Яка це кінцева абелева група?

12

Опис

Напишіть функцію, f(m, G)яка приймає в якості аргументів відображення mта набір / список відмінних, негативних чисел G.

mмає відображати пари цілих чисел у Gнових цілих чисел у G. ( G, m) гарантовано утворює кінцеву абелеву групу , але будь-який елемент Gможе бути ідентичним.

Існує важлива теорема, яка говорить:

[Кожна кінцева абелева група] є ізоморфною для прямого добутку циклічних груп основного порядку потужності.

fповинні повернути перелік основних повноважень [p1, ... pn]у порядку зростання, таким, щоG ізоморфний до Z_p1 разів ... разів Z_pn

Приклади

  • f((a, b) → (a+b) mod 4, [0, 1, 2, 3])повинен повернутися [4], як параметри описують групу Z 4 .

  • f((a, b) → a xor b, [0, 1, 2, 3])повинен повернутися [2, 2], як параметри описують групу, ізоморфну Z 2 × Z 2 .

  • f((a, b) → a, [9])повинен повернутися [], як параметри описують тривіальну групу; тобто добуток нульових циклічних груп.

  • Визначте mтак:

    (a, b) → (a mod 3 + b mod 3) mod 3
       + ((floor(a / 3) + floor(b / 3)) mod 3) * 3
       + ((floor(a / 9) + floor(b / 9)) mod 9) * 9

    Потім f(m, [0, 1, ..., 80])слід повернутися [3, 3, 9], оскільки ця група є ізоморфною Z 3 × Z 3 × Z 9

Правила

  • mможе бути або функцією (або покажчиком функції на якусь функцію) Int × Int → Int, або словником, що відображає пари в G × Gнових елементах G.

  • fможе приймати його параметри в зворотному порядку, тобто ви також можете реалізувати f(G, m).

  • Ваша реалізація теоретично повинна працювати для довільно великих входів, але насправді не повинна бути ефективною.

  • Немає обмежень щодо використання вбудованих будь-яких типів.

  • Діють стандартні правила гольф-коду . Виграє найкоротший код у байтах.

Таблиця лідерів

Щоб ваш рахунок з’явився на дошці, він повинен бути у такому форматі:

# Language, Bytes

Показати фрагмент коду

code-golf  math  abstract-algebra 
— Лінн
джерело
Якщо mдозволено бути словником, чи можете ви надати тестові приклади також як словники?
— Мартін Ендер
Я вважав це, але вони досить великі, особливо останній випадок (тисячі пар ключових значень), і я не можу придумати дуже хороший формат для них. Відповідачам, мабуть, простіше скопіювати визначення функцій, а потім сконструювати самі словники (з чимось подібним for a in G: for b in G: d[(a, b)] = m(a, b)).
— Лінн
Я думаю, що це правильно. Я не можу досить добре зрозуміти вашу пасту, щоб перевірити, що відбувається, але це повинно довести це: bpaste.net/show/5821182a9b48
— Lynn
Щоб обернути голову навколо нього: він працює на потрійних номерах з тритами у форматі AABC, трактуючи їх як трійки (A, B, C), з модулем додавання попарно (9, 3, 3).
— Лінн
О, я щойно зрозумів свою (дуже дурну) помилку. Дякую за ваш фрагмент!
— недолік

Відповіді:

5

Матлаб, 326 байт

Із деякою теорією груп ідея досить проста: Тут TL; DR обчислює всі можливі порядки елементів групи. Потім знайдіть найбільшу підгрупу певного порядку харчування та “розподіліть її” з групи, промийте, повторіть.

function r=c(h,l)

                            %factorize group order
N=numel(L);
f=factor(N);
P=unique(f);                %prime factors
for k=1:numel(P);
    E(k)=sum(f==P(k));    %exponents of unique factors
end;

                            %calculate the order O of each element
O=L*0-1; 
l=L;
for k=2:N+1;

    l=h(l,L);

    O(l==L & O<0)=k-1
end;

%%

O=unique(O);               % (optional, just for speedupt)
R=[];
                           % for each prime,find the highest power that
                           % divides any of the orders of the element, and
                           % each time substract that from the remaining
                           % exponent in the prime factorization of the
                           % group order
for p=1:nnz(P);                          % loop over primes
    while E(p)>1;                        % loop over remaining exponent
        for e=E(p):-1:1;                 % find the highest exponent
            B=mod(O,P(p)^e)==0;          
            if any(B)
                R=[R,P(p)^e];            % if found, add to list
                O(B)=O(B)/(P(p)^e);
                E(p)=E(p)-e;
                break;
            end;
        end;
    end;
    if E(p)==1;
        R=[R,P(p)];
    end;
end;
r=sort(R)

Приклади входів:

L = 0:3;
h=@(a,b)mod(a+b,4);
h=@(a,b)bitxor(a,b);
L = 0:80;
h=@(a,b)mod(mod(a,3)+mod(b,3),3)+mod(floor(a/3)+floor(b/3),3)*3+ mod(floor(a/9)+floor(b/9),9)*9;

Версія для гольфу:

function r=c(h,l);N=numel(L);f=factor(N);P=unique(f);for k=1:numel(P);E(k)=sum(f==P(k));end;O=L*0-1;l=L;for k=2:N+1;l=h(l,L);O(l==L&O<0)=k-1;end;R=[];for p=1:nnz(P);while E(p)>1;for e=E(p):-1:1;B=mod(O,P(p)^e)==0; if any(B);R=[R,P(p)^e]; O(B)=O(B)/(P(p)^e);E(p)=E(p)-e;break;end;end;end;if E(p)==1;R=[R,P(p)];end;end;r=sort(R)
— недолік
джерело
1

GAP , 159 111 байт

GAP дозволяє нам просто побудувати групу за таблицею множення та обчислити її абелеві інваріанти:

ai:=    # the golfed version states the function w/o assigning it
function(m,G)
  local t;
  t:=List(G,a->List(G,b->Position(G,m(a,b))));
  # t is inlined in the golfed version
  return AbelianInvariants(GroupByMultiplicationTable(t));
end;

Стара версія

Кінцево представлена ​​група з генераторами G та відношеннями a * b = m (a, b) (для всіх a, b від G) - це група (G, m), з якої ми почали. Ми можемо створити його та обчислити його абелеві інваріанти за допомогою GAP:

ai:=    # the golfed version states the function w/o assigning it
function(m,G)
  local F,n,rels;
  n:=Size(G);
  F:=FreeGroup(n);
  rels:=Union(Set([1..n],i->
                Set([1..n],j->
                  F.(i)*F.(j)/F.(Position(G,m(G[i],G[j]))) ) ));
  # rels is inlined in the golfed version
  return AbelianInvariants(F/rels);
end;

Приклади

m1:=function(a,b) return (a+b) mod 4; end;
# I don't feel like implementing xor
m3:=function(a,b) return 9; end;
m4:=function(a,b)
  return (a+b) mod 3 # no need for inner mod
         + ((QuoInt(a,3)+QuoInt(b,3)) mod 3) * 3
         + ((QuoInt(a,9)+QuoInt(b,9)) mod 9) * 9;
  end;

Тепер ми можемо зробити:

gap> ai(m1,[0..3]);
[ 4 ]

Власне, ми не обмежуємось використанням списків цілих чисел. Використовуючи правильний домен, ми можемо просто використовувати загальний плюс:

ai(\+,List(Integers mod 4));
[ 4 ]

Таким чином, я по суті можу зробити другий приклад, використовуючи, що його група є ізоморфною групі присадок двовимірного векторного простору над полем з 2 елементами:

gap> ai(\+,List(GF(2)^2));
[ 2, 2 ]

І решта прикладів:

gap> ai(m3,[9]);
[  ]
gap> ai(m4,[0..80]);
[ 3, 3, 9 ]

Додаткові зауваження

У старій версії m не потрібно було визначати склад групи для G. Якщо m (a, b) = m (a, c), це просто говорить, що b = c. Так ми могли зробити ai(m1,[0..5])іai(m3,[5..15]) . Нова версія не буде жахливою у цих випадках, як і обидві версії, якщо m повертає значення, які не є у G.

Якщо (G, m) не є абелевим, ми отримуємо опис абеліанізованої версії його, тобто його найбільшої абелевої групи факторів:

gap> ai(\*,List(SymmetricGroup(4)));
[ 2 ]

Це те, що AbelianInvariantsзазвичай використовується, ми зазвичай просто дзвонимоAbelianInvariants(SymmetricGroup(4)) .

Версія для гольфу

function(m,G)return AbelianInvariants(GroupByMultiplicationTable(List(G,a->List(G,b->Position(G,m(a,b))))));end
— Християнський Сіверс
джерело
Використовуючи наш веб-сайт, ви визнаєте, що прочитали та зрозуміли наші Політику щодо файлів cookie та Політику конфіденційності.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.