Фон

Минулого разу ми підраховували групи заданого розміру , що є нетривіальною проблемою.

На цей раз ми будемо рахувати лише абелеві групи , тобто групи з комутативною операцією. Формально група (G, ∗) є абелевою, якщо x ∗ y = y ∗ x для всіх x, y в G .

Проблема стає набагато простішою, тому ми будемо їх ефективно рахувати.

Завдання

Напишіть програму або функцію, яка приймає невід'ємне ціле число n як вхідне і друкує або повертає кількість неізоморфних абелевих груп порядку n .

Один із способів обчислення кількості груп - який ми позначимо через A (n) - це шляхом дотримання наступного:

• A (0) = 0

• Якщо p є простим, A (p ^k ) дорівнює кількості цілих розділів k . (пор. OEIS A000041 )

• Якщо n = mk , а m і k є спільними простими, A (n) = A (m) A (k) .

Ви можете використовувати цей або будь-який інший метод обчислення A (n) .

Тестові справи

Input               Output
0                   0
1                   1
2                   1
3                   1
4                   2
5                   1
6                   1
7                   1
8                   3
9                   2
10                  1
11                  1
12                  2
13                  1
14                  1
15                  1
16                  5
17                  1
18                  2
19                  1
20                  2
4611686018427387904 1300156
5587736968198167552 155232
9223371994482243049 2

(взято з OEIS A000688 )

Додаткові правила

• Враховуючи достатньо часу, оперативної пам’яті та розміру регістру, який може вмістити вхід, ваш код повинен працювати (теоретично) для довільно великих цілих чисел.

• Ваш код повинен працювати для всіх цілих чисел від 0 до 2 ⁶³ - 1 і закінчуватись менше 10 хвилин на моїй машині (Intel i7-3770, 16 Гб оперативної пам’яті, Fedora 21).

  Будь ласка, переконайтесь, що ви вкажете свій код для останніх трьох тестових випадків, перш ніж надсилати відповідь.

• Вбудовані модулі, які реалізують це завдання, такі як Mathematica FiniteAbelianGroupCount, заборонені.

• Вбудовані модулі, які повертають або рахують цілі розділи числа або розділи списку, не дозволені.

• Діють стандартні правила гольф-коду .

CJam ( 39 38 байт)

qimF{~M\{_ee{~\)<1b}%1+a\+}*0=1be&}%:*

Демонстрація в Інтернеті

З цього випливає запропонований напрямок пошуку основної факторизації (mF ), а потім обчислення розділів кожної потужності та взяття їх продукту.

Існує два особливих випадки mF: це фактори 0як 0^1і 1як1^1 . Останнє не потребує спеціального лікування: є одна абелева група розміром 1 і одна секція 1. Однак нуль вимагає особливого випадку.

Підрахунок розділів використовує повтор для A008284(n, k)кількості розділів nна kчастини. В OEIS воно задається як

T(n, k) = Sum_{i=1..k} T(n-k, i), for 1<=k<=n-1; T(n, n) = 1 for n >= 1.

але я думаю , що це більш корисно думати про суму в межах від 1доmin(k, n-k) .

Розсічення

q~              e# Parse input into an integer
mF              e# Factorise it
{               e# For each factor p^a
  ~             e#   Split the array [p a]
                e#   The following lines count partitions of a
                e#   (Note: they would be buggy if a were ever 0, but it isn't)
  M\{           e#   Starting with a table of zero rows, repeat a times
    _ee         e#     Copy table and pair each row with its index
    {~\)<1b}%   e#     Extract that prepended index and use it to sum for each j
                e#     the first jth items of row j
    1+          e#     Append a 1 for P(i, i)
    a\+         e#     Prepend the new row to the table (which is stored in reverse)
  }*
  0=1b          e#   Sum the elements in the latest (first) row

  e&            e#   If p was 0 then replace with 0
}%
:*              e# Take the product

CJam, 50 49 47 43 байт

ri_mF{1=_L{1$0>{,f{):X-Xj}:+}{;!}?}2j}%:*e&

Використовується вбудована mFфакторизація CJam і запам'ятовується порт цієї функції номера розділу розділу Python:

p=lambda n,x:n==0 or n>0and sum(p(n+~a,a+1)for a in range(x))

або неозорений:

def p(n, x): # Call like p(n, n). n is number remaining, x is max part size
  if n > 0:
    return sum(p(n-a-1,a+1)for a in range(x))
  else:
    return (n==0)

Як і у відповіді @ RetoKoradi, останній випадок займає близько 17 секунд в режимі офлайн-перекладача, тому що стільки часу потрібно CJam, щоб підрахувати число. Отже, я вийшов із цього набору тестів в Інтернеті .

Повне пояснення

[Main body]
ri                                Read input and convert to int
  _          e&                   Logical AND input with final result to special case 0 
   mF                             Factorise input into [base, exponent] pairs
     {...}%                       Map, converting each pair to a partition number
           :*                     Take product

[Pair -> partition]
1=_                               Get exponent and copy (n,x in above Python)
   L                              Initialise empty cache
    {                       }2j   Memoise with 2 arguments
     1$0>                         Check if n > 0
         {            }{  }?      Execute first block if yes, else second block
                        ;!        Return (n == 0)
          ,f{      }              For each a in range(x) ...
             ):X-Xj               Call p(n-a-1,a+1) recursively
                    :+            Sum the results

Математика, 96 94 88 байт

f=1##&@@#&;f[SeriesCoefficient[1/f[1-x^Range@#],{x,0,#}]&/@Last/@FactorInteger@#]Sign@#&

Я не дуже досвідчений у Mathematica, але подумав, що спробую. Завдяки @ MartinBüttner за -6 байт.

Для цього використовується формула формуючої функції для цілих розділів.

CJam, 58 байт

li_mF{1=_L{_1>{_2$<{\;_j}{\,f{)_@\-j}:+}?}{;;1}?}2j}%:*\g*

Спробуйте в Інтернеті

Останній тестовий приклад займає назавжди (або принаймні довше, ніж я був готовий чекати) в онлайн-перекладачі, але закінчується за 17 секунд з офлайн-версією CJam на моєму ноутбуці. Всі інші приклади тестування є майже миттєвими.

Для цього використовується mFоператор CJam , який дає основну факторизацію з показниками. Результатом цього є добуток підрозділу для кожного показника.

Основна частина коду - це обчислення кількості розділів. Я реалізував рекурсивний алгоритм на сторінці вікіпедії , використовуючи jоператор, який підтримує рекурсію з запам'ятовуванням.

Пояснення:

li    Get input and convert to int.
_     Make a copy to handle 0 special case at the end.
mF    Factorization with exponents.
{     Loop over factors.
  1=    Take exponent from [factor exponent] pair.
  _     Repeat it, recursive calls are initiated with p(n, n).
  L     Empty list as start point of memoization state.
  {     Start recursive block. Argument order is (m, n), opposite of Wikipedia.
    _1>   Check for n > 1.
    {     Start n > 1 case.
      _2$   Copy both m and n.
      <     Check for n < m.
      {     n < m case.
        \;    Pop m.
        _     Copy n.
        j     Make the p(n, n) recursive call.
      }     End n < m case.
      {     Main part of algorithm that makes recursive calls in loop.
        \,    Generate [0 1 ... m-1] range for k.
        f{    Start loop over k.
          )     Increment, since k goes from 1 to m.
          _     Copy k.
          @\    Rotate n to top, and swap. Now have k n k at top of stack.
          -     Subtract, now have k n-k at top of stack.
          j     Make the p(n-k, k) recursive call.
        }     End loop over k.
        :+    Sum up all the values.
      }?    Ternaray operator for n < m condition.
    }     End n > 1 case.
    {     n <= 1 case.
      ;;1   Pop m, n values, and produce 1 as result.
    }?    Ternary operator for n > 1 condition.
  }2j   Recursive call with memoization, using 2 values.
}%    End loop over factors.
:*    Multiply all values.
\     Swap original input to top.
g     Signum.
*     Multiply to get 0 output for 0 input.