Нехай zбуде складне число. zє n-м примітивним коренем єдності, якщо для певного додатного цілого n і для будь-якого додатного цілого k < n .

Виклик

Напишіть повну програму або функцію, яка, отримавши ціле додатне ціле число n, виводить усі n-ті примітивні корені єдності. Ви можете виводити їх у полярній формі ( e^θiабо e^iθ, аргумент має бути десятковою з принаймні двома знаками після коми) або прямокутною формою ( a + biабо подібною формою, реальні та уявні частини також повинні бути десятковими знаками), і вони можуть бути виведені у списку вашої мови / формат масиву або як рядок з числами, розділеними пробілами чи новими рядками. Вбудовані, які обчислюють n-е коріння єдності або n-ті примітивні корені єдності, не допускаються.

Це код-гольф , тому найкоротший код у байтах виграє.

Зразки входів і виходів

6 -> e^1.05i, e^-1.05i # polar form
3 -> e^2.094395i, e^-2.094395i # any number of decimal places is OK as long as there are more than 2
8 -> 0.707 + 0.707i, 0.707 - 0.707i, -0.707 + 0.707i, -0.707 - 0.707i # rectangular form
1 -> 1 + 0i # this is OK
1 -> 1 # this is also OK
4 -> 0 + i, 0 - i # this is OK
4 -> i, -i # this is also OK

Желе, 11 9 байт

Дякуємо @Dennis за -2 байти!

Rg=1O÷H-*

Я хотів генерувати числа coprime до N шляхом складання різниці множин у всіх коренях єдності від 1 до N, але я не міг зрозуміти, як я використав метод @ Денніса.

Rg=1O÷H-*         Monadic chain:          6
R                 Range                   [1,2,3,4,5,6]
 g                Hook gcds with range    [1,2,3,2,1,6]
  =1              [gcds equal to one]     [1,0,0,0,1,0]
    O             Replicate indices       [1,5]
     ÷H           Divide by half of N     [1/3,5/3]
       -          Numeric literal: - by itself is -1.
        *         Take -1 to those powers [cis π/3,cis 5π/3]

Спробуйте тут . Дійсна в цій версії Jelly, але може не бути у версіях після 1 лютого 2016 року.

Желе , 14 байт

Rg=1O°÷×ı360Æe

Спробуйте в Інтернеті!

Як це працює

z = e ^2tπi - n- ^й корінь 1, якщо і лише тоді, коли t = k / n для деякого цілого k .

г є примітивним тоді і тільки тоді , коли до і п взаємно прості.

Rg=1O°÷×ı360Æe  Main link. Input: n

R               Yield [1, ..., n].
 g              Compute the GCDs of reach integer and n.
  =1            Compare the GCDs with 1.
    O           Get all indices of 1's.
                This computes all the list of all k in [1, ..., n] 
                such that k and n are coprime.
     °          Convert the integers to radians.
      ÷         Divide the results by n.
       ×ı360    Multiply the quotient by the imaginary number 360i.
            Æe  Map exp over the results.

Джулія, 48 байт

n->cis(360deg2rad(filter(k->gcd(k,n)<2,1:n))/n)

Це лямбда-функція, яка приймає ціле число і повертає масив складних поплавків. Щоб викликати його, призначте його змінній. Він використовує той же підхід, що і відповідь Дженніса Желе.

Безголівки:

function f(n::Int)
    # Get the set of all k < n : gcd(k,n) = 1
    K = filter(k -> gcd(k,n) < 2, 1:n)

    # Convert these to radian measures
    θ = deg2rad(K)

    # Multiply by 360, divide by n
    θ = 360 * θ / n

    # Compute e^iz for all elements z of θ
    return cis(θ)
end

Рубін, 46 байт

Це реалізація відповіді Томаса Ква на не "гольф-мові" .

->n{(1..n).map{|j|1i**(4.0*j/n)if j.gcd(n)<2}}

Безголівки:

def r(n)
  (1..n).each do |j|
    if j.gcd(n) == 1    # if j is coprime with n, then this will be a primitive root of unity
      p 1i**(4.0*j/n)   # print the fourth power of i**(j/n), i.e. the root of unity
    end
  end
end

MATL , 27 байт

:1-tGYf1X-!\Xpg)2j*YP*G/Ze!

Випуск використання (9.3.1) , що є раніше, ніж це завдання.

Спробуйте в Інтернеті!

(Онлайн-компілятор використовує новіший випуск, але код працює у версії 9.3.1 і дає такий же результат)

Пояснення

Є три основні етапи:

1. Генерувати цілі числа 0, 1, ..., N-1, які відповідають усім коріння.
2. Зберігайте лише цілі числа, що відповідають примітивним кореням. Вони ідентифікуються за допомогою розкладання основного фактора N.
3. Генеруйте фактичні корені за допомогою уявного експоненціалу.

Код:

:1-           % 1. Implicit input "N". Produce vector [0,1,...,N-1]
t             %    duplicate
GYf           % 2. Prime factors of N
1X-           %    remove factor "1" if present (only if N==1)
!\            %    all combinations of [0,1,...,N-1] modulo prime factors of N
Xpg           %    logical "and" along the prime-factor dimension
)             %    index into original vector [0,1,...,N-1] to keep only primitive roots
2j*YP*G/Ze    % 3. Imaginary exponential to produce those roots
!             %    transpose for better output format

Matlab 49 байт

n=input('');q=0:n-1;exp(i*2*pi/n.*q(gcd(n,q)==1))

Не отримали завдання спочатку, але тепер ось воно. Виходи такі:

6
ans =
    0.5000 + 0.8660i   0.5000 - 0.8660i

ES6, 96 байт

n=>[...Array(n).keys()].filter(i=>g(i,n)<2,g=(a,b)=>a?g(b%a,a):b).map(i=>'e^'+Math.PI*2*i/n+'i')

Полярна форма була найкоротшою.

PARI / GP, 41 байт

Досить просто: знайдіть числа від 1 до n, які є спільними значеннями до n, потім

n->[exp(2*Pi*I*m/n)|m<-[1..n],gcd(n,m)<2]

Має бути якийсь коротший шлях, але це було найкраще, що я міг знайти.