З огляду mна nшоколадну плитку, m,nпозитивну, виведіть кількість способів розбити брусок на mn1 на 1 шматок, де кожен розрив відбувається на сітці.

Порядок важливий. Шматки також відрізняються, тому два шматки на будь-якому кінці шоколадної плитки 1 на 3 не є рівнозначними.

Наприклад, для блоку 2 на 2 у нас є:

 _ _            _   _            _   _            _   _
|_‖_|    ->    |‗| |_|    ->    |_| |‗|    ->    |_| |_|
|_‖_|          |_| |_|           _  |_|           _   _
                                |_|              |_| |_|


 _ _            _   _            _   _            _   _
|_‖_|    ->    |_| |‗|    ->    |‗| |_|    ->    |_| |_|
|_‖_|          |_| |_|          |_|  _            _   _
                                    |_|          |_| |_|


 _ _            _ _              _   _            _   _
|‗|‗|    ->    |_‖_|      ->    |_| |_|    ->    |_| |_|
|_|_|           _ _               _ _             _   _
               |_|_|             |_‖_|           |_| |_|


 _ _            _ _               _ _             _   _
|‗|‗|    ->    |_|_|      ->     |_‖_|    ->     |_| |_|
|_|_|           _ _              _   _            _   _
               |_‖_|            |_| |_|          |_| |_|

Отже, є 4 способи розбити шоколадний батончик 2 на 2.

Правила

• Вхід буде двома цілими числами через функціональний вхід, STDIN, командний рядок чи подібні. Виведіть одне число, кількість способів розбити шоколад.

• Оскільки цифри зростають досить швидко, не хвилюйтеся, якщо вихід перевищить цілі межі вашої мови - ваше подання буде дійсним до тих пір, поки алгоритм теоретично працює на всіх можливих введеннях.

Тестові справи

Вихід не залежить від порядку m,n, тому тестові випадки перераховані таким чином, що m <= n.

1 1 -> 1
1 2 -> 1
1 3 -> 2
1 4 -> 6
1 5 -> 24
1 10 -> 362880

2 2 -> 4
2 3 -> 56
2 4 -> 1712
2 5 -> 92800
2 10 -> 11106033743298560

3 3 -> 9408
3 4 -> 4948992
3 5 -> 6085088256
3 10 -> 76209753666310470268511846400

4 4 -> 63352393728

A261964 - це шоколадні числа, розташовані в трикутнику таким чином, що кожен ряд відповідає сумі m+n.

Математика, 85 байт

f=If[##==1,1,Tr[Sum[Binomial[1##-2,i#-1]f[i,#]f[#2-i,#],{i,#2-1}]&@@@{{##},{#2,#}}]]&

Тестовий випадок

f[4,4]
(* 63352393728 *)

Python 3, 168 , 156 , 147 байт

Завдяки чату вдосконалено

f=lambda n:n<1or n*f(n-1);a=lambda m,n,c=lambda m,n:sum(f(m*n-2)/f(i*n-1)/f((m-i)*n-1)*a(i,n)*a(m-i,n)for i in range(1,m)):+(m+n<4)or c(m,n)+c(n,m)

Безумовно:

f=lambda n:n<1or n*f(n-1) # Factorial
def a(m, n):
    if m+n < 4:
        return 1
    first = 0
    for i in range(1,m):
        first += f(m*n-2) * 1/f(i*n-1) * 1/f((m-i)*n-1) * a(i,n) * a(m-i,n)
    second = 0
    for i in range(1,n):
        second += f(m*n-2) * 1/f(i*m-1) * 1/f((n-i)*m-1) * a(i,m) * a(n-i,m)
    return first + second

Алгоритм був заснований на цій роботі .

Можливо, я міг би скоротити це набагато більше, я просто не знаю, де

R, 208 198 байт

f=function(m,n){g=function(i,j){a=0;if(j>1)for(x in 2:j-1)a=a+choose(j*i-2,x*i-1)*M[x,i]*M[j-x,i];a};s=max(m,n);M=matrix(1,s,s);for(i in 1:s)for(j in 1:s)if(i*j>2)M[i,j]=M[j,i]=g(i,j)+g(j,i);M[m,n]}

Відступ з новими рядками:

f = function(m,n){
    g=function(i,j){
        a = 0
        if(j>1) for(x in 2:j-1) a = a + choose(j*i-2,x*i-1) * M[x,i] * M[j-x,i]
        a
    }
    s = max(m,n)
    M = matrix(1,s,s)
    for(i in 1:s) for(j in 1:s) if(i*j>2) M[i,j] = M[j,i] = g(i,j) + g(j,i)
    M[m,n]
}

Використання:

> f(3,1)
[1] 2
> f(3,2)
[1] 56
> f(3,3)
[1] 9408
> f(4,3)
[1] 4948992
> f(5,3)
[1] 6085088256

Python 2, 135 байт

C=lambda A:sum(C(A[:i]+A[i+1:]+[(c,H),(W-c,H)])for i,Q in enumerate(A)for W,H in(Q,Q[::-1])for c in range(1,W))or 1
print C([input()])

Ось що я придумав. Це дуже повільно, але ось більш швидка версія (потребує repoze.lru ):

from repoze.lru import lru_cache
C=lru_cache(maxsize=9999)(lambda A:sum(C(tuple(sorted(A[:i]+A[i+1:]+((c,H),(W-c,H)))))for i,Q in enumerate(A)for W,H in(Q,Q[::-1])for c in range(1,W))or 1)
print C((input(),))

Приклади

$ time python2 chocolate.py <<< 2,5
92800

real    0m2.954s
user    0m0.000s
sys     0m0.015s

$ time python2 chocolate-fast.py <<< 3,5
6085088256

real    0m0.106s
user    0m0.000s
sys     0m0.015s

Пояснення

Код визначає функцію, Cяка займає масив фрагментів. Алгоритм такий:

1. for i,Q in enumerate(A): проведіть через масив шматків.
2. for W,H in(Q,Q[::-1]): обчислити способи вдвічі, обертаючись на 90 градусів.
3. for c in range(1,W): проведіть крізь можливі позиції для поділу на.
4. A[:i]+A[i+1:]+[(c,H),(W-c,H)]: отримати список без розбитого шматка та з двома новими фрагментами.
5. C(…): викликати функцію ще раз у цьому списку.
6. sum(…): підсумовуйте результати для кожного можливого розбиття.
7. or 1: якщо ніяких розбитків неможливо, існує рівно один спосіб розділити шоколад.

Нарешті, код викликається масивом, що містить вхід.

ES6, 141 байт

c=(m,n)=>(f=n=>n<2||n*f(n-1),h=(m,n)=>[...Array(m-1)].reduce((t,_,i)=>t+f(m*n-2)/f(++i*n-1)/f((m-i)*n-1)*c(i,n)*c(m-i,n),0),h(m,n)+h(n,m))||1

На основі формули, знайденої @CameronAavik. Безумовно:

function fact(n) {
    return n < 2 ? 1 : n * f(n - 1);
}
function half(m, n) {
    total = 0;
    for (i = 1; i < m; i++)
        total += fact(m * n - 2) / fact(i * n - 1) / fact((m - i) * n - 1) * choc(i, n) * choc(m - i, n)
    return total;
}
function choc(m, n) {
    total = half(m, n) + half(n, m);
    if (!total) total = 1;
    return total;
}