y - k)^2) .

Вихід повинен бути точним як мінімум до 2 знаків після коми.

Вихід може бути надрукований у вигляді рядка або повернутись із функції.

Приклад введення / виводу:

Input:
2
5.7 3.2
8.9 8.1
Output:
5.113013698630137

Загальна відстань у цьому прикладі становить приблизно 15.4003 кілометрів.

Це код гольфу - найкоротший виграш коду.

PS Мене також цікавить математичне рішення, яке не є просто грубою силою. Він не виграє гольф коду, але отримає кілька коштів. Ось як я зробив приклад проблеми:

Нехай точка А розташована на A (5.7, 3.2), а B на B (8.9, 8.1). Нехай точка розв’язку в (0, k) дорівнює C. Відбийте A над віссю y, щоб A 'склав (-5,7, 3.2). Відстань від A 'до C дорівнює відстані від A до C. Тому задачу можна звести до точки C такою, що A'C + CB мінімізується. Очевидно, це була б точка С, що лежить на прямій А'В.

Я не знаю, чи добре це узагальнить до 3 і більше балів.

C, 315 302 байт

t,i;double o,w,h,x,y,k,a,b,c;double g(N,S)double N,S[][2];{for(t=0;t<N;t++)k+=S[t][1];k/=N;for(i=0;i<9;i++){o=w=h=0;for(t=0;t<N;t++)x=S[t][0],y=S[t][1],a=y-k,c=k*k-2*k*y+x*x+y*y,o+=-a/sqrt(x*x+a*a),w+=x*x/pow(c,1.5),h+=3*x*x*a/pow(c,2.5);a=h/2;b=w-h*k;c=o-w*k+a*k*k;k=(-b+sqrt(b*b-4*a*c))/h;}return k;}

Це далеко не досить, і це теж недовго. Я подумав, оскільки я не збираюсь вигравати змагання з тривалості, я можу спробувати виграти (теоретичний) конкурс на точність! Код, ймовірно, на порядок або на два швидше, ніж рішення грубої сили, і покладається на трохи математичної томфолерії.

Ми визначаємо функцію, g(N,S)яка приймає як вхідну кількість будинків Nта масив будинків S[][2].

Ось він не розгаданий, з тестовим кейсом:

t,i;
double o,w,h,x,y,k,a,b,c;
double g(N,S)double N,S[][2];{
    /* Initially, let k hold the geometric mean of given y-values */
    for(t=0;t<N;t++)
        k+=S[t][1];
    k/=N;

    /* We approximate 9 times to ensure accuracy */
    for(i=0;i<9;i++){
        o=w=h=0;
        for(t=0;t<N;t++)
            /* Here, we are making running totals of partial derivatives */
            /* o is the first, w the second, and h the third*/
            x=S[t][0],
            y=S[t][1],
            a=y-k,
            c=k*k-2*k*y+x*x+y*y,
            o+=-a/sqrt(x*x+a*a),
            w+=x*x/pow(c,1.5),
            h+=3*x*x*a/pow(c,2.5);
        /* We now use these derivatives to find a (hopefully) closer k */
        a=h/2;
        b=w-h*k;
        c=o-w*k+a*k*k;
        k=(-b+sqrt(b*b-4*a*c))/h;
    }
    return k;
}
/* Our testing code */
int main(int argc, char** argv) {
    double test[2][2] = {
        {5.7, 3.2},
        {8.9, 8.1}
    };    
    printf("%.20lf\n", g(2, test));
    return 0;
}

Які виходи:

5.11301369863013732697

Попередження: Для повного розуміння можуть знадобитися знання деяких обчислень!

Отже, поговоримо про математику.

Ми знаємо відстань від бажаної точки (0, k)та будинку i:

І таким чином загальну відстань Dвід nбудинків можна визначити так:

Що ми хотіли б зробити, це мінімізувати цю функцію, взявши похідну відносно kі встановивши її рівним 0. Давайте спробуємо. Ми знаємо, що похідні від Dможна описати так:

Але перша часткова похідна кожного Diдосить погана ...

На жаль, навіть при n == 2встановленні цих похідних 0і вирішенні питання kстає дуже згубним. Нам потрібен більш надійний метод, навіть якщо він вимагає деякого наближення.

Введіть поліноми Тейлора.

Якщо ми знаємо значення, D(k0)як і всі Dпохідні 's у k0, ми можемо переписати Dяк Taylor Series:

Тепер ця формула містить в собі купу речей, і її похідні можуть стати досить громіздкими, але зараз ми маємо наближення полінома до D !

Зробивши трохи обчислення, ми знаходимо наступні два похідні D, оцінюючи похідні Di, як і раніше:

Урізаючи та оцінюючи похідні, ми можемо тепер Dвизначити поліном 3-го ступеня форми:

Де A, B, C, D просто реальні числа.

Тепер це ми можемо мінімізувати. Коли ми візьмемо похідну і встановимо її рівній 0, ми закінчимо рівняння форми:

Виконуючи обчислення та заміни, ми придумуємо такі формули для a, b, and c:

Тепер наша проблема дає нам два рішення, задані квадратичною формулою:

Вся формула для k було б важким тягарем для виписки, тому ми робимо це на шматочки тут і в коді.

Оскільки ми знаємо, що вище kзавжди призведе до мінімальної відстані нашої приблизної D(у мене є справді чудовий доказ цього, якого межа цього документу недостатній для вмісту ...), нам навіть не доведеться вважати меншим з рішення.

Залишається одна остаточна проблема. Для точності необхідно, щоб ми почали з аk0 що знаходиться принаймні в основній точці, де ми очікуємо відповіді. З цією метою мій код вибирає середнє геометричне значення y-значень кожного будинку.

Як несправність, ми повторюємо всю проблему ще раз 9 разів, замінюючи k0наk на кожній ітерації, щоб забезпечити точність.

Я не займався математикою щодо того, скільки ітерацій і скільки похідних справді необхідні, але я вирішив помилитися на стороні обережності, поки не зможу підтвердити точність.

Якщо ви пройшли це зі мною, дуже дякую! Сподіваюся, ви зрозуміли, і якщо ви помітите будь-які помилки (яких, мабуть, багато, я дуже втомився), будь ласка, повідомте мене!

TI-BASIC, 20

fMin(sum(abs(iX-Ans)),X,~E99,E99

Здійснює введення на головному екрані калькулятора серії TI-83 або 84 у цій формі (Ви можете ввести 2:перший, який буде проігноровано):

{5.7+3.2i,8.9+8.1i}:[program name]

Якщо будинки завжди менше, ніж мільярд км від походження, E99 можна замінити на E9 розміром 18 байт.

Якщо була мова для гольфу на базі Mathematica, вона могла виграти це завдання в 10-14 байтів.

Математика, 42 байти

k/.Last@Minimize[Tr[Norm[#-{0,k}]&/@#],k]&

Це анонімна функція, яка приймає список пар як координати будинку і повертає потрібну координату y.

Це досить просто реалізація. Намалюємо Norm[#-{0,k}]&на кожну координату будинку (яка обчислює відстань до невизначеної точки {0,k}на осі y) і підсумовуємо їх усі Tr[...](для сліду, що еквівалентно Totalдля 1-d списків). Тоді ми використовуємо зручне, Minimizeщоб знайти мінімум цієї суми в k. Це дає результат форми {distance, {k -> position}, тому нам потрібно k/.Last@витягнути те, що positionми шукаємо.

Pyth, 33 байти

hosm.a,d,0NQcR^T3rhKSms*^T3ekQheK

Це рішення грубої сили: воно впорядковує всі можливі місця ресторану з роздільною здатністю 0,001 км за загальною віддаленістю від будинків, а потім вибирає найменшу загальну відстань. Місця розташування будинків приймає як список із двох вхідних списків плавців на STDIN.

Демонстрація.

Дозвіл може бути встановлено десь від 1е-2 км до 1е-10 км при тій же довжині коду, але з експоненціальними уповільненнями в процесі виконання.

Я відчуваю, що це могло б стати ще одним гольфом, я перегляну його знову пізніше.

Пітон 2, 312

from math import*;A,L,p=[map(float,raw_input().split()) for i in range(input())],lambda a:a[1],0.001
def R(m,M,s):
 while m<=M:yield m;m+=s
m=min(A,key=L)[1];M=max(A,key=L)[1];r=(m+M)/2;s=r-m
while s>p:D={y:sum([sqrt(X*X+(Y-y)**2)for X,Y in A])for y in R(r-s,r+s,s*p)};r=min(D,key=D.get);s*=p;m=r-s;M=r+s
print r

R, 145 143 126

У цьому я підозрюю багато зали для гри в гольф. Досить жорстокий метод. Я хотів би знайти приємніший спосіб зробити це. Я хоч Геометричні засоби можуть допомогти, але на жаль, ні.

r=sapply(seq(min((p=matrix(scan(),nr=2))),max(p),.001),function(X,p)c(X,sum((p[1,]^2+(p[2,]-X)^2)^.5)),p);r[1,order(r[2,])[1]]

Тестовий запуск

> r=sapply(seq(min((p=matrix(scan(),nr=2))),max(p),.001),function(X,p)c(X,sum((p[1,]^2+(p[2,]-X)^2)^.5)),p);r[1,order(r[2,])[1]]
1: 5.7 3.2
3: 8.9 8.1
5: 
Read 4 items
[1] 5.113
> 

В інтересах, якщо є лише два будинки для розгляду, наступне поверне прийнятний результат. Однак воно падає на три. На даний момент я не можу перенести це більше, але я подумав, що деякі мізки тут можуть щось зробити.

p=matrix(scan(),nr=2);weighted.mean(p[2,],sum(p[1,])-p[1,])

MATLAB, 42

Якщо це нормально, приймати введення як

I=[5.7 3.2
    8.9 8.1]

то це твердження

fminunc(@(y)sum(hypot(I(:,1),I(:,2)-y)),0)

повертає 5.113014445748538 .

Безсоромно вкравши метод Томаса Ква, ви могли звести його до 30 принаймні:

I=[5.7+3.2i 8.9+8.1i];
fminunc(@(y)sum(abs(I-i*y)),0)