Python 2 + PySCIPOpt , 267 байт
from pyscipopt import*
R=input()
m=Model()
V,C=m.addVar,m.addCons
a,b,c=V(),V(),V()
m.setObjective(c)
C(a*b<=c)
P=[]
for r in R:
x,y=V(),V();C(r<=x);C(x<=a-r);C(r<=y);C(y<=b-r)
for u,v,s in P:C((x-u)**2+(y-v)**2>=(r+s)**2)
P+=(x,y,r),
m.optimize()
m.printBestSol()
Як це працює
Запишемо задачу так: мінімізуємо c над змінними a , b , c , x 1 , y 1 ,…, x n , y n , де
- ab ≤ c ;
- r i ≤ x i ≤ a - r i і r i ≤ y i ≤ b - y i , для 1 ≤ i ≤ n ;
- ( x i - x j ) 2 + ( y i - y j ) 2 ≥ ( r i + r j ) 2 , для 1 ≤ j < i ≤ n .
Очевидно, що ми використовуємо бібліотеку зовнішньої оптимізації для цих обмежень, але ви не можете просто подати їх будь-якому старому оптимізатору - навіть Mathematica NMinimizeзациклюється на локальних мінімумах для цих крихітних тестових випадків. Якщо уважно придивитись до обмежень, ви побачите, що вони являють собою квадратично обмежену квадратичну програму , і знайти глобальний оптимум для невипуклої QCQP складно NP. Тому нам потрібна неймовірно потужна магія. Я вибрав промислово-міцний вирішувач SCIP , який є єдиним глобальним вирішувачем QCQP, з яким я міг знайти стільки, скільки безкоштовна ліцензія на академічне використання. На щастя, він має дуже приємні зв'язки Python.
Вхід і вихід
Передайте список радіусів на stdin, як [5,3,1.5]. Висновок показує objective value:прямокутник область, x1, x2прямокутник, розміри x3прямокутника область знову x4, x5перші координати центру кола, x6, x7другі координати центру кола і т.д.
Тестові справи
[5,3,1.5] ↦ 157.459666673757
SCIP Status : problem is solved [optimal solution found]
Solving Time (sec) : 0.04
Solving Nodes : 187
Primal Bound : +1.57459666673757e+02 (9 solutions)
Dual Bound : +1.57459666673757e+02
Gap : 0.00 %
objective value: 157.459666673757
x1 10 (obj:0)
x2 15.7459666673757 (obj:0)
x3 157.459666673757 (obj:1)
x4 5 (obj:0)
x5 5 (obj:0)
x6 7 (obj:0)
x7 12.7459666673757 (obj:0)
x8 1.5 (obj:0)
x9 10.4972522849871 (obj:0)
[9,4,8,2] ↦ 709.061485909243
Це краще, ніж рішення ОП. Точні розміри - 18 на 29 + 6√3.
SCIP Status : problem is solved [optimal solution found]
Solving Time (sec) : 1.07
Solving Nodes : 4650
Primal Bound : +7.09061485909243e+02 (6 solutions)
Dual Bound : +7.09061485909243e+02
Gap : 0.00 %
objective value: 709.061485909243
x1 18 (obj:0)
x2 39.3923047727357 (obj:0)
x3 709.061485909243 (obj:1)
x4 9 (obj:0)
x5 30.3923047727357 (obj:0)
x6 14 (obj:0)
x7 18.3923048064677 (obj:0)
x8 8 (obj:0)
x9 8 (obj:0)
x10 2 (obj:0)
x11 19.6154311552252 (obj:0)
[18,3,1] ↦ 1295.999999999
SCIP Status : problem is solved [optimal solution found]
Solving Time (sec) : 0.00
Solving Nodes : 13
Primal Bound : +1.29599999999900e+03 (4 solutions)
Dual Bound : +1.29599999999900e+03
Gap : 0.00 %
objective value: 1295.999999999
x1 35.9999999999722 (obj:0)
x2 36 (obj:0)
x3 1295.999999999 (obj:1)
x4 17.9999999999722 (obj:0)
x5 18 (obj:0)
x6 32.8552571627738 (obj:0)
x7 3 (obj:0)
x8 1 (obj:0)
x9 1 (obj:0)
Бонусні випадки
[1,2,3,4,5] ↦ 230.244214912998
SCIP Status : problem is solved [optimal solution found]
Solving Time (sec) : 401.31
Solving Nodes : 1400341
Primal Bound : +2.30244214912998e+02 (16 solutions)
Dual Bound : +2.30244214912998e+02
Gap : 0.00 %
objective value: 230.244214912998
x1 13.9282031800476 (obj:0)
x2 16.530790960676 (obj:0)
x3 230.244214912998 (obj:1)
x4 1 (obj:0)
x5 9.60188492354373 (obj:0)
x6 11.757778088743 (obj:0)
x7 3.17450418828415 (obj:0)
x8 3 (obj:0)
x9 13.530790960676 (obj:0)
x10 9.92820318004764 (obj:0)
x11 12.530790960676 (obj:0)
x12 5 (obj:0)
x13 5 (obj:0)
[3,4,5,6,7] ↦ 553.918025310597
SCIP Status : problem is solved [optimal solution found]
Solving Time (sec) : 90.28
Solving Nodes : 248281
Primal Bound : +5.53918025310597e+02 (18 solutions)
Dual Bound : +5.53918025310597e+02
Gap : 0.00 %
objective value: 553.918025310597
x1 21.9544511351279 (obj:0)
x2 25.2303290086403 (obj:0)
x3 553.918025310597 (obj:1)
x4 3 (obj:0)
x5 14.4852813557912 (obj:0)
x6 4.87198593295855 (obj:0)
x7 21.2303290086403 (obj:0)
x8 16.9544511351279 (obj:0)
x9 5 (obj:0)
x10 6 (obj:0)
x11 6 (obj:0)
x12 14.9544511351279 (obj:0)
x13 16.8321595389753 (obj:0)
[3,4,5,6,7,8] ↦ 777.87455544487
SCIP Status : problem is solved [optimal solution found]
Solving Time (sec) : 218.29
Solving Nodes : 551316
Primal Bound : +7.77874555444870e+02 (29 solutions)
Dual Bound : +7.77874555444870e+02
Gap : 0.00 %
objective value: 777.87455544487
x1 29.9626413867546 (obj:0)
x2 25.9614813640722 (obj:0)
x3 777.87455544487 (obj:1)
x4 13.7325948669477 (obj:0)
x5 15.3563780595534 (obj:0)
x6 16.0504838821134 (obj:0)
x7 21.9614813640722 (obj:0)
x8 24.9626413867546 (obj:0)
x9 20.7071098175984 (obj:0)
x10 6 (obj:0)
x11 19.9614813640722 (obj:0)
x12 7 (obj:0)
x13 7 (obj:0)
x14 21.9626413867546 (obj:0)
x15 8.05799919177801 (obj:0)
