Гіпотеза Гольдбаха говорить, що кожне парне число, що перевищує два, може бути виражене сумою двох простих чисел. Наприклад,

4 = 2 + 2
6 = 3 + 3
8 = 5 + 3

Однак, як тільки ми потрапимо до 10, трапляється щось цікаве. Не тільки 10 можна записати як

5 + 5

але це також можна записати як

7 + 3

Оскільки 10 можна виразити сумою двох простих чисел двома способами , ми говоримо, що "розділ Гольдбаха" з 10 є 2. Або загалом,

Розділ Гольдбаха числа - це загальна кількість різних способів написання, n = p + qде pі qє прайменами таp >= q

Ваше завдання полягає в тому, щоб написати програму або функцію, яка знаходить розділ Гольдбаха числа. Зараз технічно термін «розділ Goldbach» використовується лише для позначення парних чисел. Однак, оскільки непарне ціле p + 2 також може бути виражене як сума двох простих чисел, якщо p> 2 просте, ми поширимо це на всі додатні цілі числа ( A061358 ).

Ви можете з упевненістю вважати, що ваше введення завжди буде додатним цілим числом, і ви можете приймати введення та вихід будь-яким із наших дозволених методів за замовчуванням , наприклад, аргументи функцій та значення повернення, STDIN та STDOUT, читання та запис у файл тощо.

Розділи Гольдбаха з натуральними цілими до 100 є:

0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 0, 1, 1, 2, 1, 2, 0, 2, 1, 2, 1, 3, 0, 3, 1,
3, 0, 2, 0, 3, 1, 2, 1, 4, 0, 4, 0, 2, 1, 3, 0, 4, 1, 3, 1, 4, 0, 5, 1, 4,
0, 3, 0, 5, 1, 3, 0, 4, 0, 6, 1, 3, 1, 5, 0, 6, 0, 2, 1, 5, 0, 6, 1, 5, 1,
5, 0, 7, 0, 4, 1, 5, 0, 8, 1, 5, 0, 4, 0, 9, 1, 4, 0, 5, 0, 7, 0, 3, 1, 6

Як завжди, застосовуються стандартні лазівки, і найкоротша відповідь у байтах виграє!

Желе , 8 байт

_ÆRÆPSHĊ

Спробуйте в Інтернеті! або перевірити всі тестові випадки .

Як це працює

_ÆRÆPSHĊ  Main link. Argument: n (positive integer)

 ÆR       Prime range; yield [2, 3, 5, ..., n].
_         Subtract all primes in this range from n.
   ÆP     Compute the primality of the resulting differences.
          This returns 1 for each prime p such that n - p is also prime.
     S    Compute the sum of the resulting Booleans.
      H   Divide it by 2, since [p, n - p] and [n - p, p] have both been counted.
       Ċ  Ceil; round the resulting quotient up (needed if n = 2p).

Python 2, 76 байт

g=lambda n,k=2:n/k/2and all(x%i for x in[k,n-k]for i in range(2,x))+g(n,k+1)

Рекурсивно виповзає з k=2до n/2, додаючи значення там, де обидва kі n-kє простими. Було б добре nзамість цього одночасно відлічити , але це проблема, яка k=0і k=1помилково називається простим:

g=lambda n,k=0:n/k and all(x%i for x in[k,n]for i in range(2,x))+g(n-1,k+1)

Перевірка первинності - це пробний поділ, скорочений шляхом перевірки як разом, так kі n-kразом. Я вважав, що це коротше, ніж використання генератора теореми Вілсона (79 байт):

f=lambda n,k=1,P=1,l=[]:n/k and P%k*(n-k in l+P%k*[k])+f(n,k+1,P*k*k,l+P%k*[k])

Ідея цього полягає в тому, щоб у нижній половині знаходитись список усіх прайменів, щоб його перевіряли до моменту, коли ми дістаємося до верхньої половини, але для середини k=n/2ми не встигли додати n-kдо списку, коли ми дістаємось до k. Ітераційна версія обходить це, але становить 82 байти:

n=input()
s=P=k=1;l=[]
while k<n:l+=P%k*[k];s+=P%k*(n-k in l);P*=k*k;k+=1
print~-s

MATL , 8 байт

tZq&+=Rz

Спробуйте в Інтернеті!

Пояснення

Розглянемо вклад 8як приклад

      % Take input implicitly
t     % Duplicate
      % STACK: 8, 8
Zq    % All primes up to that number
      % STACK: 8, [2 3 5 7]
&+    % Matrix with all pairwise additions
      % STACK: 8, [4  5  7  9
                   5  6  8 10
                   7  8 10 12
                   9 10 12 14]
=     % True for entries that equal the input
      % STACK: [0 0 0 0
                0 0 1 0
                0 1 0 0
                0 0 0 0]
R     % Extract upper triangular part (including diagonal). 
      % This removes pairs that are equal up to order
      % STACK: [0 0 0 0
                0 0 1 0
                0 0 0 0
                0 0 0 0]
z     % Number of nonzero entries
      % STACK: 1
      % Display implicitly

Цікаво спостерігати за графіком послідовності , використовуючи трохи змінену версію коду:

:"@       % Input n implicitly. For each k from 1 to n, push k
tZq&+=Rz  % Same code as above. Pushes the result for each k
]v'.'&XG  % End. Concatenate all results into a vector. Plot as dots

Для введення 10000результат є

Ви можете спробувати в MATL Online (Оновіть сторінку, якщо кнопка "Виконати" не зміниться на "Убити" при натисканні). На виготовлення графіка для введення знадобиться кілька приблизно 25 секунд 3000; Час введення вище декількох тисяч буде вичерпано.

JavaScript (ES6), 77 73 70 байт

Збережено 3 байти завдяки @Arnauld

f=(n,x=n)=>--x<2||n%x&&f(n,x)
g=(a,b=a>>1)=>b>1?f(b)*f(a-b)+g(a,b-1):0

f- функція тесту первинності; відповідна функція g.

fпрацює шляхом рекурсивного відліку від n-1 ; контрольний потік на кожному етапі йде так:

• x<2||Якщо х <2 , число просте; повернути 1 .
• n%x&&В іншому випадку, якщо n mod x = 0 , число не є простим; повернення n%x.
• f(n,x-1)В іншому випадку число може бути або не бути простим; зменшення x та спробуйте ще раз.

gпрацює аналогічно, хоча і з не стільки контрольним потоком. Він працює шляхом множення f (b) на f (ab) для кожного цілого числа b в діапазоні [2, поверх (a / 2)] , а потім підсумовуючи результати. Це дає нам кількість пар, що підсумовують а, коли обидва числа в парі є простими, що саме є тим, що ми хочемо.

05AB1E , 10 8 байт

Надзвичайно неефективний.

D!f-pO;î

Спробуйте в Інтернеті! або Спробуйте менш ефективний спосіб отримання простих чисел

Пояснення

n = 10 використаний як приклад.

D          # duplicate
           # STACK: 10, 10 
 !         # factorial
           # STACK: 10, 3628800
  f        # unique prime factors
           # STACK: 10, [2,3,5,7]
   -       # subtract
           # STACK: [8,7,5,3]
    p      # is prime
           # STACK: [0,1,1,1]
     O     # sum
           # STACK: 3
      ;    # divide by 2
           # STACK: 1.5
       î   # round up
           # STACK: 2
           # implicit output

GAP , 57 байт

n->Number([2..QuoInt(n,2)],k->IsPrime(k)and IsPrime(n-k))

Я не думаю, що GAP має коротший шлях, ніж цей очевидний. Numberпідраховує, скільки елементів списку задовольняє присудок.

Використовуючи його для обчислення перших 100 значень:

gap> List([1..100],n->Number([2..QuoInt(n,2)],k->IsPrime(k)and IsPrime(n-k)));
[ 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 0, 1, 1, 2, 1, 2, 0, 2, 1, 2, 1, 3, 0, 3, 1, 
  3, 0, 2, 0, 3, 1, 2, 1, 4, 0, 4, 0, 2, 1, 3, 0, 4, 1, 3, 1, 4, 0, 5, 1, 4, 
  0, 3, 0, 5, 1, 3, 0, 4, 0, 6, 1, 3, 1, 5, 0, 6, 0, 2, 1, 5, 0, 6, 1, 5, 1, 
  5, 0, 7, 0, 4, 1, 5, 0, 8, 1, 5, 0, 4, 0, 9, 1, 4, 0, 5, 0, 7, 0, 3, 1, 6 ]

Брахілог , 22 байти

:{,A:B>=.:#pa+?,.=}fl

Спробуйте в Інтернеті!

Пояснення

Проста транскрипція проблеми.

:{                }f       Find all valid outputs of the predicate in brackets for the Input
                    l      Output is the number of valid outputs found

  ,A:B>=.                  Output = [A, B] with A >= B
         :#pa              Both A and B must be prime numbers
             +?,           The sum of A and B is the Input
                .=         Label A and B as integers that verify those constraints

Математика, 52 байти

Count[IntegerPartitions[#,{2}]//PrimeQ,{True,True}]&

Результат надається як анонімна функція. Спробуйте скласти над ним графік:

DiscretePlot[
 Count[IntegerPartitions[#, {2}] // PrimeQ, {True, True}] &[i], {i, 1,
   1000}]

До речі, код має однакову довжину з функціональною версією демо-коду на OEIS.

Желе , 12 байт

HRð,_@ÆPð×/S

СпробуйтеItOnline
1-100

Як?

HRð,_@ÆPð×/S - Main link: n    e.g. 22
H            - halve
 R           - range          [1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11] (note this will be 1 to n//2)
  ð          - dyadic chain separation
   ,         - pair with
    _@       - n -           [[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11],[21,20,19,18,17,16,15,14,13,12,11]]
      ÆP     - is prime? (1 if prime 0 if not)
                            [[0,1,1,0,1,0,1,0,0,0,1],[0,0,1,0,1,0,0,0,1,0,1]]
        ð    - dyadic chain separation
         ×/  - reduce with multiplication
                             [0,0,1,0,1,0,0,0,0,0,1]
           S - sum           3

Ракетка 219 байт

(let*((pl(for/list((i n) #:when(prime? i))i))(ll(combinations(append pl pl)2))(ol'()))(for/list((i ll))(define tl(sort i >))
(when(and(= n(apply + i))(not(ormap(λ(x)(equal? x tl))ol)))(set! ol(cons tl ol))))(length ol))

Безумовно:

(define(f n)
 (let* ((pl                                   ; create a list of primes till n
          (for/list ((i n) #:when (prime? i))
            i))
         (ll (combinations (append pl pl) 2)) ; get a list of combinations of 2 primes
         (ol '()))                            ; initialize output list
    (for/list ((i ll))                        ; test each combination
      (define tl (sort i >))
      (when (and (= n (apply + i))            ; sum is n
                 (not(ormap (lambda(x)(equal? x tl)) ol))) ; not already in list
        (set! ol (cons tl ol))))              ; if ok, add to list
    (println ol)                              ; print list
    (length ol)))                             ; print length of list

Тестування:

(f 10)
(f 100)

Вихід:

'((5 5) (7 3))
2
'((97 3) (89 11) (83 17) (71 29) (59 41) (53 47))
6

Власне , 11 байт

;R`p`░@-♂bΣ

Спробуйте в Інтернеті!

Пояснення:

;R`p`░@-♂bΣ
 R`p`░       prime values in [1, n]
;     @-     subtract each value from n
        ♂b   convert each value to boolean
          Σ  sum

05AB1E , 6 байт

;ÅP-pO

Спробуйте в Інтернеті!

Пояснення:

                  # implicit input (example: 10)
;                 # divide input by 2 (5)
 ÅP               # primes up to that ([2, 3, 5])
   -              # subtract from the implict input ([8, 7, 5])
    p             # isPrime? ([0, 1, 1])
     O            # sum (2), implicit output

Haskell, 73 байти

f n|r<-[a|a<-[2..n],all((<2).gcd a)[2..a-1]]=sum[1|p<-r,q<-r,q<=p,p+q==n]

Приклад використання: map f [1..25]->[0,0,0,1,1,1,1,1,1,2,0,1,1,2,1,2,0,2,1,2,1,3,0,3,1] .

Пряма реалізація визначення: перший зв'язуються rз усіма штрихами до введення числа n, то взяти 1для всіх pі qвід rде q<=pі p+q==nі підсумувати їх.