Опис завдання

У теорії чисел, то функція Кармайкл  λ приймає позитивне ціле число  п і повертає найменше ціле позитивне число K , так що до -й потужності кожного цілого числа взаємно простих з п дорівнює 1 по модулю п .

З огляду на додатне ціле число n , ваше рішення має обчислити λ (n) . Виграє найкоротший код у байтах.

Ваша програма теоретично повинна працювати для довільно великих входів, але вона не повинна бути ефективною.

Поради

Послідовність усіх λ (n) - OEIS A002322 .

Необов’язана реалізація Python виглядала б так

from fractions import gcd

def carmichael(n):
    coprimes = [x for x in range(1, n) if gcd(x, n) == 1]
    k = 1
    while not all(pow(x, k, n) == 1 for x in coprimes):
        k += 1
    return k

(У Python pow(A, B, C)ефективно обчислює pow(A, B) % C.)

Тестові справи

Input    Output
1        1
2        1
3        2
10       4
35       12
101      100
530      52
3010     84
6511     3056
10000    500

Математика, 16 байт

CarmichaelLambda

Добре...

Пітон, 76 73 67 байт

f=lambda n,k=1:1-any(a**-~k*~-a**k%n for a in range(n))or-~f(n,k+1)

Спробуйте в Інтернеті!

Подальший байт можна зберегти, повернувши True замість 1 .

Альтернативна реалізація

Використовуючи той самий підхід, є також наступна реалізація від @feersum, яка не використовує розуміння списку.

f=lambda n,k=1,a=1:a/n or(a**-~k*~-a**k%n<1)*f(n,k,a+1)or-~f(n,k+1)

Зауважте, що для цієї реалізації потрібен час O (n ^{λ (n)} ) . Ефективність може бути значно покращена, фактично зменшивши бал до 66 байт , але функція поверне значення True для введення 2 .

f=lambda n,k=1,a=1:a/n or~-a**k*a**-~k%n<1==f(n,k,a+1)or-~f(n,k+1)

Фон

Визначення та позначення

Всі використані змінні будуть позначати цілі числа; n , k і α позначатимуть додатні цілі числа; і p позначатиме позитивний простим розрядом .

а | b, якщо b ділиться на a , тобто якщо є q такий, що b = qa .

a ≡ b ( mod m), якщо a і b мають однаковий модуль залишку m , тобто, якщо m | а - б .

λ (n) - найменший k такий, що a ^k ≡ 1 ( mod n) - тобто такий, що n | a ^k - 1 - для всіх a, що є спільними з n .

е (п) є найменшим до таким чином, що ^{2k + 1} ≡ ^{до + 1} ( по модулю п) - тобто такі , що п | a ^{k + 1} (a ^k - 1) - для всіх a .

λ (n) ≤ f (n)

Виправте n і нехай a coprime to n .

За визначенням f , n | a ^{f (n) +1} (a ^{f (n)} - 1) . Оскільки і п не мають загального прем'єр - фактор, не займайтеся в ^{п (п) +1} і п , звідки слід , що п | a ^{f (n)} - 1 .

Оскільки λ (n) - найменше ціле число k таке, що n | a ^k - 1 для всіх цілих чисел a, які є спільними з n , випливає, що λ (n) ≤ f (n) .

λ (n) = f (n)

Оскільки ми вже встановили нерівність λ (n) ≤ f (n) , достатньо перевірити, чи відповідає k = λ (n) умові, що визначає f , тобто, що n | a ^{λ (n) +1} (a ^{λ (n)} - 1) для всіх a . Для цього встановимо, що p ^α | a ^{λ (n) +1} (a ^{λ (n)} - 1), коли p ^α | н .

λ (k) | λ (n) всякий раз, коли k | n ( джерело ), так (a ^{λ (k)} - 1) (a ^{λ (n) -λ (k)} + a ^{λ (n) -2λ (k)} + ⋯ + a ^{λ (k)} + 1) = a ^{λ (n)} - 1 і, отже, a ^{λ (k)} - 1 | a ^{λ (n)} - 1 | a ^{λ (n) +1} (a ^{λ (n)} - 1) .

Якщо a і p ^α є спірними, за визначенням λ і вищевикладеним, p ^α | a ^{λ (p α )} - 1 | a ^{λ (n) +1} (a ^{λ (n)} - 1) слідує за бажанням.

Якщо a = 0 , то a ^{λ (n) +1} (a ^{λ (n)} - 1) = 0 , що ділиться на всі цілі числа.

Нарешті, ми повинні розглянути випадок, коли a і p ^α мають спільний простий фактор. Оскільки p є простим, це означає, що p | а . Теорема Карміхеля встановлює, що λ (p ^α ) = (p - 1) p ^{α - 1,} якщо p> 2 або α <3, а λ (p ^α ) = p ^{α - 2 в} іншому випадку. У всіх випадках λ (p ^α ) ≥ p ^{α - 2} ≥ 2 ^{α - 2} > α - 2 .

Тому λ (n) + 1 ≥ λ (p ^α ) + 1> α - 1 , тому λ (n) + 1 ≥ α і p ^α | p ^{λ (n) +1} | a ^{λ (n) +1} | a ^{λ (n) +1} (a ^{λ (n)} - 1) . Це завершує доказ.

Як це працює

Хоча визначення f (n) та λ (n) враховують усі можливі значення a , достатньо перевірити ті, що лежать у [0, ..., n - 1] .

Коли f (n, k) викликається, він обчислює a ^{k + 1} (a ^k - 1)% n для всіх значень a в цьому діапазоні, що дорівнює 0, якщо і лише тоді, коли n | a ^{k + 1} (a ^k - 1) .

Якщо всі обчислені залишки дорівнюють нулю, k = λ (n) і anyповертає False , значить f (n, k) повертає 1 .

З іншого боку, в той час як до <λ (п) , 1-any(...)буде повертати 0 , тому е викликається рекурсивно з порядковим значенням до . Провідні -~прирости повертають значення f (n, k + 1) , тому ми додаємо 1 до f (n, λ (n)) = 1 раз на кожне ціле число в [1, ..., λ (n) - 1 ] . Кінцевий результат, таким чином, λ (n) .

Математика без вбудованого, 58 57 байт

Дякую Мартіну Ендеру за те, що знайшов помилку, а потім врятував мені байти, які знадобилися, щоб виправити!

Дякуємо за милі за економію 1 байта! (що мені здавалося 2)

Вбудовані вкрай непогані ... але для тих, хто хоче реалізувати це без використання грубої сили, ось формула функції Carmichael:

LCM@@(EulerPhi[#^#2]/If[#==2<#2,2,1]&@@@FactorInteger@#)&

Якщо p є простим, функція Кармікеля λ (p ^ r) дорівнює φ (p ^ r) = (p-1) * p ^ (r-1) - за винятком випадків, коли p = 2 і r≥3, в цьому випадку це наполовину, а саме 2 ^ (r-2).

І якщо факторизація потужності n дорівнює p1 ^ r1 * p2 ^ r2 * ..., тоді λ (n) дорівнює найменшому спільному кратному {λ (p1 ^ r1), λ (p2 ^ r2), .. .}.

Виконання - це на один момент більше, ніж розбиття на ціле число.

Шаблони вважаються шкідливими , 246 байт

Fun<Ap<Fun<If<Eq<A<2>,T>,A<1>,And<Eq<Ap<Fun<If<A<1>,Ap<A<0>,Rem<A<2>,A<1>>,A<1>>,A<2>>>,A<1,1>,A<2>>,T>,Sub<Ap<Fun<Rem<If<A<1>,Mul<A<2,1>,Ap<A<0>,Sub<A<1>,T>>>,T>,A<1,2>>>,A<1>>,T>>,Ap<A<0>,Add<A<1>,T>,A<1,1>>,Ap<A<0>,A<1>,Sub<A<2>,T>>>>,T,A<1>>>

Безіменна функція (не те, що є іменовані функції).

Це забутий мій esolang, який інтерпретується компілятором C ++ з шаблонами екземплярів. З максимальною глибиною шаблону за замовчуванням g++, це може зробити λ (35), але не може зробити λ (101) (лінива оцінка робить гірше).

Haskell, 57 56 байт

f n=[k|k<-[1..],and[mod(m^k)n<2|m<-[1..n],gcd m n<2]]!!0

Желе, 2 байти

Æc

Дякую за вбудований, @Lynn

Піт - 19 18 17 байт

Один байт збережено завдяки @TheBikingViking.

Випряміть грубу силу.

f!sm*t.^dTQq1iQdQ

Спробуйте його онлайн тут .

Рубі, 59 56 байт

->x{a=1..x
a.detect{|k|a.all?{|y|x.gcd(y)>1||y**k%x<2}}}

J, 28 27 байт

[:*./@(5&p:%2^0=8&|)2^/@p:]

Функція Кармайгеля дорівнює λ ( n ), а функція підкреслення - φ ( n ).

Використовується визначення, де λ ( p ^k ) = φ ( p ^k ) / 2, якщо p = 2 і k > 2 else φ ( p ^k ). Тоді для загального n = p ₁ ^{k ₁} p ₂ ^{k ₂} ⋯ p _i ^{k _i} , λ ( n ) = LCM [λ ( p ₁ ^{k ₁} ) λ ( p ₂ ^{k ₂} ) ⋯ λ ( p _i ^{k _i} )] .

Використання

Додаткові команди, які використовуються для форматування декількох входів / виходів.

   f =: [:*./@(5&p:%2^0=8&|)2^/@p:]
   f 530
52
   (,.f"0) 1 2 3 10 35 101 530 3010 6511 10000
    1    1
    2    1
    3    2
   10    4
   35   12
  101  100
  530   52
 3010   84
 6511 3056
10000  500

Пояснення

[:*./@(5&p:%2^0=8&|)2^/@p:]  Input: integer n
                          ]  Identity function, get n
                    2   p:   Get a table of prime/exponent values for n
                     ^/@     Raise each prime to its exponent to get the prime powers of n
[:    (            )         Operate on the prime powers
                8&|            Take each modulo 8
              0=               Test if its equal to 0, 1 if true else 0
            2^                 Raise 2 to the power of each
       5&p:                    Apply the totient function to each prime power
           %                   Divide it by the powers of 2
  *./@                       Reduce using LCM and return

Власне, 30 28 25 19 26 байт

Функція Кармікеля, λ(n)де n = p_0**k_0 * p_1**k_1 * ... * p_a**k_a, визначається як найменш спільне множина (LCM) λ(p_i**k_i)для максимальних простих сил, p_i**k_iякі діляться на n. Зважаючи на те, що для кожної першої потужності, за винятком випадків, коли є простим 2, функція Кармікеля еквівалентна функції Ейлера, яка використовує тутемент λ(n) == φ(n), ми використовуємо φ(n)натомість Для особливого випадку, 2**kде k ≥ 3ми просто перевіряємо, чи 2**3 = 8ділиться на nна початку програми, і ділимо на 2, якщо воно є.

На жаль, фактично наразі немає вбудованого LCM, тому я зробив грубу силу LCM. Пропозиції з гольфу вітаються. Спробуйте в Інтернеті!

;7&Yu@\w`iⁿ▒`M╗2`╜@♀%ΣY`╓N

Ungolfing

         Implicit input n.
;        Duplicate n.
7&       n&7 == n%8.
Yu       Logical NOT and increment. If n%8 == 0, return 2. Else, return 1.
@\       Integer divide n by 2 if n%8==0, by 1 otherwise.
          Thus, we have dealt with the special case where p_i == 2 and e_i >= 3.
w        Full prime factorization of n as a list of [prime, exponent] lists.
`...`M   Map the following function over the prime factorization.
  i        Flatten the array, pushing exponent, then prime to the stack.
  ⁿ▒       totient(pow(prime, exponent)).
╗        Save that list of totients in register 0.
2`...`╓  Get the first two values of n where the following function f(n) is truthy.
         Those two numbers will be 0 and our LCM.
  ╜@       Push the list in register 0 and swap with our n.
  ♀%       Get n mod (every number in the list)
  Σ        Sum the modulos. This sum will be 0, if and only if this number is 0 or LCM.
  Y        Logical NOT, so that we only get a truthy if the sum of modulos is 0.
N        Grab the second number, our LCM. Implicit return.

JavaScript (ES6), 143 135 байт

Редагувати: збережено 8 байт завдяки Нілу

Реалізація з використанням функціонального програмування.

n=>(A=[...Array(n).keys()]).find(k=>k&&!c.some(c=>A.slice(0,k).reduce(y=>y*c%n,1)-1),c=A.filter(x=>(g=(x,y)=>x?g(y%x,x):y)(x,n)==1))||1

Негольфірованний і прокоментував

n =>                                          // Given a positive integer n:
  (A = [...Array(n).keys()])                  // Build A = [0 ... n-1].
  .find(k =>                                  // Try to find k in [1 ... n-1] such as
    k && !c.some(c =>                         // for each coprime c: c^k ≡ 1 (mod n).
      A.slice(0, k).reduce(y =>               // We use reduce() to compute
        y * c % n, 1                          // c^k mod n.
      ) - 1                                   // Compare it with 1.
    ),                                        // The list of coprimes is precomputed
    c = A.filter(x =>                         // before the find() loop is executed:
      (                                       // for each x in [0 ... n-1], keep
        g = (x, y) => x ? g(y % x, x) : y     // only integers that verify:
      )(x, n) == 1                            // gcd(x, n) = 1
    )                                         // (computed recursively)
  ) || 1                                      // Default result is 1 (for n = 1)

Демо

Хоча це і працює, 6511і 10000я не включатиму їх сюди, оскільки це, як правило, трохи повільно.

let f =
n=>(A=[...Array(n).keys()]).find(k=>k&&!c.some(c=>A.slice(0,k).reduce(y=>y*c%n,1)-1),c=A.filter(x=>(g=(x,y)=>x?g(y%x,x):y)(x,n)==1))||1

console.log(f(1));     // 1
console.log(f(2));     // 1
console.log(f(3));     // 2
console.log(f(10));    // 4
console.log(f(35));    // 12
console.log(f(101));   // 100
console.log(f(530));   // 52
console.log(f(3010));  // 84

Рубі, 101 86 91 90 байт

Порт Ruby моєї фактично відповіді . Пропозиції з гольфу вітаються.

Змінити: -4 байти від видалення, aале +9 байт від виправлення помилки, де вона 1повернулася nil. -1 байт завдяки Cyoce.

require'prime'
->n{((n%8<1?n/2:n).prime_division<<[2,1]).map{|x,y|x**~-y*~-x}.reduce :lcm}

Ungolfing

require 'prime'
def carmichael(n)
  if n%8 < 1
    n /= 2
  end
  a = []
  n.prime_division.do each |x,y|
    a << x**(y-1)*(x-1)
  end
  return a.reduce :lcm
end

JavaScript (ES 2016) 149

Реалізація посилання Python перенесена на JS. Дещо фантазійного вбудованого Pyhton відсутнє в js, як gcdі pow, і розуміння масиву не є стандартним в ES 6. Це працює в Firefox.

n=>eval('for(g=(a,b)=>b?g(b,a%b):a,p=(a,b,c)=>eval("for(r=1;b--;)r=r*a%c"),c=[for(_ of Array(i=n))if(g(i--,n)<2)i+1],k=1;c.some(x=>p(x,k,n)-1);)++k')

Менше гольфу

n=>{
  g=(a,b)=>b?g(b,a%b):a
  p=(a,b,c)=>{ 
    for(r=1;b--;)
      r=r*a%c
    return r
  }
  c=[for(_ of Array(i=n)) if(g(i--,n)<2) i+1]
  for(k=1;c.some(x=>p(x,k,n)-1);)
    ++k
  return k
} 

Java, 209 207 202 194 192 байти

Код (96 байт):

n->{for(int x,k=1,a;;k++){for(a=1,x=0;++x<=n&&a<2;)a=g(x,n)<2?p(x,k,n):1;if(a<2||n<2)return k;}}

додаткові функції (96 байт):

int g(int a,int b){return b<1?a:g(b,a%b);}int p(int n,int p,int m){return p<2?n:n*p(n,p-1,m)%m;}

Тестування & unololfed

import java.util.Arrays;
import java.util.function.IntUnaryOperator;

public class Main2 {

  static int g(int a,int b) { // recursive gcd
    return b < 1
        ? a
        : g(b,a%b);
  }

  static int p(int n, int p, int m) { // recursive modpow
    return p < 2
      ? n
      : n * p(n, p - 1, m) % m;
  }

  public static void main(String[] args) {

    IntUnaryOperator f = n -> {
      for(int x,k=1,a;;k++) { // for each k
        for(a=1,x=0;++x<=n&&a<2;) // for each x
          a=g(x,n)<2?p(x,k,n):1; // compute modpow(x,k,n) if g(x,n)
        if(a<2||n<2) // if all modpow(x,k,n)=1. Also check for weird result for n=1.
          return k;
      }
    };

    Arrays.stream(new int[]{1, 2, 3, 10, 35, 101, 530, 3010, 6511, 10000})
        .map(f)
        .forEach(System.out::println);
  }
}

Примітки

• використання aбуття intє коротшим, ніж якби мені довелося використовувати а booleanдля виконання своїх тестів.
• Так, це коротше valueOfвсього нового, BigIntegerніж створити окрему функцію (є 5, плюс ONEконстанта - халява).
• Алгоритм відрізняється від алгоритму @Master_ex, тому це не просто репост для гольфу. Крім того, цей алгоритм набагато менш ефективний, оскільки gcdобчислюється знову і знову для одних і тих же значень.

Гоління

1. 209 -> 207 байт:
   • if(...)a=...; -> a=...?...:1;
   • a==1 -> a<2
2. 207 -> 202 байти
   • Позбувся BigIntegerгольфу gcdі modPowза int.
3. 202 -> 194 байт
   • циклічний modPow-> рекурсивний
4. 194 -> 192 байти
   • ==1-> <2(здається, працює для всіх тестових випадків, для інших номерів не знаю.)

Java8 38 19 + 287 295 253 248 241 = 325 333 272 267 260 байт

BigInteger B(int i){return new BigInteger(""+i);}int c(int...k){int n=k[0];for(k[0]=1;n>1&!java.util.stream.IntStream.range(0,n).filter(i->B(n).gcd(B(i)).equals(B(1))).allMatch(x->B(x).modPow(B(k[0]),B(n)).equals(B(1)));k[0]++);return k[0];}

Імпорт, 19 байт

import java.math.*;

Пояснення

Це пряма реалізація. Ко-праймес обчислюється в Set pk-й потужності кожного з них, щоб перевірити, чи дорівнює 1 модуль n.

Мені довелося користуватися BigIntegerчерез проблеми з точністю.

Використання

public static void main(String[] args) {
    Carmichael c = new Carmichael();
    System.out.println(c.c(3)); // prints 2
}

Безумовно

// returns the BigInteger representation of the given interger
BigInteger B(int i) {
    return new BigInteger(""+i);
}
// for a given integer it returns the result of the carmichael function again as interger
// so the return value cannot be larger
int c(int... k) {
    int n = k[0];
    // iterate k[0] until for all co-primes this is true: (x^n) mod n == 1, if n==1 skip the loop
    for (k[0]=1;n > 1 && !java.util.stream.IntStream.range(0, n)
                .filter(i -> B(n).gcd(B(i)).equals(B(1)))
                .allMatch(x -> B((int) x).modPow(B(k[0]), B(n)).equals(B(1)));k[0]++);
    return k[0];
}

Будь-які пропозиції про те, щоб пограти в гольф більше, вітаються :-)

Оновлення

• Немає елементів поза функціями, які зберігають державу
• Дотримуйтесь порад Олів'є Грегоара і врятував 1 байт від B()
• Видалено k()метод і p(спів-прайме) Набір.
• Для видалення int видалено не потрібно.
• Додані вараги та використання замість часу.

Java, 165 163 158 152 143 байт

int l(int n){int k=1,x,a,b,t,d=1;for(;d>0;)for(d=x=0;++x<n;d=a<2&t>1?k++:d){for(a=x,b=n;b>0;b=a%b,a=t)t=b;for(t=b=1;b++<=k;t=t*x%n);}return k;}

Інший порт моєї реалізації C .

Спробуйте це на Ideone

C ++, 208 200 149 144 140 134 байт

[](int n){int k=1,x,a,b,t,d=1;for(;d;)for(d=x=0;++x<n;d=a<2&t>1?k++:d){for(a=x,b=n;t=b;a=t)b=a%b;for(t=1,b=k;b--;t=t*x%n);}return k;};

Порт моєї реалізації C .

Спробуйте це на Ideone

Ракетка 218 байт

(λ(n)(let((fl #f)(cl(for/list((i n) #:when(coprime? n i))i)))(for/sum((k(range 1 n))#:break fl)(set! fl #t)
(for((i(length cl))#:break(not fl))(when(not(= 1(modulo(expt(list-ref cl i)k)n)))(set! fl #f)))(if fl k 0))))

Безгольова версія:

(require math)
(define f
  (λ(n)
    (let ((fl #f)
          (cl (for/list ((i n) #:when (coprime? n i))
                i)))
             (for/sum ((k (range 1 n)) #:break fl)
               (set! fl #t)
               (for ((i (length cl)) #:break (not fl))
                 (when (not (= 1 (modulo (expt (list-ref cl i) k) n)))
                   (set! fl #f)))
               (if fl k 0)))))

Тестування:

(f 2) 
(f 3)
(f 10)
(f 35)
(f 101)
(f 530)
(f 3010)
(f 6511)
(f 10000)

Вихід:

1
2
4
12
100
52
84
3056
500

C, 278 276 272 265 256 243 140 134 125 байт

k,x,a,b,t,d;l(n){for(k=d=1;d;)for(d=x=0;++x<n;d=a<2&t>1?k++:d){for(a=x,b=n;t=b;a=t)b=a%b;for(t=1,b=k;b--;t=t*x%n);}return k;}

Для цього використовується повільний алгоритм модульної експоненції, занадто часто обчислюється GCD і більше не протікає пам'ять!

Безголівки:

int gcd( int a, int b ) {
  int t;
  while( b ) {
    t = b;
    b = a%b;
    a = t;
  }
  return a;
}
int pw(int a,int b,int c){
  int t=1;
  for( int e=0; e<b; e++ ) {
    t=(t*a)%c;
  }
  return t;
}
int carmichael(int n) {
  int k = 1;
  for( ;; ) {
    int done = 1;
    for( int x=1; x<n; x++ ) {
      if( gcd(x,n)==1 && pw(x,k,n) != 1 ) {
        done = 0;
        k++;
      }
    }
    if( done ) break;
  }
  return k;
}

Спробуйте це на Ideone

Аксіома 129 байт

c(n)==(r:=[x for x in 1..n|gcd(x,n)=1];(v,k):=(1,1);repeat(for a in r repeat(v:=powmod(a,k,n);v~=1=>break);v<=1=>break;k:=k+1);k)

менше гольфу

cml(n)==
 r:=[x for x in 1..n|gcd(x,n)=1];(v,k):=(1,1)
 repeat 
   for a in r repeat(v:=powmod(a,k,n);v~=1=>break)
   v<=1=>break
   k:=k+1
 k

результати

(3) -> [i,c(i)] for i in [1,2,3,10,35,101,530,3010,6511,10000]
   Compiling function c with type PositiveInteger -> PositiveInteger

   (3)
   [[1,1], [2,1], [3,2], [10,4], [35,12], [101,100], [530,52], [3010,84],
    [6511,3056], [10000,500]]
                                             Type: Tuple List PositiveInteger