ЗАВДАННЯ

ВИЗНАЧЕННЯ

Розглянемо точки {1,2,3,4,5} та всі їх перестановки. Ми можемо знайти загальну кількість можливих перестановок цих 5 балів простим трюком: Ви можете заповнити 5 слотів цими точками, перший слот матиме 5 можливих чисел, другий 4 (як один був використаний для заповнення першого слота) третій 3 тощо. Таким чином, загальна кількість перестановок становить 5 * 4 * 3 * 2 * 1; це було б 5! перестановки або 120 перестановок. Ми можемо вважати це симетричною групою S5, і тоді Симетрична група Sn мала б n! or (n*n-1*n-2...*1)перестановки.

"Рівна" перестановка - це така, де існує парне число циклів рівної довжини. Це легше зрозуміти , коли написано в циклічної запису, наприклад , (1 2 3)(4 5)переставляє 1->2->3->1і 4->5->4та має один 3 довжину циклу (1 2 3)і один цикл довжиною 2 (4 5). Класифікуючи перестановку як непарну чи парну, ми ігноруємо цикли непарної довжини і кажемо, що ця перестановка [ (1 2 3)(4 5)] непарна, оскільки має непарне число {1} циклів парних довжин. Навіть приклади:

1. (1)(2 3)(4 5)= два циклу 2 довжини | НАДІЙ |
2. (1 2 3 4 5)= відсутність рівномірних циклів | НАДІЙ | * зауважте, що якщо немає циклів рівної довжини, то перестановка є рівною.

Непарні приклади:

1. (1 2)(3 4 5)= один цикл 2 довжини | ODD |
2. (1)(2 3 4 5)= один цикл 4 довжини | ODD |

Оскільки рівно половина перестановок у будь-якій симетричній групі є рівною, ми можемо назвати парну групу змінною групою N, так що S5 = 120 A5 = 60 перестановок.

УВАГА

Перестановки повинні, як мінімум, записуватися у циклічних позначеннях, коли кожен цикл знаходиться в різних дужках і кожен цикл йде у порядку зростання. Наприклад, (1 2 3 4 5)ні (3 4 5 1 2). І для циклів з одним числом, таких як: (1)(2 3 4)(5)одиничні / фіксовані точки можуть бути виключені значенням (1)(2 3 4)(5) = (2 3 4). Але особистість (точка, де всі точки зафіксовані (1)(2)(3)(4)(5)) повинна бути записана як ()тільки для її представлення.

ЗМАГАННЯ

Я хотів би, щоб ви якомога менше коду взяли будь-яке додатне ціле число як вхідне значення {1,2,3,4 ...} і відображали всі перестановки змінної групи An, де n - це вхід / усі парні перестановки Sn. Наприклад:

Input = 3
()
(1 2 3)
(1 3 2)

і

Input = 4
()
(1 2)(3 4)
(1 3)(2 4)
(1 4)(2 3)
(1 2 3)
(1 3 2)
(1 2 4)
(1 4 2)
(1 3 4)
(1 4 3)
(2 3 4)
(2 4 3)

І як у прикладах, я хотів би, щоб усі цикли однієї довжини були зведені, а щодо ідентичності: виходи нічого, ()не тільки дужки, але і все, що ви використовуєте для показу різних перестановок} або idє прийнятними.

ДОПОМОГА ЧИТАННЯ

Ви можете знайти більше інформації тут:

• https://en.wikipedia.org/wiki/Пермутація
• https://en.wikipedia.org/wiki/Alternating_group

ЩАСТИ

І оскільки це кодогольф, той, хто може надрукувати перестановки змінної групи А в найкоротших байтах, виграє.

Pyth, 26 байт

t#Mf%+QlT2mcdf<>dTS<dTd.pS

          m            .pSQ   Map over permutations d of [1, …, Q]:
             f        d         Find all indices T in [1, …, Q] such that
               >dT                the last Q-T elements of d
              <   S<dT            is less than the sorted first T elements of d
           cd                   Chop d at those indices
   f                          Filter on results T such that
      Q                         the input number Q
     + lT                       plus the length of T
    %    2                      modulo 2
                                is truthy (1)
t#M                           In each result, remove 0- and 1-cycles.

Спробуйте в Інтернеті

Це рішення засноване на акуратному біекцію між перестановками в однорядній нотації та перестановками в нотації циклу. Звичайно, є очевидна біекція, де два позначення представляють однакову перестановку:

[8, 4, 6, 3, 10, 1, 5, 9, 2, 7] = (1 8 9 2 4 3 6) (5 10 7)

але це займе занадто багато коду. Натомість просто наріжте однорядкові позначення на частини перед усіма числами, меншими за всі їх попередники, назвіть ці фрагменти циклами та створіть з них нову перестановку.

[8, 4, 6, 3, 10, 1, 5, 9, 2, 7] ↦ (8) (4 6) (3 10) (1 5 9 2 7)

Щоб повернути цю біекцію, ми можемо здійснити будь-яку перестановку у формі циклу, обертати кожен цикл, щоб спочатку було найменше його число, сортувати цикли так, щоб їх найменше число з’являлось у порядку зменшення та стирало всі дужки.

Математика, 84 49 31 байт

GroupElements@*AlternatingGroup

Склад двох функцій. Виходи у формі, що {Cycles[{}], Cycles[{{a, b}}], Cycles[{{c, d}, {e, f}}], ...}представляє (), (a b), (c d)(e f), ....

J , 53 байти

[:(<@((>:@|.~]i.<./)&.>@#~1<#@>)@C.@#~1=C.!.2)!A.&i.]

Цикли в кожній перестановці представлені у вигляді коробкових масивів, оскільки J буде мати нульові масиви з нульовим майданчиком.

Якщо вихід розслаблений, використовуйте 41 байт

[:((1+]|.~]i.<./)&.>@C.@#~1=C.!.2)!A.&i.]

де кожна перестановка може містити одноцикли та нульові цикли.

Використання

   f =: [:(<@((>:@|.~]i.<./)&.>@#~1<#@>)@C.@#~1=C.!.2)!A.&i.]
   f 3
┌┬───────┬───────┐
││┌─────┐│┌─────┐│
│││1 2 3│││1 3 2││
││└─────┘│└─────┘│
└┴───────┴───────┘
   f 4
┌┬───────┬───────┬─────────┬───────┬───────┬───────┬───────┬─────────┬───────┬───────┬─────────┐
││┌─────┐│┌─────┐│┌───┬───┐│┌─────┐│┌─────┐│┌─────┐│┌─────┐│┌───┬───┐│┌─────┐│┌─────┐│┌───┬───┐│
│││2 3 4│││2 4 3│││1 2│3 4│││1 2 3│││1 2 4│││1 3 2│││1 3 4│││1 3│2 4│││1 4 2│││1 4 3│││2 3│1 4││
││└─────┘│└─────┘│└───┴───┘│└─────┘│└─────┘│└─────┘│└─────┘│└───┴───┘│└─────┘│└─────┘│└───┴───┘│
└┴───────┴───────┴─────────┴───────┴───────┴───────┴───────┴─────────┴───────┴───────┴─────────┘

Для альтернативної реалізації,

   f =: [:((1+]|.~]i.<./)&.>@C.@#~1=C.!.2)!A.&i.]
   f 3
┌─────┬─┬─┐
│1    │2│3│
├─────┼─┼─┤
│1 2 3│ │ │
├─────┼─┼─┤
│1 3 2│ │ │
└─────┴─┴─┘

Желе , 34 28 байт

L€’SḂ
ṙLR$Ṃµ€Ṣ
Œ!ŒṖ€;/Ç€ÑÐḟQ

Спробуйте тут .

Пояснення

Кожен рядок програми Jelly визначає функцію; нижній - " main".

• Перший рядок визначає функцію, яка перевіряє, чи продукт циклу є непарним.

  L€      Length of each
    ’     Add 1 to each length 
     S    Take the sum
      Ḃ   Modulo 2
  

• Другий рядок нормалізує розділ перестановки [1…n]в продукт циклу наступним чином:

       µ€    For each list X in the partition:
  ṙLR$          Rotate X by each element in [1…length(X)].
      Ṃ         Get the lexicographically smallest element.
                Thus, find the rotation so that the smallest element is in front.
         Ṣ   Sort the cycles in the partition.
  

  Це перетвориться, наприклад, (4 3)(2 5 1)у (1 2 5)(3 4).

Ось основна програма. Він бере аргумент nз командного рядка та:

Œ!              Compute all permutations of [1…n].
  ŒṖ€           Compute all partitions of each permutation.
     ;/         Put them in one big list.
       ǀ       Normalize each of them into a cycle product.
         ÑÐḟ    Reject elements satisfying the top function,
                i.e. keep only even cycle products.
            Q   Remove duplicates.

JavaScript (Firefox 30-57), 220 218 212 211 байт

f=(a,p)=>a[2]?[for(i of a)for(j of f(a.filter(m=>m!=i),p,p^=1))[i,...j]]:[[a[p],a[p^1]]]

На жаль, 88 байт вистачає лише для генерації змінної групи як списку перестановок a, тому це коштує мені додаткових 132 130 124 123 байт для перетворення виводу в потрібний формат:

n=>f([...Array(n).keys()],0).map(a=>a.map((e,i)=>{if(e>i){for(s+='('+-~i;e>i;[a[e],e]=[,a[e]])s+=','+-~e;s+=')'}},s='')&&s)

Мені вдалося обрізати свою версію ES6 до 222 216 215 байт:

n=>(g=(a,p,t=[])=>a[2]?a.map(e=>g(a.filter(m=>m!=e),p,[...t,e],p^=1)):[...t,a[p],a[p^1]].map((e,i,a)=>{if(e>i){for(s+='('+-~i;e>i;[a[e],e]=[,a[e]])s+=','+-~e;s+=')'}},s='')&&r.push(s))([...Array(n).keys(r=[])],0)&&r

GAP , 32 байти

Дякуємо @ChristianSievers за скорочення рахунку навпіл.

f:=n->List(AlternatingGroup(n));

Використання підказки:

gap> f(4);
[ (), (1,3,2), (1,2,3), (1,4,3), (2,4,3), (1,3)(2,4), (1,2,4), (1,4)(2,3), (2,3,4), (1,3,4), (1,2)(3,4), (1,4,2) ]