Виклик

Напишіть програму P, не вводячи ніяких даних, щоб пропозиція "виконання P врешті-решт припиняється" не залежить від арифметики Пеано .

Формальні правила

(Якщо ви математичний логік, який вважає, що описаний вище опис є надто неофіційним.)

В принципі, можна перетворити деяку універсальну машину Тюрінга U (наприклад, вашу улюблену мову програмування) в арифметичну формулу Peano HALT через змінну p , де HALT ( p ) кодує пропозицію " U закінчується програмою ( кодується Gödel ) р ”. Завдання полягає в тому, щоб знайти p таким, що не може бути доведено ані HALT ( p ), а ¬HALT ( p ) в арифметиці Peano.

Ви можете припустити, що ваша програма працює на ідеальній машині з необмеженою пам’яттю та цілими числами / покажчиками, достатньо великими для доступу до неї.

Приклад

Щоб побачити, що такі програми існують, один приклад - програма, яка вичерпно шукає арифметичний доказ Peano 0 = 1. Арифметика Peano доводить, що ця програма зупиняється тоді і лише тоді, коли арифметика Peano суперечить. Оскільки арифметика Peano є послідовною, але не може довести свою послідовність , вона не може вирішити, чи припиняється ця програма.

Однак існує багато інших пропозицій, незалежних від арифметики Peano, на яких ви можете базувати свою програму.

Мотивація

Цей виклик був надихнутий новим документом Yedidia та Aaronson (2016), який демонстрував машину Тьюрінга в штаті 7 918 держав, невстановлення якої не залежить від ZFC , набагато сильнішої системи, ніж арифметика Peano. Вас може зацікавити його цитування [22]. Для цього виклику, звичайно, ви можете використовувати обрану мову програмування замість фактичних машин Тьюрінга.

Haskell, 838 байт

"Якщо ви хочете щось зробити, ..."

import Control.Monad.State
data T=V Int|T:$T|A(T->T)
g=guard
r=runStateT
s!a@(V i)=maybe a id$lookup i s
s!(a:$b)=(s!a):$(s!b)
s@((i,_):_)!A f=A(\a->((i+1,a):s)!f(V$i+1))
c l=do(m,k)<-(`divMod`sum(1<$l)).pred<$>get;g$m>=0;put m;l!!fromEnum k
i&a=V i:$a
i%t=(:$).(i&)<$>t<*>t
x i=c$[4%x i,5%x i,(6&)<$>x i]++map(pure.V)[7..i-1]
y i=c[A<$>z i,1%y i,(2&)<$>y i,3%x i]
z i=(\a e->[(i,e)]!a)<$>y(i+1)
(i?h)p=c[g$any(p#i)h,do q<-y i;i?h$q;i?h$1&q:$p,do f<-z i;a<-x i;g$p#i$f a;c[i?h$A f,do b<-x i;i?h$3&b:$a;i?h$f b],case p of A f->c[(i+1)?h$f$V i,do i?h$f$V 7;(i+1)?(f(V i):h)$f$6&V i];V 1:$q:$r->c[i?(q:h)$r,i?(2&r:h)$V 2:$q];_->mzero]
(V a#i)(V b)=a==b
((a:$b)#i)(c:$d)=(a#i)c&&(b#i)d
(A f#i)(A g)=f(V i)#(i+1)$g$V i
(_#_)_=0<0
main=print$(r(8?map fst(r(y 8)=<<[497,8269,56106533,12033,123263749,10049,661072709])$3&V 7:$(6&V 7))=<<[0..])!!0

Пояснення

Ця програма безпосередньо шукає арифметичний доказ Peano 0 = 1. Оскільки ПА є послідовним, ця програма ніколи не припиняється; але оскільки ПА не може довести свою послідовність, не припинення цієї програми не залежить від ПТ.

T - це тип виразів і пропозицій:

• A Pявляє собою пропозицію ∀ x [ P ( x )].
• (V 1 :$ P) :$ Qє пропозиція Р → Q .
• V 2 :$ Pподає пропозиції ¬ P .
• (V 3 :$ x) :$ yявляє собою пропозицію x = y .
• (V 4 :$ x) :$ yявляє собою природне x + y .
• (V 5 :$ x) :$ yявляє собою природне x ⋅ y .
• V 6 :$ xявляє собою природне S ( x ) = x + 1.
• V 7 репресує природний 0.

У середовищі з i вільними змінними ми кодуємо вирази, пропозиції та докази як 2 × 2 цілочисельні матриці [1, 0; a , b ] наступним чином:

• M ( i , ∀ x [ P ( x )]) = [1, 0; 1, 4] ⋅ M ( i , λ x [P (x)])
• M ( i , λ x [ F ( x )]) = M ( i + 1, F ( x )), де M ( j , x ) = [1, 0; 5 + i , 4 + j ] для всіх j > i
• M ( i , P → Q ) = [1, 0; 2, 4] ⋅ M ( i , P ) ⋅ M ( i , Q )
• M ( i , ¬ P ) = [1, 0; 3, 4] ⋅ M ( i , P )
• M ( i , x = y ) = [1, 0; 4, 4] ⋅ M ( i , x ) ⋅ M ( i , y )
• M ( i , x + y ) = [1, 0; 1, 4 + i ] ⋅ M ( i , x ) ⋅ M ( i , y )
• М ( я , x ⋅ y ) = [1, 0; 2, 4 + i ] ⋅ M ( i , x ) ⋅ M ( i , y )
• M ( i , S x ) = [1, 0; 3, 4 + i ] ⋅ M ( i , x )
• M ( i , 0) = [1, 0; 4, 4 + i ]
• M ( i , ( Γ , P ) ⊢ P ) = [1, 0; 1, 4]
• M ( i , Γ ⊢ P ) = [1, 0; 2, 4] ⋅ M ( i , Q ) ⋅ M ( i , Γ ⊢ Q ) ⋅ M ( i , Γ ⊢ Q → P )
• M ( i , Γ ⊢ P ( x )) = [1, 0; 3, 4] ⋅ M ( i , λ x [P (x)]) ⋅ M ( i , x ) ⋅ [1, 0; 1, 2] ⋅ M ( i , Γ ⊢ ∀ x P (x))
• M ( i , Γ ⊢ P ( x )) = [1, 0; 3, 4] ⋅ M ( i , λ x [P (x)]) ⋅ M ( i , x ) ⋅ [1, 0; 2, 2] ⋅ M ( i , y ) ⋅ M ( i , Γ ⊢ y = x ) ⋅ M ( i , Γ ⊢ P ( y ))
• M ( i , Γ ⊢ ∀ x , P ( x )) = [1, 0; 8, 8] ⋅ M ( i , λ x [ Γ ⊢ P ( x )])
• M ( i , Γ ⊢ ∀ x , P ( x )) = [1, 0; 12, 8] ⋅ M ( i , Γ ⊢ P (0)) ⋅ M ( i , λ x [( Γ , P ( x )) ⊢ P (S ( x ))]]
• M ( i , Γ ⊢ P → Q ) = [1, 0; 8, 8] ⋅ M ( i , ( Γ , P ) ⊢ Q )
• M ( i , Γ ⊢ P → Q ) = [1, 0; 12, 8] ⋅ M ( i , ( Γ , ¬ Q ) ⊢ ¬ P )

Решта аксіоми кодуються чисельно і включаються в початкове середовище Γ :

• M (0, ∀ x [ x = x ]) = [1, 0; 497, 400]
• M (0, ∀ x [¬ (S ( x ) = 0)]) = [1, 0; 8269, 8000]
• M (0, ∀ x ∀ y [S ( x ) = S ( y ) → x = y ]) = [1, 0; 56106533, 47775744]
• М (0, ∀ x [ x + 0 = x ]) = [1, 0; 12033, 10000]
• M (0, ∀ y [ x + S ( y ) = S ( x + y )]) = [1, 0; 123263749, 107495424]
• М (0, ∀ x [ x ⋅ 0 = 0]) = [1, 0; 10049, 10000]
• M (0, ∀ x ∀ y [ x ⋅ S ( y ) = x ⋅ y + x ]) = [1, 0; 661072709, 644972544]

Доказ з матрицею [1, 0; a , b ] можна перевірити, задавши лише лівий нижній кут A (або будь-яке інше значення конгруентно з по модулю б ); інші значення є для того, щоб увімкнути композицію доказів.

Наприклад, ось доказ того, що додавання є комутативним.

• M (0, Γ ⊢ ∀ x ∀ y [ x + y = y + x]) = [1, 0; 6651439985424903472274778830412211286042729801174124932726010503641310445578492460637276210966154277204244776748283051731165114392766752978964153601068040044362776324924904132311711526476930755026298356469866717434090029353415862307981531900946916847172554628759434336793920402956876846292776619877110678804972343426850350512203833644, 14010499234317302152403198529613715336094817740448888109376168978138227692104106788277363562889534501599380268163213618740021570705080096139804941973102814335632180523847407060058534443254569282138051511292576687428837652027900127452656255880653718107444964680660904752950049505280000000000000000000000000000000000000000000000000000000]

Ви можете перевірити це за допомогою програми наступним чином:

*Main> let p = A $ \x -> A $ \y -> V 3 :$ (V 4 :$ x :$ y) :$ (V 4 :$ y :$ x)
*Main> let a = 6651439985424903472274778830412211286042729801174124932726010503641310445578492460637276210966154277204244776748283051731165114392766752978964153601068040044362776324924904132311711526476930755026298356469866717434090029353415862307981531900946916847172554628759434336793920402956876846292776619877110678804972343426850350512203833644
*Main> r(8?map fst(r(y 8)=<<[497,8269,56106533,12033,123263749,10049,661072709])$p)a :: [((),Integer)]
[((),0)]

Якщо доказ був недійсним, ви отримаєте порожній список.