Майже безмасова кішка скидається в космос (не хвилюйтесь, з космічним костюмом і всім) у точці (x, y, z)зі швидкістю (vx, vy, vz). У точці є нерухома, нескінченно щільна планета (об'ємом 0), (0, 0, 0)яка притягує об'єкти на відстань rіз прискоренням 1/r^2. Відповідно до ньютонівської гравітації, куди іде час після часу t?

Майже безмасштабне в цьому випадку означає, що ви виводите значення lim (mass --> 0) <position of cat>. На масу впливає гравітація планети, але на планету не впливає гравітація кота. Іншими словами, центральне тіло фіксується.

Це дещо схоже на Code Golf: Яка доля космічного корабля? [версія з плаваючою комою] , але це інше, оскільки це вимірювання точності.

Ви можете реалізувати рішення на основі моделювання, яке має запуститись менше ніж за 3 секунди, АБО ви можете реалізувати програму, яка дає точне значення (також має працювати менше ніж за 3 секунди). Див. Детальну інформацію про підрахунок нижче. Якщо ви реалізуєте моделювання, воно не повинно бути точним, але ваш результат буде нижчим через неточність.

Введення : x y z vx vy vz tне обов'язково цілі числа, що представляють координати x, y, z, швидкість у напрямках x, y, z та час відповідно. Гарантується, що швидкість кота суворо менша за швидкість втечі на цій висоті. Введення даних може здійснюватися з будь-якого місця, включаючи параметри функції. Програма повинна працювати менш ніж за три секунди на моєму ноутбуці t < 2^30, а це означає, що якщо ви працюєте з імітацією, ви повинні відповідно відрегулювати свій часовий крок. Якщо ви плануєте досягти межі 3 секунди для кожного тестового випадку, переконайтеся, що є настроюваний параметр, який може зробити його більш точним / менш точним для збільшення швидкості, щоб я міг змусити його працювати за три секунди на своєму комп’ютері.

Вихід :, x y zположення за часом t.

Оскільки проблему з двома тілами можна вирішити ідеально, теоретично можна отримати ідеальну правильну відповідь.

Оцінка балів : для будь-якого тестового випадку помилка визначається як відстань між вашим результатом та "справжнім" результатом. Справжній вихід визначається як той, який генерує фрагмент тестового випадку. Якщо помилка менше 10^(-8), помилка округляється до нуля. Ваш бал - це середня помилка в 100 (або більше) випадкових тестових випадках. Якщо ви пишете ідеально точну відповідь, ви повинні отримати оцінку 0; виграє найнижчий бал, а зв'язки будуть порушені за кодом.

Тестові приклади :

1 0 0 0 -1 0 1000000000 --> 0.83789 -0.54584 0

У цьому випадку орбіта ідеально кругла з періодом 2 * пі, тому після обходу 159154943 разів кішка закінчується приблизно (0.83789, -0.54584). Це не тестовий випадок, на якому буде перевірено ваш код; якщо ви подасте абсолютно точну відповідь, можливо, ви захочете перевірити її на цьому.

Нижче наведений фрагмент генерує випадкові додаткові тестові випадки і буде використовуватися для судження подань; дайте мені знати, чи є помилка з цим:

var generateTestCase = function() {
  var periapsis = Math.random() * 10 + 0.5;
  var circularVelocity = Math.sqrt(1 / periapsis);
  var escapeVelocity = Math.sqrt(2) * circularVelocity;
  var v = Math.random() * (escapeVelocity - circularVelocity) + circularVelocity;
  var a = 1 / (2 / periapsis - v * v);
  var ecc = (a - periapsis) * (2 / periapsis - v * v);
  var semiLatus = a * (1 - ecc * ecc);
  var angM = Math.sqrt(semiLatus);
  var period = 2 * Math.PI * a * Math.sqrt(a);
  var getCoordAfterTime = function(t) {
    var meanAnomaly = t / (a * Math.sqrt(a));

    function E(e, M, n) {
      var result = M;
      for (var k = 1; k <= n; ++k) result = M + e * Math.sin(result);
      return result;
    }
    var eAnomaly = E(ecc, meanAnomaly, 10000);
    var radius = a * (1 - ecc * Math.cos(eAnomaly));
    var theta = Math.acos((semiLatus / radius - 1) / ecc);
    if (t > period / 2) theta = -theta;
    return {
      r: radius,
      t: theta,
      x: radius * Math.cos(theta),
      y: radius * Math.sin(theta)
    };
  }
  var t1 = Math.random() * period;
  var p1 = getCoordAfterTime(t1);
  var v1 = Math.sqrt(2 / p1.r - 1 / a);
  var velocityAngle1 = Math.acos(angM / p1.r / v1);
  var horizontal = Math.atan(-p1.x / p1.y);
  if (t1 < period / 2) {
    velocityAngle1 *= -1;
    horizontal += Math.PI;
  }
  var vx = v1 * Math.cos(horizontal + velocityAngle1);
  var vy = v1 * Math.sin(horizontal + velocityAngle1);
  var t2 = Math.random() * period;
  var p2 = getCoordAfterTime(t2);
  var v2 = Math.sqrt(2 / p2.r - 1 / a);
  var dummyPeriods = Math.floor(Math.random() * 100) * period + period;
  var rotate = function(x, y, z, th1, th2, th3) {
    var x1 = x * Math.cos(th1) - y * Math.sin(th1);
    var y1 = x * Math.sin(th1) + y * Math.cos(th1);
    var z1 = z;
    var x2 = x1 * Math.cos(th2) + z1 * Math.sin(th2);
    var y2 = y1;
    var z2 = -x1 * Math.sin(th2) + z1 * Math.cos(th2);
    var x3 = x2;
    var y3 = y2 * Math.cos(th3) - z2 * Math.sin(th3);
    var z3 = y2 * Math.sin(th3) + z2 * Math.cos(th3);
    return [x3, y3, z3];
  }
  var th1 = Math.random() * Math.PI * 2,
    th2 = Math.random() * 2 * Math.PI,
    th3 = Math.random() * 2 * Math.PI;
  var input = rotate(p1.x, p1.y, 0, th1, th2, th3)
    .concat(rotate(vx, vy, 0, th1, th2, th3))
    .concat([t2 - t1 + dummyPeriods]);
  var output = rotate(p2.x, p2.y, 0, th1, th2, th3);
  return input.join(" ") + " --> " + output.join(" ");
}
var $ = function(x) {
  return document.querySelector(x);
}
$("#onetestcase").onclick = function() {
  $("#result1").innerHTML = generateTestCase();
}
$("#huntestcases").onclick = function() {
  var result = [];
  for (var i = 0; i < 100; ++i) result.push(generateTestCase());
  $("#result100").innerHTML = result.join("\n");
}

<div>
  <button id="onetestcase">Generate</button>
  <pre id="result1"></pre>
</div>
<div>
  <button id="huntestcases">Generate 100 test cases</button>
  <pre id="result100"></pre>
</div>

Python 3,5 + NumPy, точно, 186 байт

from math import*
def o(r,v,t):
 d=(r@r)**.5;W=2/d-v@v;U=W**1.5;b=[0,t*U+9]
 while 1:
  a=sum(b)/2;x=1-cos(a);y=sin(a)/U;k=r@v*x/W+d*y*W
  if a in b:return k*v-r*x/W/d+r
  b[k+a/U-y>t]=a

Це точне рішення, використовуючи формулу I, розроблену на основі Джеспера Горансонсона, "Симетрії проблеми Кеплера", 2015 рік . Він використовує двійковий пошук для вирішення трансцендентального рівняння Ax + B cos x + C sin x = D, яке не має рішення закритої форми.

Функція очікує, що позиція та швидкість передаються у вигляді масивів NumPy:

>>> from numpy import array
>>> o(array([1,0,0]),array([0,-1,0]),1000000000)
array([ 0.83788718, -0.54584345,  0.        ])
>>> o(array([-1.1740058273269156,8.413493259550673,0.41996042044140003]),array([0.150014367067652,-0.09438816345868332,0.37294941703455975]),7999.348650387233)
array([-4.45269544,  6.93224929, -9.27292488])

Javascript

Це просто для того, щоб м'яч прокатувався, оскільки, здається, ніхто не публікує відповідей. Ось дуже наївний, простий спосіб, який можна багато вдосконалити:

function simulate(x, y, z, vx, vy, vz, t) {
  var loops = 1884955; // tune this parameter
  var timestep = t / loops;
  for (var i = 0; i < t; i += timestep) {
    var distanceSq = x*x + y*y + z*z; // distance squared from origin
    var distance = Math.sqrt(distanceSq);
    var forceMag = 1/distanceSq; // get the force of gravity
    var forceX = -x / distance * forceMag;
    var forceY = -y / distance * forceMag;
    var forceZ = -z / distance * forceMag;
    vx += forceX * timestep;
    vy += forceY * timestep;
    vz += forceZ * timestep;
    x += vx * timestep;
    y += vy * timestep;
    z += vz * timestep;
  }
  return [x, y, z];
}

Тестування:

simulate(1, 0, 0, 0, -1, 0, Math.PI*2) --> [0.9999999999889703, -0.0000033332840909716455, 0]

Гей, це дуже добре. Він має помилку приблизно 3,333 * 10 ^ (- 6), що недостатньо для округлення вниз ... це близько.

Задля розваги:

console.log(simulate(1, 0, 0, 0, -1, 0, 1000000000))
--> [-530516643639.4616, -1000000000.0066016, 0]

Що ж, добре; тому це не найкраще.

І на випадковому тестовому випадку від генератора:

simulate(-1.1740058273269156,8.413493259550673,0.41996042044140003,0.150014367067652,-0.09438816345868332,0.37294941703455975,7999.348650387233)
-->    [-4.528366392498373, 6.780385554803544, -9.547824236472668]
Actual:[-4.452695438880813, 6.932249293597744, -9.272924876103785]

З помилкою лише приблизно 0,32305!

Це можна значно покращити, використовуючи щось на зразок інтеграції Verlet або якогось фантазійного алгоритму. Насправді, ці алгоритми можуть навіть отримати ідеальні оцінки, незважаючи на те, що вони є симуляціями.