Для кожного заданого ступеня nможна побудувати (принаймні один) інтегральний многочлен pтаким, що p(k)( pоцінюється в k) є коефіцієнтом доданку x^kв поліномі для всіх 0 <= k <= n. Щоб зробити їх унікальними, нам потрібно, щоб провідний коефіцієнт (коефіцієнт x^n) був позитивним і мінімальним.

Ці многочлени мають деякі цікаві властивості, ви можете знайти деякі посилання в потоці, що надихнуло мене на це завдання . Ви також можете знайти ці многочлени на https://oeis.org/A103423

Однією з апріорних несподіваних властивостей є те, як корені ведуть себе залежно від n:

джерело (від / u / zorngov та / u / EpicSauceSc2)

Завдання

З урахуванням невід'ємного цілого nвиводу, власний референційний інтегральний многочлен ступеня nз мінімальним позитивним провідним коефіцієнтом.

Деталі

Вихід може бути у будь-якій читаній людиною формі, як рядок x^2-x-1, або також як список коефіцієнтів [1,-1,-1]. (Порядок коефіцієнтів також може бути навпаки, він просто повинен бути узгодженим.)

Перші кілька виходів

n=0: 1
n=1: x
n=2: x^2-x-1
n=3: 10*x^3-29*x^2-6*x+19
n=4: 57*x^4-325*x^3+287*x^2+423*x-19
n=5: 12813*x^5-120862*x^4+291323*x^3+44088*x^2-355855*x-227362 

Шавлія , 74 байти

lambda n:kernel(matrix(n+1,[j^-i-(-i==j)for i in[-n..0]for j in[0..n]])).0

-iІ [-n..0]може бути iі [0..n], якби не вимога коефіцієнта позитивної ведучою.

Спробуйте це на Sage Cell

Математика, 55 байт

NullSpace@Table[x^c-Boole[r==c]/.x->r,{r,0,#},{c,0,#}]&

Вихідні дані - це коефіцієнти списку, починаючи з постійного члена. Приклад:

In[1084] := Do[Print[%1077[n] // StandardForm], {n, 0, 7}]

{{1}}

{{0,1}}

{{-1,-1,1}}

{{19,-6,-29,10}}

{{-19,423,287,-325,57}}

{{-227362,-355855,44088,291323,-120862,12813}}

{{145991969,64989065,-123338281,-85635661,79841909,-18146731,1286795}}

{{-5958511844199,3384370785404,8437850634901,489428412300,-4499161007143,1776194531596,-258931801371,13131073916}}

Це просто знаходить вектор таким, що (A - I)v = 0, подібно до коду MAPLE в OEIS. NullSpaceМетод , здається, завжди вибирає мінімальне позитивне число для останнього елемента, який збігається з описом завдання.

x^c-…/.x->rПобічно, щоб запобігти маючи 0^0 == Indeterminate.

Парі / GP , 64 байти

n->a=matkerint(Mat([powers(i,n)|i<-[0..n]]~)-1);a*sign(a[n+1,1])

Повертає коефіцієнти у вигляді вектора стовпців.

Спробуйте в Інтернеті!